2021届高考数学一轮复习第九章概率与统计第4讲随机抽样课件 36页

第 4 讲 随机抽样 课标要求 考情风向标 1. 能从现实生活或其他学科中提出 具有一定价值的统计问题 . 2. 结合具体的实际问题情境，理解 随机抽样的必要性和重要性 . 3. 在参与解决统计问题的过程中， 学会用简单随机抽样方法从总体 中抽取样本；通过对实例的分析， 了解分层抽样和系统抽样方法 . 4. 能通过试验、查阅资料、设计调 查问卷等方法收集数据 1. 本节复习时，应准确理解 三种抽样方法的定义，弄清 它们之间的联系与区别，灵 活选择恰当的抽样方法抽 取样本 . 2. 新课标高考近几年常将抽 样方法与频率分布直方图、 概率等相结合进行综合考 查，因此，要加强这方面的 训练 1. 简单随机抽样 抽签法 (1) 定义：设一个总体含有 N 个个体，从中逐个不放回地抽 取 n 个个体作为样本 ( n ≤ N ) ，如果每次抽取时总体内的各个个 体被抽到的机会都相等，就把 这种抽样方法叫做简单随机抽样 . (2) 最常用的简单随机抽样的方法： ________ 和随机数法 . 2. 系统抽样的步骤 假设要从容量为 N 的总体中抽取容量为 n 的样本 . (1) 编号：先将总体的 N 个个体编号； (3) 确定首个个体：在第 1 段用简单随机抽样确定第 1 个个 体编号 l ( l ≤ k ) ； (4) 获取样本：按照一定的规则抽取样本，通常是将 l 加上 间隔 k 得到第 2 个个体编号 l ＋ k ，再加 k 得到第 3 个个体编号 ________ ，依次进行下去，直到获取整个样本 . l ＋ 2 k 3. 分层抽样 (1) 定义：在抽样时，将总体分成互不交叉的层，然后按照 一定的比例，从各层独立地抽取一定数量的个体，将各层取出 的个体合在一起作为样本，这种抽样方法叫做分层抽样； (2) 分层抽样的应用范围：当总体是由差异明显的几个部分 组成时，往往选用分层抽样 . ， C. ， D. ， 1.(2018 年山西大同一中月考 ) 用简单随机抽样的方法从含 有 10 个个体的总体中，抽取一个容量为 3 的样本，其中某一个 体 a “ 第一次被抽到”的可能性与“第二次被抽到” 的可能性 分别是 ( ) A A. 1 10 ， 1 10 B. 3 1 10 5 1 3 5 10 3 3 10 10 2.( 人教版教材改编 ) 在“世界读书日”前夕，为了解某地 5000 名居民某天的阅读时间，从中抽取了 200 名居民的阅读时 间进行统计分析 . 在这个问题中， 5000 名居民的阅读时间的全体 是 ( A ) A. 总体 C. 样本的容 量 B. 个体 D. 从总体中 抽取的一个样本 解析： 为了解 5000 名居民某天的阅读时间，从中抽取了 200 名居民的阅读时间进行统计分析 . 样本容量为 200 ，每个居 民的阅读时间就是一个个体， 5000 名居民的阅读时间的全体是 总体 . 3. 对一个容量为 N 的总体抽取容量为 n 的样本，当选取简 单随机抽样、系统抽 样和分层抽样三种不同方法抽取样本时， ) D 总体中每个个体被抽中的概率分别为 p 1 ， p 2 ， p 3 ，则 ( A. p 1 ＝ p 2 < p 3 B. p 2 ＝ p 3 < p 1 C. p 1 ＝ p 3 < p 2 D. p 1 ＝ p 2 ＝ p 3 4.(2018 年新课标 Ⅲ ) 某公司有大量客户 ，且不同龄 段客户 对其服务的评价有较大差异 . 为了解客户的评价，该公司准备进 行抽样调查，可供选择的抽样 方法有简单随机抽样、分层抽样 和系统抽样，则最合适的抽样方法是 __ ___ ______. 分层抽样 解析： ∵ 不同龄段客户对其服务的评价有较大差异 .∴ 最合 适的抽样方法是分层抽样 . 考点 1 简单随机抽样 例 1 ： (1) (2016 年福建龙岩模拟 ) 某班有 34 位同学，座位 号 记为 01,02 ， … ， 34 ，用下列 的随机 数表选取 5 组数作为参加青 年志愿者活动的 5 位同学的座位号 . 