广东省湛江市2020届高三普通高考测试（一）数学（理）试题 Word版含解析 27页

www.ks5u.com 湛江市2020年普通高考测试（一）‎ 理科数学 注意事项：‎ ‎1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号等填写在答题卡和试卷指定位置上．‎ ‎2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑．如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上．写在本试卷上无效．‎ ‎3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回．‎ 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分．在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．‎ ‎1. 设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解出集合，再求出，根据交集定义即可求得.‎ ‎【详解】由，解得或，‎ 或．‎ 由，解得，‎ ‎．‎ ‎．‎ ‎．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查的是集合的交集，补集的运算，以及分式、绝对值不等式，以及对数不等式的求解，是基础题.‎ - 27 -‎ ‎2. 已知复数满足（是虚数单位），则的最大值为（ ）‎ A. 2 B. 3 C. 4 D. 5‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由复数的几何意义可知对应的轨迹，从而得到的最大值.‎ ‎【详解】由复数的模的几何意义可知，‎ 复数在复平面内对应的点的轨迹为：以为圆心，以2为半径的圆的内部（包括圆周）．‎ 而表示点到点的距离，‎ 所以当点为时，最大，‎ 故的最大值是.‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查的是复数模的求法，考查了复数模的几何意义，体现了数形结合的解题思想方法，是基础题.‎ ‎3. 已知，，，则，，的大小关系是（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由对数运算，指数运算，即可容易判断.‎ ‎【详解】∵，，，‎ ‎∴．‎ ‎∵，‎ - 27 -‎ ‎∴．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查指数运算和对数运算，属综合基础题。‎ ‎4. 已知直线，平面，则是的 （ ）‎ A. 充分但不必要条件 B. 必要但不充分条件 C. 充分必要条件 D. 既不充分也不必要条件 ‎【答案】B ‎【解析】‎ 因为直线时不一定平行,而时平面内任意直线都平行平面,即,因此是的必要但不充分条件,选B.‎ ‎5. 已知，，则向量在方向上的投影为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求得的坐标，利用向量的坐标即可求得结果.‎ ‎【详解】∵，，∴．‎ ‎∴，．‎ ‎∴向量在方向上的投影为．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查向量的坐标运算，涉及数量积的坐标运算，属综合基础题.‎ ‎6. 已知，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ - 27 -‎ ‎【分析】‎ 根据已知条件以及，解得，再利用二倍角公式即可化简求得结果.‎ ‎【详解】，且，‎ ‎，解得．又，‎ ‎．‎ ‎，，‎ ‎．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查的是同角三角函数基本关系式，二倍角公式在三角函数化简求值中的应用，是基础题.‎ ‎7. 已知函数，若在为增函数，则实数的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据复合函数的单调性可知在在上为增函数，且，从而列出不等式组，即可得实数的取值范围.‎ ‎【详解】在上为增函数，且函数在上为增函数，‎ 在上为增函数，且．