高考理科数学复习练习作业37 5页

专题层级快练(三十七)‎ ‎1．设数列{an}的前n项和Sn＝n2，则a8的值为(　　)‎ A．15　　　　　　　　　 B．16‎ C．49 D．64‎ 答案　A 解析　a1＝S1＝1，an＝Sn－Sn－1＝n2－(n－1)2＝2n－1(n≥2)．a8＝2×8－1＝15.故选A.‎ ‎2．已知数列{an}满足a1＝0，an＋1＝an＋2n，则a2 017等于(　　)‎ A．2 017×2 018 B．2 016×2 017‎ C．2 015×2 016 D．2 017×2 017‎ 答案　B 解析　累加法易知选B.‎ ‎3．已知数列{xn}满足x1＝1，x2＝，且＋＝(n≥2)，则xn等于(　　)‎ A．()n－1 B．()n C. D. 答案　D 解析　由关系式易知为首项为＝1，d＝的等差数列，＝，所以xn＝.‎ ‎4．已知数列{an}中a1＝1，an＝an－1＋1(n≥2)，则an＝(　　)‎ A．2－()n－1 B．()n－1－2‎ C．2－2n－1 D．2n－1‎ 答案　A 解析　设an＋c＝(an－1＋c)，易得c＝－2，所以an－2＝(a1－2)()n－1＝－()n－1，所以选A.‎ ‎5．若数列{an}的前n项和为Sn＝an－3，则这个数列的通项公式an＝(　　)‎ A．2(n2＋n＋1) B．2·3n C．3·2n D．3n＋1‎ 答案　B 解析　an＝Sn－Sn－1，可知选B.‎ ‎6．(2017·衡水调研)运行如图的程序框图，则输出的结果是(　　)‎ A．2 016 B．2 015‎ C. D. 答案　D 解析　如果把第n个a值记作an，第1次运行后得到a2＝，第2次运行后得到a3＝，…，第n次运行后得到an＋1＝，则这个程序框图的功能是计算数列{an}的第2 015项．将an＋1＝变形为＝＋1，故数列{}是首项为1，公差为1的等差数列，故＝n，即an＝，所以输出结果是.故选D.‎ ‎7．已知数列{an}的首项a1＝，其前n项和Sn＝n2an(n≥1)，则数列{an}的通项公式为________．‎ 答案　an＝ 解析　由a1＝，Sn＝n2an， ①‎ ‎∴Sn－1＝(n－1)2an－1. ②‎ ‎①－②，得an＝Sn－Sn－1＝n2an－(n－1)2an－1，‎ 即an＝n2an－(n－1)2an－1，亦即＝(n≥2)．‎ ‎∴＝··…··＝···…··＝.‎ ‎∴an＝.‎ ‎8．在数列{an}中，a1＝1，当n≥2时，有an＝3an－1＋2，则an＝________．‎ 答案　2·3n－1－1‎ 解析　设an＋t＝3(an－1＋t)，则an＝3an－1＋2t.‎ ‎∴t＝1，于是an＋1＝3(an－1＋1)．∴{an＋1}是以a1＋1＝2为首项，以3为公比的等比数列．∴an＝2·3n－1－1.‎ ‎9．在数列{an}中，a1＝2，an＝2an－1＋2n＋1(n≥2)，则an＝________．‎ 答案　(2n－1)·2n 解析　∵a1＝2，an＝2an－1＋2n＋1(n≥2)，‎ ‎∴＝＋2.令bn＝，则bn－bn－1＝2(n≥2)，b1＝1.‎ ‎∴bn＝1＋(n－1)·2＝2n－1，则an＝(2n－1)·2n.‎ ‎10．若数列{an}满足a1＝1，an＋1＝2nan，则数列{an}的通项公式an＝________．‎ 答案　2 解析　由于＝2n，故＝21，＝22，…，＝2n－1，将这n－1个等式叠乘，得＝21＋2＋…＋(n－1)＝2，故an＝2.‎ ‎11．已知{an}满足a1＝1，且an＋1＝(n∈N*)，则数列{an}的通项公式为________．‎ 答案　an＝ 解析　由已知，可得当n≥1时，an＋1＝.‎ 两边取倒数，得＝＝＋3.‎ 即－＝3，所以{}是一个首项为＝1，公差为3的等差数列．‎ 则其通项公式为＝＋(n－1)×d＝1＋(n－1)×3＝3n－2.‎ 所以数列{an}的通项公式为an＝.‎ ‎12．(2017·太原二模)已知数列{an}满足a1＝1，an－an＋1＝(n∈N*)，则an＝________．‎ 答案　 解析　由an－an＋1＝得－＝＝2×(－)，则由累加法得－＝2(1－)，又因为a1＝1，所以＝2(1－)＋1＝，所以an＝.‎ ‎13．(2017·南京一模)已知数列{an}满足a1＝－1，a2>a1，|an＋1－an|＝2n(n∈N*)，若数列 ‎{a2n－1}单调递减，数列{a2n}单调递增，则数列{an}的通项公式为an＝________．‎ 答案　 解析　由题意得a2－a1＝21，a3－a2＝－22，a4－a3＝23，…，an－an－1＝(－1)n2n－1，‎ 则利用累加法得an＝a1＋(a2－a1)＋(a3－a2)＋…＋(an－an－1)＝－1＋2－22＋…＋(－1)n2n－1＝＝.‎ ‎14．数列{an}的前n项和为Sn，且Sn＝n(n＋1)(n∈N*)．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)若数列{bn}满足：an＝＋＋＋…＋，求数列{bn}的通项公式．‎ 答案　(1)an＝2n　(2)bn＝2(3n＋1)‎ 解析　(1)当n＝1时，a1＝S1＝2，当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝n(n＋1)－(n－1)n＝2n，知a1＝2满足该式，∴数列{an}的通项公式为an＝2n.‎ ‎(2)∵an＝＋＋＋…＋(n≥1)， ①‎ ‎∴an＋1＝＋＋＋…＋＋. ②‎ ‎②－①，得＝an＋1－an＝2，bn＋1＝2(3n＋1＋1)．‎ 故bn＝2(3n＋1)(n∈N*)．‎ ‎15．(2016·课标全国Ⅲ，理)已知数列{an}的前n项和Sn＝1＋λan，其中λ≠0.‎ ‎(1)证明{an}是等比数列，并求其通项公式；‎ ‎(2)若Sn＝，求λ.‎ 解析　(1)由题意得a1＝S1＝1＋λa1，故λ≠1，a1＝，a1≠0.‎ 由Sn＝1＋λan，Sn＋1＝1＋λan＋1得an＋1＝λan＋1－λan，即an＋1(λ－1)＝λan.‎ 由a1≠0，λ≠0且λ≠1，得an≠0，所以＝.‎ 因此{an}是首项为，公比为的等比数列，于是an＝()n－1.‎ ‎(2)由(1)得Sn＝1－()n.由S5＝，得1－()5＝，‎ 即()5＝，解得λ＝－1.‎ ‎(2017·上海长宁)已知数列{an}的前n项和Sn＝5－4×2－n，则其通项公式为________．‎ 答案　an＝ 解析　a1＝S1＝5－4×2－1＝3.当n≥2时，an＝Sn－Sn－1＝(5－4×2－n)－(5－4×2－n＋1)＝ ‎＝22－n.当n＝1时，＝2≠a1，∴an＝