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- 2021-06-30 发布
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华安一中、龙海二中2019-2020学年上学期第一次月考
高三文科数学试题
一、选择题
1.集合,集合是函数的定义域,则下列结论正确的是( )
A. B. AÜB C. BÜA D.
【答案】C
【解析】
【分析】
可解出集合A,B,然后进行子集、相等的判断,交集的运算即可.
【详解】,
, BÜA,,
故选:C
【点睛】本题主要考查了一元二次不等式的解法,集合的交集,子集的概念,属于容易题.
2.时钟的分针在8点到10点20分这段时间里转过的弧度数为( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
【分析】
先根据分针每分钟转6°,求出度数,再根据角度和弧度的关系即可求出.
【详解】分针每分钟转,则分针在8点到10点20分这段时间里转过度数为,
,
故选:.
【点睛】本题主要考查了任意角的概念和角度和弧度的转化,属于基础题.
- 16 -
3.在等差数列中,则( )
A. B. C. D.
【答案】B
【解析】
试题分析:依题意,有,解得.
考点:等差数列.
4.下列函数中,在区间上为增函数的是( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
根据基本初等函数的单调性逐项判断即可.
【详解】中,函数可看作由,复合而成的函数,
而递增,递增,
在上递增;
中,的底数为,,
函数在上递减,排除B;
中,在上递增,在上递减,排除;
中,,在上递减,在上递减,故在上递减,排除;
故选:.
【点睛】本题考查函数单调性的判断,属基础题,熟练掌握基本函数的单调性是解决本题的基础.
- 16 -
5.等差数列的前项和为,且,,则公差( )
A. -3 B. 3 C. -2 D. 2
【答案】A
【解析】
【分析】
利用等差数列的通项公式与求和公式即可得出.
【详解】,,
,,
则解得公差.
故选:.
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式与求和公式,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
6.已知的内角、、所对的边分别为.若,则的面积为( )
A. B. 1 C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
由已知利用三角形面积公式即可计算得解.
【详解】解:,
.
故选:.
【点睛】本题主要考查了三角形面积公式在解三角形中的应用,属于基础题.
7.设角属于第二象限,且,则角属于( )
A. 第一象限 B. 第二象限 C. 第三象限 D. 第四象限
【答案】C
- 16 -
【解析】
【分析】
由是第二象限角,知在第一象限或在第三象限,再由,知,由此能判断出角所在象限.
【详解】是第二象限角,
,
,
当时,在第一象限,
当时,在第三象限,
在第一象限或在第三象限,
,
角在第三象限.
故选:.
【点睛】本题考查角所在象限的判断,是基础题,比较简单.解题时要认真审题,注意熟练掌握基础的知识点.
8.对于任意实数,符号表示的整数部分,即是不超过的最大整数,例如;;则的值为( )
A. 42 B. 43 C. 44 D. 45
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用新定义,化简求解即可.
【详解】由题意可知:,,
- 16 -
,个1,18个
.
故选:.
【点睛】本题考查新定义的应用,函数值的求法,考查计算能力,属于中档题.
9.若角的终边经过点,则( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
由题知.由诱导公式.故本题答案选.
10.已知且,则的值是( )
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
试题分析:因,故,而,故.应选C.
考点:同角的三角函数关系及运用.
11.已知:,是方程的两根,则的值为( )
A. 8 B. -3 C. -2 D. 2
【答案】D
【解析】
分析】
- 16 -
先由韦达定理求出,,再由两角和的正切公式即可计算出.
【详解】方程的判别式△,
故选:.
【点睛】本题综合考查了一元二次方程根与系数的关系,两角和的正切公式,解题时要牢记公式,认真计算,属于容易题.
12.函数图象在处的切线方程为( )
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
先求出切点的坐标和切线的斜率,再写出切线的方程.
【详解】当x=1时,f(1)=-2+0=-2,所以切点为(1,-2),
由题得,
所以切线方程为y+2=-1·(x-1),
即:
故选A
【点睛】本题主要考查导数的几何意义和切线方程的求法,意在考查学生对这些知识的理解掌握水平和分析推理能力.
二、填空题
13.满足条件的所有集合的个数是____个.
【答案】4
- 16 -
【解析】
【分析】
利用条件,,2,,则说明中必含所有元素3,然后进行讨论即可.
【详解】因为,,2,,
所以3一定属于,则满足条件的或,或,或,2,,共有4个.
故答案为:
【点睛】本题主要考查集合关系的应用,利用并集关系确定集合A的元素.比较基础.
14.若数列{}的前项和,则此数列的通项公式_______.
【答案】
【解析】
数列的前n项和是不含常数项的关于实数n的二次函数,
据此可得,该数列为等差数列,
其通项公式为: .
点睛:由Sn求an时, ,注意验证a1是否包含在后面an的公式中,若不符合要单独列出,一般已知条件含an与Sn的关系的数列题均可考虑上述公式.
15.如图,在单位圆中,为圆上的一个定点,为圆上的一个动点,的取值范围为_____.
【答案】
【解析】
【分析】
由向量数量积的定义、余弦函数的定义可求.
- 16 -
【详解】由向量数量积的定义可知,,
而,
所以
故答案为:
【点睛】本题主要考查了向量数量积的定义,余弦函数的定义,圆的性质,属于中档题.
