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  • 2021-06-30 发布

2015年重庆市高考数学试卷(文科)

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‎2015年重庆市高考数学试卷(文科)‎ ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)已知集合A={1,2,3},B={1,3},则A∩B=(  )‎ A.{2} B.{1,2} C.{1,3} D.{1,2,3}‎ ‎2.(5分)“x=1”是“x2﹣2x+1=0”的(  )‎ A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎3.(5分)函数f(x)=log2(x2+2x﹣3)的定义域是(  )‎ A.[﹣3,1] B.(﹣3,1) C.(﹣∞,﹣3]∪[1,+∞) D.(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)‎ ‎4.(5分)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如,则这组数据的中位数是(  )‎ A.19 B.20 C.21.5 D.23‎ ‎5.(5分)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎6.(5分)若tanα=,tan(α+β)=,则tanβ=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎7.(5分)已知非零向量满足||=4||,且⊥()则的夹角为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎8.(5分)执行如图所示的程序框图,则输出s的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎9.(5分)设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F做A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点,若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为(  )‎ A.± B.± C.±1 D.±‎ ‎10.(5分)若不等式组,表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为(  )‎ A.﹣3 B.1 C. D.3‎ ‎ ‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎11.(5分)复数(1+2i)i的实部为  .‎ ‎12.(5分)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为  .‎ ‎13.(5分)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cosC=﹣,3sinA=2sinB,则c=  .‎ ‎14.(5分)设a,b>0,a+b=5,则+的最大值为  .‎ ‎15.(5分)在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则方程x2+2px+3p﹣2=0有两个负根的概率为  .‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(12分)已知等差数列{an}满足a3=2,前3项和S3=.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a15,求{bn}前n项和Tn.‎ ‎17.(13分)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:‎ 年份 ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ 时间代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 储蓄存款y(千亿元)‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎(Ⅰ)求y关于t的回归方程=t+.‎ ‎(Ⅱ)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款.‎ 附:回归方程=t+中 ‎.‎ ‎18.