‎ - 27 -‎ 当时，在上为减函数，不符合题意，故.‎ 当时，‎ ‎，解得．‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查的是对数函数，二次函数的单调性以及复合函数单调性的判断方法，要注意先考虑函数的定义域，是中档题.‎ ‎8. “岂曰无衣，与子同袍”，“山川异域，风月同天”．自新冠肺炎疫情爆发以来，全国各省争相施援湖北．截至3月初，山西省共派出13批抗疫医疗队前往湖北，支援抗击新型冠状病毒感染的肺炎疫情．某医院组建的由7位专家组成的医疗队，按照3人、2人、2人分成了三个小组，负责三个不同病房的医疗工作，则不同的安排方案共有（ ）‎ A. 105种 B. 210种 C. 630种 D. 1260种 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用分步计数原理，先将7人按照3人、2人、2人分成了三个小组，再安排到不同的病房，‎ ‎【详解】7人分成三个小组并安排到不同病房工作，‎ 有种方法.‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题主要考查的是分步计数原理的应用，以及平均分组的问题，考查学生的分析问题解决问题的能力，是中档题.‎ ‎9. 点的坐标满足直线经过点，则实数的最大值为（ ）‎ - 27 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 作出不等式组对应平面区域，利用实数的几何意义即可得到实数的最大值.‎ ‎【详解】‎ 根据线性约束条件画出可行域，得到如图所示的三角形区域．直线的方程可化为，‎ 当直线在轴上的截距最小时，实数取得最大值．‎ 在图中作出直线并平移，使它与图中的阴影区域有公共点，且在轴上的截距最小．‎ 由图可知，当直线过点时，截距最小．‎ 由，求得，‎ 代入到中，解得，‎ 即．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查的是线性规划的应用，解题的关键是画出不等式组对应可行域，以及实数的几何意义，是基础题.‎ ‎10. 如图，，是双曲线的左、右焦点，过的直线与双曲线左、右两支分别交于点，．若，为的中点，且，则双曲线的离心率为（ ）．‎ - 27 -‎ A. B. C. D. 2‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据双曲线的定义，结合几何关系，用表示出三角形的三条边，由余弦定理即可求得结果.‎ ‎【详解】连接，，设，则由已知可得．‎ ‎∵，为双曲线上的点，‎ ‎∴，．‎ ‎∵为的中点，且，‎ ‎∴．∴．∴．‎ ‎∴，，．‎ ‎∵在直角中，．‎ ‎∴．‎ ‎∴．∴．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查双曲线离心率的求解，涉及双曲线的定义，属中档题.‎ - 27 -‎ ‎11. 在三棱柱中，平面，，则三棱柱的外接球的体积与三棱柱的体积之比为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求出三棱柱的外接球半径，从而得出球的体积，再求出三棱柱的体积，即可得出它们的比.‎ ‎【详解】‎ 如图，为三棱柱上、下底面的中心，为的中点，‎ 连接，则为三棱柱外接球的球心，为外接球半径．‎ 在直角中，易求得，，‎ ‎．．‎ 又，‎ ‎．‎ 故选：C．‎ - 27 -‎ ‎【点睛】本题主要考查的是空间几何体的结构和空间几何体的体积，解题的关键是根据外接球性质找到外接球的球心，是中档题.‎ ‎12. 已知函数的图象与轴的两个相邻交点的横坐标为，下面4个有关函数的结论：‎ ‎①函数的图象关于原点对称；‎ ‎②在区间上，的最大值为；‎ ‎③是的一条对称轴；‎ ‎④将的图象向左平移个单位，得到的图象，若为两个函数图象的交点，则面积的最小值为．‎ 其中正确的结论个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意求出函数的表达式，再根据选项要求一一判断即可.‎ ‎【详解】，．将代入，‎ 得．又，．‎ ‎．‎ 不是奇函数．‎ - 27 -‎ 的图象不关于原点对称，①错；‎ 当时，，‎ 由的单调性可知：，即的最大值为，②对；‎ 由，得的对称轴方程为，‎ 不是的对称轴，③错；‎ ‎，由，得，，相邻两个交点的横坐标之差为，‎ 将代入，得到交点的纵坐标为，‎ 面积的最小值为，④对．