16.已知数列为正项等差数列,其前2020项和,则的最小值为______.
【答案】4
【解析】
【分析】
数列为正项等差数列,其前2020项和,利用求和公式及其性质可得:,再利用乘1法与基本不等式的性质即可得出.
【详解】数列为正项等差数列,其前2020项和,
,
可得,
,
当且仅当时取等号.
故答案为:
【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质、乘1法与基本不等式的性质,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
三、解答题
17.设等差数列满足,
(Ⅰ)求的通项公式;
- 16 -
(Ⅱ)求的前项和及使得最大的序号的值
【答案】an=11-2n,n=5时,Sn取得最大值
【解析】
试题分析:解:(1)由an=a1+(n-1)d及a3=5,a10=-9得,a1+9d=-9,a1+2d=5,解得d=-2,a1=9,,数列{an}的通项公式为an=11-2n,(2)由(1)知Sn=na1+d=10n-n2.因为Sn=-(n-5)2+25.所以n=5时,Sn取得最大值.
考点:等差数列
点评:数列可看作一个定义域是正整数集或它的有限子集的函数,当自变量从小到大依次取值对应的一列函数值,因此它具备函数的特性.
18.已知定义域为的函数是奇函数.
(1)求,的值;
(2)在(1)的条件下,解不等式.
【答案】(1)1,2(2)
【解析】
【分析】
(1)利用函数的奇偶性可得,且(1),由此求得,的值.
(2)由题意根据在上为减函数,可得,由此求得它的解集.
【详解】(1)因为是上的奇函数,
所以,即,解得,
从而有.
又由知,解得.
- 16 -
(2)由(1)知,易知在上为减函数,
又因为是奇函数
∴转化
由函数为减函数得:,
解得
故所求不等式的解集为:.
【点睛】本题主要考查函数的奇偶性,函数的单调性,属于基础题.
19.已知函数在区间上的最小值为3,
(1)求常数的值;
(2)求的单调增区间;
(3)将函数的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的倍,再把所得图象向右平移个单位,得到函数,求函数的解析式.
【答案】(1);(2);(3)
【解析】
【分析】
(1)利用二倍角公式及辅助角公式将函数化简,再根据函数在给定区间上的最小值求出参数的值;
(2)结合正弦函数性质计算可得;
(3)根据三角函数的变换规则计算可得;
【详解】解:(1)因为
- 16 -
,
(2)由(1)知
令,
解得,
即函数的单调递增区间为:,;
(3)将函数的图象上各点的纵坐标保持不变,横坐标缩短到原来的倍,得到,
再把的图象向右平移个单位,
得到,
所以;
【点睛】本题考查三角恒等变换,三角函数的性质及三角函数的变换规则,属于中档题.
20.已知的内角、、所对的边分别为,,,且.
(1)若,角,求角的值;
- 16 -
(2)若,,求,的值.
【答案】(1)(2),
【解析】
【分析】
(1)直接利用已知条件和正弦定理求出结果;
(2)利用三角形的面积公式和余弦定理求出结果.
【详解】(1)由正弦定理得,在中,
∴,
∴;
(2)在中,
∵,
∴, 得.
由余弦定理得,
∴.
【点睛】本题主要考查了正弦定理,三角形面积公式,余弦定理,属于中档题.
21.已知函数(其中e是自然对数的底数,k为正数)
(1)若在处取得极值,且是的一个零点,求k的值;
(2)若,求在区间上的最大值.
【答案】(1);(2)k
【解析】
【详解】(1)由已知得,即
又即
- 16 -
(2),
,由此得时,单调递减;时单调递增,故
又,当即时
当即时,.
[选修4-4:坐标系与参数方程]
22.已知圆的极坐标方程为:.
(1)将极坐标方程化普通方程;
(2)若点在该圆上,求的最大值和最小值.
【答案】(1)
(2)最大值为,最小值为
【解析】
【分析】
(1)将先由两角差的余弦公式展开,再化为普通方程.
(2)由题可知圆的参数方程为 (为参数),因为点在该圆上,所以,所以可得,从而得出答案.
【详解】(1)由圆的极坐标方程为:
可得,即
所以直角坐标方程为
- 16 -
(2)由(1)可知圆的方程为
所以圆的参数方程为 ,(为参数)
因为点在该圆上,所以
所以
因为的最大值为,最小值为
所以的最大值为,最小值为
【点睛】极坐标与参数方程是高考的重要选修考点,学生应准确掌握极坐标方程与普通方程的互化,与圆锥曲线有关的最值问题可转化为三角函数求最值.
[选修4-5:不等式选讲]
23.
已知,且,若恒成立,
(1)求的最小值;
(2)若对任意的恒成立,求实数的取值范围.
【答案】(1);(2)或.
【解析】
试题分析:第一问结合柯西不等式,凑成相应的形式,从而求得结果,第二问注意向最值转换.
试题解析:(1)因为,所以,(当且仅当,即时取等号)
又因为恒成立,所以.故的最小值为.
(2)使恒成立,须且只须.
- 16 -
∴或或∴或.
考点:柯西不等式,恒成立问题的转换.
- 16 -
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