(13分)已知函数f(x)=sin2x﹣cos2x.‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的最小周期和最小值;‎ ‎(Ⅱ)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象.当x∈时,求g(x)的值域.‎ ‎19.(12分)已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=处取得极值.‎ ‎(Ⅰ)确定a的值;‎ ‎(Ⅱ)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.‎ ‎20.(12分)如题图,三棱锥P﹣ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=,点D、E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EF∥BC.‎ ‎(Ⅰ)证明:AB⊥平面PFE.‎ ‎(Ⅱ)若四棱锥P﹣DFBC的体积为7,求线段BC的长.‎ ‎21.(13分)如题图,椭圆=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,且过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1.‎ ‎(Ⅰ)若|PF1|=2+,|PF2|=2﹣,求椭圆的标准方程.‎ ‎(Ⅱ)若|PQ|=λ|PF1|,且≤λ<,试确定椭圆离心率e的取值范围.‎ ‎ ‎ ‎2015年重庆市高考数学试卷(文科)‎ 参考答案与试题解析 ‎ ‎ 一、选择题:本大题共10小题,每小题5分,共50分,在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.(5分)(2015•重庆)已知集合A={1,2,3},B={1,3},则A∩B=(  )‎ A.{2} B.{1,2} C.{1,3} D.{1,2,3}‎ ‎【分析】直接利用集合的交集的求法求解即可.‎ ‎【解答】解:集合A={1,2,3},B={1,3},则A∩B={1,3}.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎2.(5分)(2015•重庆)“x=1”是“x2﹣2x+1=0”的(  )‎ A.充要条件 B.充分而不必要条件 C.必要而不充分条件 D.既不充分也不必要条件 ‎【分析】先求出方程x2﹣2x+1=0的解,再和x=1比较,从而得到答案.‎ ‎【解答】解:由x2﹣2x+1=0,解得:x=1,‎ 故“x=1”是“x2﹣2x+1=0”的充要条件,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎3.(5分)(2015•重庆)函数f(x)=log2(x2+2x﹣3)的定义域是(  )‎ A.[﹣3,1] B.(﹣3,1) C.(﹣∞,﹣3]∪[1,+∞) D.(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)‎ ‎【分析】利用对数函数的真数大于0求得函数定义域.‎ ‎【解答】解:由题意得:x2+2x﹣3>0,即(x﹣1)(x+3)>0‎ 解得x>1或x<﹣3‎ 所以定义域为(﹣∞,﹣3)∪(1,+∞)‎ 故选D.‎ ‎ ‎ ‎4.(5分)(2015•重庆)重庆市2013年各月的平均气温(℃)数据的茎叶图如,则这组数据的中位数是(  )‎ A.19 B.20 C.21.5 D.23‎ ‎【分析】根据中位数的定义进行求解即可.‎ ‎【解答】解:样本数据有12个,位于中间的两个数为20,20,‎ 则中位数为,‎ 故选:B ‎ ‎ ‎5.(5分)(2015•重庆)某几何体的三视图如图所示,则该几何体的体积为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】利用三视图判断直观图的形状,结合三视图的数据,求解几何体的体积即可.‎ ‎【解答】解:由题意可知几何体的形状是放倒的圆柱,底面半径为1,高为2,左侧与一个底面半径为1,高为1的半圆锥组成的组合体,‎ 几何体的体积为:=.‎ 故选:B.‎ ‎ ‎ ‎6.(5分)(2015•重庆)若tanα=,tan(α+β)=,则tanβ=(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】由条件利用查两角差的正切公式,求得tanβ=tan[(α+β)﹣α]的值.‎ ‎【解答】解:∵tanα=,tan(α+β)=,则tanβ=tan[(α+β)﹣α]===,‎ 故选:A.‎ ‎ ‎ ‎7.