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查的是三角函数模型的性质和应用，以及三角函数图像平移问题，解题的关键是熟练掌握三角函数模型的性质，是中档题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分．‎ ‎13. 一组样本数据10，23，12，5，9，，21，，22平均数为16，中位数为21，则________．‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平均数的求解，即可求得的关系式，根据中位数的大小，即可容易求得，则问题得解.‎ - 27 -‎ ‎【详解】∵数据的平均数为16，‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ ‎∵，且数据的中位数为21，‎ ‎∴，．‎ ‎∴．‎ ‎∴．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查一组数据的平均数和中位数的求解，属基础题.‎ ‎14. 2019国际乒联世界巡回赛男子单打决赛在甲、乙两位选手间进行，比赛实行七局四胜制（先获得四局胜利的选手获胜），已知每局比赛甲选手获胜的概率是，且前五局比赛甲领先，则甲获得冠军的概率是______．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意甲要获得冠军，则甲要么以夺冠，要么以夺冠，分别求出，即可得甲获得冠军的概率.‎ ‎【详解】每局比赛甲选手获胜概率是，且前五局比赛甲领先，‎ 甲以夺冠的概率为，甲以夺冠的概率为．‎ 甲最终夺冠的概率为．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查的是相互独立事件的概率乘法公式的应用，体现了分类讨论的数学思想，是基础题.‎ ‎15. 已知分别为三个内角的对边，，且．若分别为边的中点，且为的重心，则面积的最大值为______．‎ - 27 -‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理，余弦定理求得，可得面积的最大值，再根据题意及平面几何知识可得，从而得到面积的最大值.‎ ‎【详解】由，根据正弦定理，‎ 可得，．‎ 由余弦定理可知，，‎ 分别为边的中点，且为的重心，‎ 由平面几何知识可知，．‎ 面积的最大值为．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题主要考查的是解三角形中的正余弦定理，三角形面积公式，牢记三角形面积公式以及在实际中的应用，是中档题.‎ ‎16. 在平面直角坐标系中，为坐标原点，是抛物线的焦点，过的直线与抛物线交于，两点，若，则的面积为________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，设出直线的方程，联立抛物线方程，由焦点弦公式即可容易求得，结合点到直线的距离公式，即可容易求得结果.‎ - 27 -‎ ‎【详解】由已知，不妨设，，，．‎ 若直线斜率不存在，，与已知矛盾；‎ 则直线斜率存在，设，‎ 与抛物线联立，得，‎ 则，．‎ 由抛物线的定义，焦点弦长 ‎．‎ ‎∴，∴点到直线的距离为，‎ ‎∴．‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查由抛物线焦点弦求直线方程，以及求抛物线中三角形面积，属中档题.‎ 三、解答题：共70分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答．第22、23题为选考题，考生根据要求作答．‎ ‎（一）必考题：共60分．‎ ‎17. 已知为数列的前项和，且．‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）若数列满足，求数列的前项和．‎ ‎【答案】（1）．（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据，，，求得；‎ - 27 -‎ ‎（2）由（1）可得，再利用错位相减法求得数列的前项和．‎ ‎【详解】（1），．‎ ‎．‎ 数列是以为首项，以为公比的等比数列．