2020年高中数学第二章数列 4页

第2课时 等比数列的性质 ‎[课时作业]‎ ‎[A组　基础巩固]‎ ‎1．如果数列{an}是等比数列，那么(　　)‎ A．数列{a}是等比数列 B．数列{2an}是等比数列 C．数列{lg an}是等比数列 D．数列{nan}是等比数列 解析：设bn＝a，则＝＝2＝q2，‎ ‎∴{bn}为等比数列；＝2an＋1－an≠常数；‎ 当an<0时，lg an无意义；设cn＝nan，‎ 则＝＝·q≠常数．‎ 答案：A ‎2．已知等差数列{an}的公差为3，若a1，a3，a4成等比数列，则a2等于(　　)‎ A．9 B．3‎ C．－3 D．－9‎ 解析：a1＝a2－3，a3＝a2＋3，a4＝a2＋3×2＝a2＋6，‎ 由于a1，a3，a4成等比数列，a＝a‎1a4，即 (a2＋3)2＝(a2－3)(a2＋6)，解得a2＝－9.‎ 答案：D ‎3．在正项等比数列{an}中，a1和a19为方程x2－10x＋16＝0的两根，则a8·a10·a12等于(　　)‎ A．16 B．32‎ C．64 D．256‎ 解析：由已知，得a‎1a19＝16.‎ 又∵a1·a19＝a8·a12＝a，‎ ‎∴a8·a12＝a＝16.‎ 又an>0，∴a10＝4，‎ ‎∴a8·a10·a12＝a＝64.‎ 答案：C ‎4．在等比数列{an}中，若a‎3a5a7a9a11＝243，则的值为(　　)‎ A．9 B．1‎ 4‎ C．2 D．3‎ 解析：∵a‎3a5a7a9a11＝aq30＝243，∴＝＝a1q6＝＝3.‎ 答案：D ‎5．已知等比数列{an}满足a1＝，a‎3a5＝4(a4－1)，则a2＝(　　)‎ A．2 B．1‎ C. D. 解析：由题意可得a‎3a5＝a＝4(a4－1)⇒a4＝2，所以q3＝＝8⇒q＝2，故a2＝a1q＝.‎ 答案：C ‎6．等比数列{an}中，an>0，且a2＝1－a1，a4＝9－a3，则a4＋a5＝________.‎ 解析：由题意，得a1＋a2＝1，a3＋a4＝(a1＋a2)q2＝9，∴q2＝9.‎ 又an>0，∴q＝3.‎ 故a4＋a5＝(a3＋a4)q＝9×3＝27.‎ 答案：27‎ ‎7．已知等比数列{an}的公比q＝－，则＝________.‎ 解析：＝＝＝－2.‎ 答案：－2‎ ‎8．若三个正数a，b，c成等比数列，其中a＝5＋2，c＝5－2，则b＝________.‎ 解析：因为三个正数a，b，c成等比数列，所以b2＝ac＝(5＋2)(5－2)＝1，因为b>0，所以b＝1.‎ 答案：1‎ ‎9．已知等比数列{an}为递增数列，且a＝a10,2(an＋an－2)＝5an－1，求数列{an}的通项公式．‎ 解析：设数列{an}的首项为a1，公比为q.‎ ‎∵a＝a10,2(an＋an－2)＝5an－1，‎ ‎∴ 由①，得a1＝q，‎ 由②，得q＝2或q＝.‎ 又数列{an}为递增数列，‎ ‎∴a1＝q＝2，∴an＝2n.‎ 4‎ ‎10．已知数列{an}满足log3an＋1＝log3an＋1(n∈N*)，且a2＋a4＋a6＝9，求log(a5＋a7＋a9)的值．‎ 解析：∵log3an＋1＝log3an＋1，‎ 即log3an＋1－log3an＝log3＝1.‎ ‎∴＝3.‎ ‎∴数列{an}是等比数列，公比q＝3.‎ 则log(a5＋a7＋a9)＝log[q3·(a2＋a4＋a6)]＝log[33·9]＝－5.‎ ‎[B组　能力提升]‎ ‎1．已知等比数列{an}的公比为正数，且a3·a9＝‎2a，a2＝1，则a1＝(　　)‎ A. B. C. D．2‎ 解析：∵a3·a9＝a＝‎2a，∴q2＝2＝2.‎ 又q>0，∴q＝.∴a1＝＝＝.‎ 答案：B ‎2．已知等差数列{an}的公差为2，若a1，a2，a5成等比数列，则a2等于(　　)‎ A．－4 B．2‎ C．3 D．－3‎ 解析：∵a1，a2，a5成等比数列，∴a＝a1·a5.‎ ‎∴a＝(a2－d)·(a2＋3d)，‎ 即a＝(a2－2)(a2＋6)．∴a2＝3.‎ 答案：C ‎3．公差不为零的等差数列{an}中，‎2a3－a＋‎2a11＝0，数列{bn}是等比数列，且b7＝a7，则b6b8＝________.‎ 解析：∵‎2a3－a＋‎2a11＝2(a3＋a11)－a ‎＝‎4a7－a＝0，‎ ‎∵b7＝a7≠0，∴b7＝a7＝4.‎ ‎∴b6b8＝b＝16.‎ 答案：16‎ ‎4．若a，b是函数f(x)＝x2－px＋q(p>0，q>0)的两个不同的零点，且a，b 4‎ ‎，－2这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则p＋q的值等于________．‎ 解析：不妨设a>b，由根与系数的关系得a＋b＝p，a·b＝q，则a>0，b>0，则a，－2，b为等比数列，a，b，－2成等差数列，则a·b＝(－2)2＝4，a－2＝2b，∴a＝4，b＝1，∴p＝5，q＝4，所以p＋q＝9.‎ 答案：9‎ ‎5．已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝(n∈N*)，求数列{an}的通项公式．‎ 解析：由an＋1＝，得＝＋1.‎ 所以＋1＝2(＋1)．‎ 又a1＝1，所以＋1＝2，‎ 所以数列{＋1}是以2为首项，2为公比的等比数列，‎ 所以＋1＝2×2n－1＝2n，‎ 所以an＝.‎ ‎6．在公差为d(d≠0)的等差数列{an}和公比为q的等比数列{bn}中，已知a1＝b1＝1，a2＝b2，a8＝b3.‎ ‎(1)求d，q的值；‎ ‎(2)是否存在常数a，b，使得对于一切自然数n，都有an＝logabn＋b成立？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由．‎ 解析：(1)由a2＝b2，a8＝b3，‎ 得 即 解方程组得或(舍)‎ ‎(2)由(1)知an＝1＋(n－1)·5＝5n－4，‎ bn＝b1qn－1＝6n－1.‎ 由an＝logabn＋b，得5n－4＝loga6n－1＋b，‎ 即5n－4＝nloga6＋b－loga6.‎ 比较系数得∴ 所以存在a＝6，b＝1，使得对一切自然数，都有an＝logabn＋b成立.‎ 4‎