(5分)(2015•重庆)已知非零向量满足||=4||,且⊥()则的夹角为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】由已知向量垂直得到数量积为0,于是得到非零向量的模与夹角的关系,求出夹角的余弦值.‎ ‎【解答】解:由已知非零向量满足||=4||,且⊥(),设两个非零向量的夹角为θ,‎ 所以•()=0,即2=0,所以cosθ=,θ∈[0,π],所以;‎ 故选C.‎ ‎ ‎ ‎8.(5分)(2015•重庆)执行如图所示的程序框图,则输出s的值为(  )‎ A. B. C. D.‎ ‎【分析】模拟执行程序框图,依次写出每次循环得到的k,s的值,当k=8时不满足条件k<8,退出循环,输出s的值为.‎ ‎【解答】解:模拟执行程序框图,可得 s=0,k=0‎ 满足条件k<8,k=2,s=‎ 满足条件k<8,k=4,s=+‎ 满足条件k<8,k=6,s=++‎ 满足条件k<8,k=8,s=+++=‎ 不满足条件k<8,退出循环,输出s的值为.‎ 故选:D.‎ ‎ ‎ ‎9.(5分)(2015•重庆)设双曲线=1(a>0,b>0)的右焦点是F,左、右顶点分别是A1,A2,过F做A1A2的垂线与双曲线交于B,C两点,若A1B⊥A2C,则该双曲线的渐近线的斜率为(  )‎ A.± B.± C.±1 D.±‎ ‎【分析】求得A1(﹣a,0),A2(a,0),B(c,),C(c,﹣),利用A1B⊥‎ A2C,可得,求出a=b,即可得出 双曲线的渐近线的斜率.‎ ‎【解答】解:由题意,A1(﹣a,0),A2(a,0),B(c,),C(c,﹣),‎ ‎∵A1B⊥A2C,‎ ‎∴,‎ ‎∴a=b,‎ ‎∴双曲线的渐近线的斜率为±1.‎ 故选:C.‎ ‎ ‎ ‎10.(5分)(2015•重庆)若不等式组,表示的平面区域为三角形,且其面积等于,则m的值为(  )‎ A.﹣3 B.1 C. D.3‎ ‎【分析】作出不等式组对应的平面区域,求出三角形各顶点的坐标,利用三角形的面积公式进行求解即可.‎ ‎【解答】解:作出不等式组对应的平面区域如图:‎ 若表示的平面区域为三角形,‎ 由,得,即A(2,0),‎ 则A(2,0)在直线x﹣y+2m=0的下方,‎ 即2+2m>0,‎ 则m>﹣1,‎ 则A(2,0),D(﹣2m,0),‎ 由,解得,即B(1﹣m,1+m),‎ 由,解得,即C(,).‎ 则三角形ABC的面积S△ABC=S△ADB﹣S△ADC ‎ ‎=|AD||yB﹣yC|‎ ‎=(2+2m)(1+m﹣)‎ ‎=(1+m)(1+m﹣)=,‎ 即(1+m)×=,‎ 即(1+m)2=4‎ 解得m=1或m=﹣3(舍),‎ 故选:B ‎ ‎ 二、填空题:本大题共5小题,每小题5分,共25分.把答案填写在答题卡相应位置上.‎ ‎11.(5分)(2015•重庆)复数(1+2i)i的实部为 ﹣2 .‎ ‎【分析】利用复数的运算法则化简为a+bi的形式,然后找出实部;注意i2=﹣1.‎ ‎【解答】解:(1+2i)i=i+2i2=﹣2+i,所以此复数的实部为﹣2;‎ 故答案为:﹣2.‎ ‎ ‎ ‎12.(5分)(2015•重庆)若点P(1,2)在以坐标原点为圆心的圆上,则该圆在点P处的切线方程为 x+2y﹣5=0 .‎ ‎【分析】由条件利用直线和圆相切的性质,两条直线垂直的性质求出切线的斜率,再利用点斜式求出该圆在点P处的切线的方程.‎ ‎【解答】解:由题意可得OP和切线垂直,故切线的斜率为﹣==﹣,‎ 故切线的方程为y﹣2=﹣(x﹣1),即 x+2y﹣5=0,‎ 故答案为:x+2y﹣5=0.‎ ‎ ‎ ‎13.(5分)(2015•重庆)设△ABC的内角A,B,C的对边分别为a,b,c,且a=2,cosC=﹣,3sinA=2sinB,则c= 4 .‎ ‎【分析】由3sinA=2sinB即正弦定理可得3a=2b,由a=2,即可求得b,利用余弦定理结合已知即可得解.‎ ‎【解答】解:∵3sinA=2sinB,‎ ‎∴由正弦定理可得:3a=2b,‎ ‎∵a=2,‎ ‎∴可解得b=3,‎ 又∵cosC=﹣,‎ ‎∴由余弦定理可得:c2=a2+b2﹣2abcosC=4+9﹣2×=16,‎ ‎∴解得:c=4.‎ 故答案为:4.‎ ‎ ‎ ‎14.(5分)(2015•重庆)设a,b>0,a+b=5,则+的最大值为 3 .‎ ‎【分析】利用柯西不等式,即可求出的最大值.‎ ‎【解答】解:由题意,()2≤(1+1)(a+1+b+3)=18,‎ ‎∴的最大值为3,‎ 故答案为:3.‎ ‎ ‎ ‎15.(5分)(2015•重庆)在区间[0,5]上随机地选择一个数p,则方程x2+2px+3p﹣2=0有两个负根的概率为  .‎ ‎【分析】由一元二次方程根的分布可得p的不等式组,解不等式组,由长度之比可得所求概率.