‎ ‎．‎ ‎（2），‎ ‎．‎ ‎．①‎ ‎．②‎ ‎，得 ‎．‎ - 27 -‎ ‎【点睛】本题主要考查是数列通项公式的求法以及数列求和的常用方法，错位相减法求和的方法的应用，考查学生的分析和计算能力，是中档题.‎ ‎18. 如图1，在中，，，为的中点，将沿折起，得到如图2所示的三棱锥，二面角为直二面角．‎ ‎ ‎ ‎（1）求证：平面平面；‎ ‎（2）设分别为的中点，求二面角的余弦值．‎ ‎【答案】（1）见解析（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）通过计算证明出二面角为直二面角，即可证明平面平面；‎ ‎（2）建立空间直角坐标系，利用空间向量法求平面的法向量和平面的法向量，利用向量数量积可得二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）证明：在中，，‎ 为的中点，．‎ 又，．．‎ ‎，．‎ 二面角为直二面角，平面平面．‎ 平面．‎ - 27 -‎ 又平面，平面平面．‎ ‎（2）以为坐标原点，所在直线为轴，所在直线为轴，过点且垂直于平面的直线为轴，建立如图所示的空间直角坐标系．‎ 可求得，，，．‎ 分别为的中点，‎ ‎，．‎ ‎，，‎ 设平面的法向量为，‎ 由得令，则．‎ 设平面的法向量为，‎ 由得令，则．‎ ‎，‎ 二面角的余弦值为．‎ ‎【点睛】本题主要考查的是面面垂直的判定，利用向量法求二面角的余弦值，解题时要认真审题，注意向量法的合理运用，考查学生的计算能力，是中档题.‎ ‎19.‎ - 27 -‎ ‎ 我国全面二孩政策已于2016年1月1日起正式实施．国家统计局发布的数据显示，从2012年到2017年，中国的人口自然增长率变化始终不大，在5‰上下波动（如图）．‎ ‎ ‎ 为了了解年龄介于24岁至50岁之间的适孕夫妻对生育二孩的态度如何，统计部门按年龄分为9组，每组选取150对夫妻进行调查统计有生育二孩意愿的夫妻数，得到下表：‎ 年龄区间 有意愿数 ‎80‎ ‎81‎ ‎87‎ ‎86‎ ‎84‎ ‎83‎ ‎83‎ ‎70‎ ‎66‎ ‎（1）设每个年龄区间的中间值为，有意愿数为，求样本数据的线性回归直线方程，并求该模型的相关系数（结果保留两位小数）；‎ ‎（2）从，，，，这五个年龄段中各选出一对夫妻（能代表该年龄段超过半数夫妻的意愿）进一步调研，再从这5对夫妻中任选2对夫妻．求其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率．‎ ‎（参考数据和公式：，，‎ - 27 -‎ ‎，，，）‎ ‎【答案】（1）．-0.63（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意，结合参考数据和公式，代值计算即可求得结果；‎ ‎（2）列举出所有选取的结果，找出满足题意的选取结果，根据古典概型的概率计算公式即可求得.‎ ‎【详解】解：（1）由题意可求得：，，，‎ ‎，，‎ ‎∴．‎ 又∵，‎ ‎，‎ ‎∴．‎ ‎∴．∴．‎ ‎∴回归直线方程为．‎ ‎∴． ‎ ‎（2）由题意可知，在，，年龄段中，‎ - 27 -‎ 超过半数的夫要有生育二孩意愿，在，年龄段中，‎ 超过半数的夫妻没有生育二孩意愿．‎ 设从，，年龄段中选出的夫妻分别为，，，‎ 从，年龄段中选出的夫妻分别为，． ‎ 则从中选出2对夫妻的所有可能结果为，，，，‎ ‎，，，，，，共10种情况．‎ 其中恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的情况有，，，，‎ ‎，，共6种． ‎ ‎∴恰有一对不愿意生育二孩的夫妻的概率．‎ ‎【点睛】本题考查线性回归方程、回归系数的计算，涉及古典概型的概率求解，计算量相对较大，需认真计算即可.‎ ‎20. 已知原点到动直线的距离为2，点到，的距离分别与到直线的距离相等．‎ ‎（1）证明为定值，并求点的轨迹方程；‎ ‎（2）是否存在过点的直线，与点的轨迹交于两点，为线段的中点，且？若存在，请求出直线的方程；若不存在，请说明理由．‎ ‎【答案】（1）见解析，．（2）见解析，或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据题意易证为定值，由，判定的轨迹为中心在原点，以为焦点的椭圆，根据椭圆定义可得椭圆方程；‎ ‎（2）根据题意知直线的斜率存在，设出直线方程，与椭圆联立，由得出的取值范围，再由推得，有韦达定理即可得出直线的方程.