选取方法是从随机数表第 1 行的第 6 列和第 7 列数字开始，由左到右依次选 取两个数字， 则选出来的第 4 个志愿者的座位号是 ( ) 49 96 04 54 43 74 43 54 84 26 47 67 82 17 34 91 21 76 37 93 23 64 57 24 33 50 25 78 55 83 87 35 06 88 92 12 20 77 06 A.23 B.09 C.02 D.16 解析： 从随机数表第 1 行的第 6 列和第 7 列数字 35 开始， 由 左 到 右 依 次 选 取 两 个 数 字 中 小 于 35 的 编 号 依 次 为 21,32,09,16 ，其中第 4 个为 16. 故选 D. 答案： D 5379 7076 2694 2927 4399 5519 8106 8501 9264 4607 2021 3920 7766 3817 3256 1640 5858 7766 3170 0500 2593 0545 5370 7814 (2)(2018 年河南十校联考 ) 有一批计算机，其编号分别为 001,002,003 ， … ， 112 ，为了调查计算机的质量问题，打算抽取 4 台入样 . 现在利用随机数表法抽样，在随机数表中选第 10 行第 6 个数“ 0” 作为开始，向右读，那么抽取的第 4 台计算机的编号 为 ( ) 附：随机数表中第 10 ～ 12 行如下 . A.072 B.021 C.077 D.058 解析： 结合所给部分随机数表以及读法规则即知，依次可 得到需要的编号分别是 076,068,072,021. 故抽取的第 4 台计算机 的编号为 021. 答案： B (3) 总体由编号为 01,02 ， … ， 19,20 的 20 个个体组成 . 利用 下面的随机数表选取 5 个个体，选取方法是从随机数表第 1 行 的第 5 列和第 6 列数字开始由左到右依次选取两个数字， 则选 出来的第 5 个个体的编号为 ( ) 7816 3204 6572 9234 0802 4935 6314 8200 0702 3623 4369 9728 4869 6938 0198 7481 A.08 B.07 C.02 D.01 解析： 从随机数表第 1 行的第 5 列和第 6 列数字开始由左 到右依次选取两个数字开始向右读，第一个数为 65 ，不符合条 件，第二个数为 72 ，不符合条件，第三个数为 08 ，符合条件， 按照此方法符合条件的依次为 08,02,14,07,02,01,04 重复要去 掉，故第 5 个数为 01. 答案： D 【 规律方法 】 解题时，需要找准起始位置，明确选取的方 式，同时必须遵循选数的规则，把握好这些细节问题即可顺利 获解 . 一般地，利用随机数表法抽取样本时，从第几行的第几个 数开始，按照什么方向取数完全是任意的，事先应确定好， 中 途不得改变；在选数过程中，不但要去掉不符合要求的号码， 而且还要去掉与前面重复的号码 . 考点 2 系统抽样 例 2 ： (1)(2019 年新课标 Ⅰ ) 某学校为了解 1 000 名新生的身 体素质，将这些学生编号为 1,2 ， … ， 1 000 ，从这些新生中用 系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验 . 若 46 号学生 被抽到，则下面 4 名学生中被抽到的是 ( ) A.8 号学生 C.616 号学生 B.200 号学生 D.815 号学生 解析： 用系统抽样方法等距抽取 100 名学生进行体质测验 . 即 10 人抽 1 人， 616 号学生可能被抽到 . 答案： C (2) 将参加夏令营的 600 名学生编号为： 001,002 ， … ， 600. 采用系统抽样方法抽取一个容量为 50 的样本，且随机抽得的号 码为 003 ，这 600 名学生分住在三个营区 . 从 001 到 300 在第 Ⅰ 营区，从 301 到 495 在第 Ⅱ 营区，从 496 到 600 在第 Ⅲ 营区 . 