‎ ‎【解答】解:方程x2+2px+3p﹣2=0有两个负根等价于,‎ 解关于p的不等式组可得<p≤1或p≥2,‎ ‎∴所求概率P==‎ 故答案为:‎ ‎ ‎ 三、解答题:本大题共6小题,共75分,解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.‎ ‎16.(12分)(2015•重庆)已知等差数列{an}满足a3=2,前3项和S3=.‎ ‎(Ⅰ)求{an}的通项公式;‎ ‎(Ⅱ)设等比数列{bn}满足b1=a1,b4=a15,求{bn}前n项和Tn.‎ ‎【分析】(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,则由已知条件列式求得首项和公差,代入等差数列的通项公式得答案;‎ ‎(Ⅱ)求出,再求出等比数列的公比,由等比数列的前n项和公式求得{bn}前n项和Tn.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)设等差数列{an}的公差为d,则由已知条件得:‎ ‎,解得.‎ 代入等差数列的通项公式得:;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得,.‎ 设{bn}的公比为q,则,从而q=2,‎ 故{bn}的前n项和.‎ ‎ ‎ ‎17.(13分)(2015•重庆)随着我国经济的发展,居民的储蓄存款逐年增长.设某地区城乡居民人民币储蓄存款(年底余额)如下表:‎ 年份 ‎2010‎ ‎2011‎ ‎2012‎ ‎2013‎ ‎2014‎ 时间代号t ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 储蓄存款y(千亿元)‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎7‎ ‎8‎ ‎10‎ ‎(Ⅰ)求y关于t的回归方程=t+.‎ ‎(Ⅱ)用所求回归方程预测该地区2015年(t=6)的人民币储蓄存款.‎ 附:回归方程=t+中 ‎.‎ ‎【分析】(Ⅰ)利用公式求出a,b,即可求y关于t的回归方程=t+.‎ ‎(Ⅱ)t=6,代入回归方程,即可预测该地区2015年的人民币储蓄存款.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)‎ 由题意,=3,=7.2,‎ ‎=55﹣5×32=10,=120﹣5×3×7.2=12,‎ ‎∴=1.2,=7.2﹣1.2×3=3.6,‎ ‎∴y关于t的回归方程=1.2t+3.6.‎ ‎(Ⅱ)t=6时,=1.2×6+3.6=10.8(千亿元).‎ ‎ ‎ ‎18.(13分)(2015•重庆)已知函数f(x)=sin2x﹣cos2x.‎ ‎(Ⅰ)求f(x)的最小周期和最小值;‎ ‎(Ⅱ)将函数f(x)的图象上每一点的横坐标伸长到原来的两倍,纵坐标不变,得到函数g(x)的图象.当x∈时,求g(x)的值域.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由三角函数中的恒等变换应用化简函数解析式可得f(x)=sin(2x﹣)﹣,从而可求最小周期和最小值;‎ ‎(Ⅱ)由函数y=Asin(ωx+φ)的图象变换可得g(x)=sin(x﹣)﹣,由x∈[,π]时,可得x﹣的范围,即可求得g(x)的值域.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)∵f(x)=sin2x﹣cos2x=sin2x﹣(1+cos2x)=sin(2x﹣)﹣,‎ ‎∴f(x)的最小周期T==π,最小值为:﹣1﹣=﹣.‎ ‎(Ⅱ)由条件可知:g(x)=sin(x﹣)﹣‎ 当x∈[,π]时,有x﹣∈[,],从而sin(x﹣)的值域为[,1],那么sin(x﹣)﹣的值域为:[,],‎ 故g(x)在区间[,π]上的值域是[,].‎ ‎ ‎ ‎19.(12分)(2015•重庆)已知函数f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=处取得极值.‎ ‎(Ⅰ)确定a的值;‎ ‎(Ⅱ)若g(x)=f(x)ex,讨论g(x)的单调性.‎ ‎【分析】(Ⅰ)求导数,利用f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=处取得极值,可得f′(﹣)=0,即可确定a的值;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得g(x)=(x3+x2)ex,利用导数的正负可得g(x)的单调性.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)对f(x)求导得f′(x)=3ax2+2x.