‎ ‎【详解】（1）设点到直线的距离分别为．‎ - 27 -‎ 由已知，，，‎ 又为的中点，‎ ‎．‎ 由椭圆定义可知，点的轨迹为中心在原点，以为焦点的椭圆．‎ ‎，．．‎ 点的轨迹方程为．‎ ‎（2）假设直线存在，当的斜率不存在时，显然不成立 设，，．‎ 由得 ‎，或．‎ ‎，．‎ ‎，‎ ‎．‎ ‎．‎ - 27 -‎ ‎．‎ ‎．‎ 解得或．‎ ‎，且，‎ 存在直线满足条件，直线的方程为或，即或．‎ ‎【点睛】本题主要考查的是椭圆的标准方程，考查直线与椭圆的位置关系，考查向量知识的运用，直线与椭圆联立，利用韦达定理是解题的关键，是中档题.‎ ‎21. 已知函数．‎ ‎（1）设，当时，求函数的单调减区间及极大值；‎ ‎（2）设函数有两个极值点，‎ ‎①求实数的取值范围；‎ ‎②求证：．‎ ‎【答案】（1）单调减区间为，，．（2）①．②见解析 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数，再求出其导函数，令，解出，根据单调性和极值求法即可求解.‎ - 27 -‎ ‎（2）①函数有两个极值点，即方程有两个不等实根．分离参数，转化成图像有两个交点，利用导数判定函数的单调性，即可得到实数的取值范围；②不妨设，由①知，且有，可得，将可化．再构造函数，利用导数证出，即可证明.‎ ‎【详解】（1），‎ ‎．‎ 当时，．‎ 令，解得，‎ 当时，，为单调减函数；‎ 当时，，为单调增函数；‎ 当时，，为单调减函数，‎ 函数的单调减区间为，，．‎ ‎（2）①函数有两个极值点，‎ 方程有两个不等实根．‎ 由，显然时方程无根，．‎ - 27 -‎ 设，则．‎ 令，得．‎ 当时，，为单调递增函数；‎ 当时，，单调递减函数．‎ 且当时，；当时，，‎ ‎．．‎ 实数的取值范围是．‎ ‎②证明：不妨设，由①知，且有 可化为．‎ 又．‎ 即证，‎ 即证，即．‎ 设，即证当时成立．‎ 设，‎ ‎，‎ 在上为增函数．‎ ‎，即成立．‎ - 27 -‎ 成立．‎ ‎【点睛】本题主要考查的是利用导数研究函数的单调性、函数极值点问题，构造函数是解决本题的关键考查考生的分类讨论思想、等价转化能力、数学计算能力，是难题.‎ ‎（二）选考题：共10分．请考生在第22、23题中任选一题作答．如果多做，则按所做的第一题计分．‎ ‎[选修4—4：坐标系与参数方程]‎ ‎22. 在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求曲线的直角坐标方程及直线的普通方程；‎ ‎（2）设直线与曲线交于，两点（点在点左边）与直线交于点．求和的值．‎ ‎【答案】（1），．（2），．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用公式和正弦的和角公式，将极坐标方程即可转化为直角坐标方程；消去参数，则参数方程即可转化为普通方程；‎ ‎（2）设出的极坐标点，联立与曲线的极坐标方程，即可求极坐标系下两点之间的距离.‎ ‎【详解】解：（1）∵‎ - 27 -‎ ‎，‎ 又∵，，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为 ‎ ‎∵（为参数），消去，得．‎ ‎∴直线的普通方程为． ‎ ‎（2）设点，，．‎ ‎∵曲线的极坐标方程为，‎ 将代入，．‎ ‎∴，．‎ ‎∵直线的极坐标方程为，‎ ‎∴，解得．‎ ‎∴，．‎ ‎【点睛】本题考查极坐标方程、参数方程、普通方程之间的相互转化，涉及极坐标系下求两点之间的距离，属综合中档题.‎ ‎[选修4—5：不等式选讲]‎ ‎23. 已知函数．‎ ‎（1）若，解不等式；‎ ‎（2）若对任意，求证：．‎ ‎【答案】（1）（2）证明见详解.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 27 -‎ ‎（1）分类讨论，即可求得不等式的解集；‎ ‎（2）使用两次绝对值三角不等式，即可容易证明.‎ ‎【详解】（1）解：∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴或或，‎ 解得或或．‎ ‎∴不等式的解集为． ‎ ‎（2）证明：∵，‎ 又∵，‎ ‎∴．‎ ‎∴成立．‎ ‎【点睛】本题考查利用分类讨论求绝对值不等式解集，以及利用绝对值三角不等式证明不等式，属综合基础题.‎ - 27 -‎ - 27 -‎