三 ) 个营区被抽中的人数依次为 ( A.26,16,8 C.25,16,9 B.25,17,8 D.24,17,9 12 ，故抽取的号码构成以 3 为首项，公差为 12 的等差数列 . 在 第 Ⅰ 营区 001 ～ 300 号恰好有 25 组，故抽取 25 人，在第 Ⅱ 营区 301 ～ 495 号有 195 人，共有 16 组多 3 人， ∵ 抽取的第一个数 是 3 ， ∴ Ⅱ 营区共抽取 17 人，剩余 50 － 25 － 17 ＝ 8( 人 ) 需从 Ⅲ 营区抽取 . 答案： B (3)(2015 年湖南 ) 在一次马拉松比赛中， 35 名运动员的成绩 ( 单位：分钟 ) 的茎叶图如图 9-4-1 ，若将运动员按成绩由好到差 编为 1 ～ 35 号，再用系统抽样方法从中抽取 7 人，则其中成绩 在区间 [139,151] 上的运动员人数是 __________. 图 9-4-1 解析： 由茎叶图可知，在区间 [139,151] 的人数为 20 ，再由 答案： 4 【 规律方法 】 当总体元素个数很大时，可将总体分成均衡 的若干部分，然后按照预先制定的规则，从每一部分抽取一个 个体得到所需要的样本，这种抽样方式叫做系统抽样 . 系统抽样 也叫等距抽样 . 考点 3 分层抽样 例 3 ： (1)(2017 年江苏 ) 某工厂生产甲、乙、丙、丁四种不 同型号的产品，产量分别为 200,400,300,100 件 . 为检验产品的质 量，现用分层抽样的方法从以上所有的产品中抽取 60 件进行检 验，则应从丙种型号的产品中抽取 ________ 件 . 解析： 所求件数为 60× 300 1000 ＝ 18. 故答案为 18. 答案： 18 12 12 ＋ 21 ＋ 25 ＋ 43 (2) 交通管理部门为了解机动车驾驶员 ( 简称驾驶员 ) 对某新 法规的知晓情况，对甲、乙、丙、丁四个社 区做分层抽样调查 . 假设四个社区驾驶员的总人数为 N ，其中甲社区有驾驶员 96 人 . 若在甲、乙、丙、丁四个社区抽取驾驶员的人数分别为 12,21,25,43 ，则这四个社区驾驶员的总人数 N 为 ( ) A.101 B.808 C.1212 D.2012 解析： 根据分层抽样的概念知 ＝ 96 N ，解得 N ＝ 808 ，故选 B. 答案： B (3) 我国古代数学算经十书之一的 《 九章算术 》 有一衰分问 题：今有北乡八千一百人，西乡七千四百八十八人，南乡六千 九百一十二人，凡三乡，发役三百人，则北乡遣 ( ) A.104 人 B.108 人 C.112 人 D.120 人 解析： 由题设，可知这是一个分层抽样的问题，其中北乡 108( 人 ). 故选 B. 答案： B (4)( 多选 ) 某书法社团有男生 30 名，女生 20 名，从中抽取 一个 5 人的样本，恰好抽到了 2 名男生和 3 名女生 . 下列说法正 确的是 ( ) A. 该抽样一定不是系统抽样 B. 该抽样可能是随机抽样 C. 该抽样不可能是分层抽样 D. 男生被抽到的概率大于女生被抽到的概率 解析： 无论何种抽样，各个体被抽到的概率相同，由相关 抽样类型特征知 BC 正确 . 答案： BC (5) 某校高一、高二、高三分别有学生 1600 名、 1200 名、 800 名，为了解该校高中学生的牙齿健康状况，按各年级的学 生人数进行分层抽样，若高三抽取 20 名学生，则高一、高二共 抽取的学生人数为 ________. 答案： 70 答案： C 【 规律方法 】 当总体由差异明显的几个部分组成，按某种 特征抽样时，将总体中的各个个体分成互不交叉的层，然后按 照一定的比例，从各层中独立地抽取一定数量的个体，将各层 取出的个体合在一起作为样本，这种抽样的方法叫做分层抽样 . 在三种基本抽样中，分层抽样在高考中考查得最多，主要考查 比例的运算 . 高中名称 甲高中 乙高中 丙高中 女生人数 / 人 153 x y 男生人数 / 人 97 90 z 难点突破 ⊙ 抽样方式与概率的结合 例题： 惠州市某县区甲、乙、丙三所高中的高三文科学生 共有 800 人，各 学校男、女生人数如下表： 已知在三所高中的所有高三文科学生中随机抽取 1 人，抽 到乙高中女生的概率为 0.2. (1) 求表中 x 的值； (2) 惠州市第三次调研考试后，该县区决定从三所高中的所 有高三文科学生中利用随机数表法抽取 100 人进行成绩统计分 析，先将 800 人按 001,002 ， … ， 800 进行编号 . 