‎ ‎∵f(x)=ax3+x2(a∈R)在x=处取得极值,‎ ‎∴f′(﹣)=0,‎ ‎∴3a•+2•(﹣)=0,‎ ‎∴a=;‎ ‎(Ⅱ)由(Ⅰ)得g(x)=(x3+x2)ex,‎ ‎∴g′(x)=(x2+2x)ex+(x3+x2)ex=x(x+1)(x+4)ex,‎ 令g′(x)=0,解得x=0,x=﹣1或x=﹣4,‎ 当x<﹣4时,g′(x)<0,故g(x)为减函数;‎ 当﹣4<x<﹣1时,g′(x)>0,故g(x)为增函数;‎ 当﹣1<x<0时,g′(x)<0,故g(x)为减函数;‎ 当x>0时,g′(x)>0,故g(x)为增函数;‎ 综上知g(x)在(﹣∞,﹣4)和(﹣1,0)内为减函数,在(﹣4,﹣1)和(0,+∞)内为增函数.‎ ‎ ‎ ‎20.(12分)(2015•重庆)如题图,三棱锥P﹣ABC中,平面PAC⊥平面ABC,∠ABC=,点D、E在线段AC上,且AD=DE=EC=2,PD=PC=4,点F在线段AB上,且EF∥BC.‎ ‎(Ⅰ)证明:AB⊥平面PFE.‎ ‎(Ⅱ)若四棱锥P﹣DFBC的体积为7,求线段BC的长.‎ ‎【分析】(Ⅰ)由等腰三角形的性质可证PE⊥AC,可证PE⊥AB.又EF∥BC,可证AB⊥EF,从而AB与平面PEF内两条相交直线PE,EF都垂直,可证AB⊥平面PEF.‎ ‎(Ⅱ)设BC=x,可求AB,S△ABC,由EF∥BC可得△AFE∽△ABC,求得S△AFE=S△ABC,由AD=AE,可求S△AFD,从而求得四边形DFBC的面积,由(Ⅰ)知PE为四棱锥P﹣DFBC的高,求得PE,由体积VP﹣DFBC=SDFBC•PE=7,即可解得线段BC的长.‎ ‎【解答】解:(Ⅰ)如图,由DE=EC,PD=PC知,E为等腰△PDC中DC边的中点,故PE⊥AC,‎ 又平面PAC⊥平面ABC,平面PAC∩平面ABC=AC,PE⊂平面PAC,PE⊥AC,‎ 所以PE⊥平面ABC,从而PE⊥AB.‎ 因为∠ABC=,EF∥BC,‎ 故AB⊥EF,‎ 从而AB与平面PEF内两条相交直线PE,EF都垂直,‎ 所以AB⊥平面PEF.‎ ‎(Ⅱ)设BC=x,则在直角△ABC中,AB==,‎ 从而S△ABC=AB•BC=x,‎ 由EF∥BC知,得△AFE∽△ABC,‎ 故=()2=,即S△AFE=S△ABC,‎ 由AD=AE,S△AFD==S△ABC=S△ABC=x,‎ 从而四边形DFBC的面积为:SDFBC=S△ABC﹣SAFD=x﹣x=x.‎ 由(Ⅰ)知,PE⊥平面ABC,所以PE为四棱锥P﹣DFBC的高.‎ 在直角△PEC中,PE===2,‎ 故体积VP﹣DFBC=SDFBC•PE=x=7,‎ 故得x4﹣36x2+243=0,解得x2=9或x2=27,由于x>0,可得x=3或x=3.‎ 所以:BC=3或BC=3.‎ ‎ ‎ ‎21.(13分)(2015•重庆)如题图,椭圆=1(a>b>0)的左右焦点分别为F1,F2,且过F2的直线交椭圆于P,Q两点,且PQ⊥PF1.‎ ‎(Ⅰ)若|PF1|=2+,|PF2|=2﹣,求椭圆的标准方程.‎ ‎(Ⅱ)若|PQ|=λ|PF1|,且≤λ<,试确定椭圆离心率e的取值范围.‎ ‎【分析】(I)由椭圆的定义可得:2a=|PF1|+|PF2|,解得a.设椭圆的半焦距为c,由于PQ⊥PF1,利用勾股定理可得2c=|F1F2|=,解得c.利用b2=a2﹣c2.即可得出椭圆的标准方程.‎ ‎(II)如图所示,由PQ⊥PF1,|PQ|=λ|PF1|,可得|QF1|=,由椭圆的定义可得:|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a,解得|PF1|=.|PF2|=2a﹣|PF1|,由勾股定理可得:2c=|F1F2|=,代入化简.令t=1+λ,则上式化为e2=,解出即可.‎ ‎【解答】解:(I)由椭圆的定义可得:2a=|PF1|+|PF2|=(2+)+(2﹣)=4,解得a=2.‎ 设椭圆的半焦距为c,∵PQ⊥PF1,‎ ‎∴2c=|F1F2|===2,‎ ‎∴c=.‎ ‎∴b2=a2﹣c2=1.‎ ‎∴椭圆的标准方程为.‎ ‎(II)如图所示,由PQ⊥PF1,|PQ|=λ|PF1|,‎ ‎∴|QF1|==,‎ 由椭圆的定义可得:2a=|PF1|+|PF2|=|QF1|+|QF2|,‎ ‎∴|PF1|+|PQ|+|QF1|=4a,‎ ‎∴|PF1|=4a,解得|PF1|=.‎ ‎|PF2|=2a﹣|PF1|=,‎ 由勾股定理可得:2c=|F1F2|=,‎ ‎∴+=4c2,‎ ‎∴+=e2.‎ 令t=1+λ,则上式化为=,‎ ‎∵t=1+λ,且≤λ<,‎ ‎∴t关于λ单调递增,∴3≤t<4.∴,‎ ‎∴,解得.‎ ‎∴椭圆离心率的取值范围是.‎ ‎ ‎ 参与本试卷答题和审题的老师有:qiss;刘老师;雪狼王;maths;caoqz;changq;w3239003;刘长柏;lincy;sxs123;沂蒙松(排名不分先后)‎ ‎2017年2月3日