如果从第 8 行第 7 列的数开始向右读，请你依次写出最先抽取的 3 个人的编号； ( 下面摘取了随机数表中第 7 行至第 9 行 ) (3) 已知 y ≥145 ， z ≥145 ，求丙高中高三文科学生中的女 生 比男生人数多的概率 . 解： (1) 由 x 800 ＝ 0.2 ，得 x ＝ 160 ，即表中 x 的值为 160. (2) 依题意，最先抽到的 3 个人的编号依次为 165,538,629. (3) 设“丙高中高三文科学生中的女生比男生人数多 ”为 事件 A ，其中女生、男生数记为 ( y ， z ). 由 (1) 知， x ＝ 160 ，则 y ＋ z ＝ 300 ，且 y ≥145 ， z ≥145 ， y ， z ∈ N ， ∴ 满足条件的 ( y ， z ) 有 (145,155) ， (146,154) ， (147,153) ， (148,152) ， (149,151) ， (150,150) ， (151,149) ， (152,148) ， (153,147) ， (154,146) ， (155,145) ，共 11 组，且每组出现的可能性相同 . 其中事件 A 包含的基本事件 ( y ， z ) ，即满足 y > z 的有 (151,149) ， (152,148) ， (153,147) ， (154,146) ， (155,145) ，共 5 组 . ∴ 丙高中高三文科学生中的女生比男生人数多的概率 P ( A ) 批次 第一批次 第二批次 第三批次 女教职工人数 / 人 196 x y 男教职工人数 / 人 204 156 z 【 跟踪训练 】 (2018 年河北冀州中学期末 ) 某学校共有教职工 900 人，分 成三个批次进行继续教育培训，在三个批次 中男、女教职工人 数如下表所示 . 已知在全体教职工中随机抽取 1 名，抽到第二批 次中女教职工的概率是 0.16. (1) 求 x 的值； (2) 现用分层抽样的方法在全体教职工中抽取 54 名做培训 效果的调查，问应在第三批次中抽取教职工多少名？ (3) 已知 y ≥96 ， z ≥96 ，求第三批次中女教职工比男教职工 多的概率 . 解： (1) 由 x 900 ＝ 0.16 ，解得 x ＝ 144. (2) 第三批次的人数为 y ＋ z ＝ 900 － (196 ＋ 204 ＋ 144 ＋ 156) ＝ 200. 设应在第三批次中抽取 m 名，则 ∴ 应在第三批次中抽取 12 名教职工 . (3) 设第三批次中女教职工比男教职工多为事件 A ，第三批 次女教职工和男教职工数记为数对 ( y ， z ) ，由 (2) 知 y ＋ z ＝ 200( y ， z ∈ N ， y ≥96 ， z ≥96) ，则基本事件总数有 ： (96, 104) ， (97,103) ， (98,102) ， (99,101) ， (100,100) ， (101,99) ， (102,98) ， (103,97) ， (104,96 ) ，共 9 个，而事件 A 包含的基本事件有： (101,9 9) ， 1. 根据总体的情况采取适当的抽样方式，无论采用哪种抽 样方式，必须保证在整个过程中每个个体被抽到的机会相等 . 其 中简单随机抽样是最基本的抽样方法，是其他两种方法的基础， 系统抽样和分层抽样在高考中是比较常考 的 . 2. 应用分层抽样应遵循下列三点： (1) 分层，将相似的个体归为一类，即为一层，分层要求每 层的各个个体互不交叉，即不重不漏 . (2) 分层保证每个个体等可能被抽取，需遵循在各层中进行 简单随机抽样，每层样本数量与每层个体数量的比与这层个体 数量与总体容量的比相等 . (3) 若各层应抽取的个体数不都是整数，则应当调整样本容 量，先剔除“多余”的个体 .