高考理科数学复习练习作业78 7页

题组层级快练(七十八)‎ ‎1．二项式(x－)6的展开式中常数项为(　　)‎ A．－15　　　　　　　　　 B．15‎ C．－20 D．20‎ 答案　B 解析　依题意，二项展开式的通项公式Tr＋1＝C6rx6－r(－x－)r＝(－1)rC6rx6－r－，令6－r－＝0，得r＝4，所以常数项为(－1)4C64＝15.‎ ‎2．(2017·衡水中学调研卷)若(－)n的展开式中第四项为常数项，则n＝(　　)‎ A．4 B．5‎ C．6 D．7‎ 答案　B 解析　依题意，T4＝Cn3·(－)3·x－1，∵其展开式中第四项为常数项，∴－1＝0，∴n＝5.故选B.‎ ‎3．(2017·湖北宜昌一中模拟)二项式(－x)n的展开式中含有x2项，则n可能的取值是(　　)‎ A．5 B．6‎ C．7 D．8‎ 答案　D 解析　展开式的通项为Tk＋1＝Cnk()n－k(－x)k＝(－1)kCnkx－n，由－n＝2，得n＝－2.k＝4时，n＝8，选D.‎ ‎4．在(x＋1)(2x＋1)…(nx＋1)(n∈N*)的展开式中一次项系数为(　　)‎ A．Cn2 B．Cn＋12‎ C．Cnn－1 D.Cn＋13‎ 答案　B 解析　1＋2＋3＋…＋n＝＝Cn＋12.‎ ‎5．(2015·湖北，理)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，则奇数项的二项式系数和为(　　)‎ A．212 B．211‎ C．210 D．29‎ 答案　D 解析　因为(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，所以Cn3＝Cn7，解得n＝10，所以二项式(1＋x)10的展开式中奇数项的二项式系数和为×210＝29.‎ ‎6．(x2－x＋1)10展开式中x3项的系数为(　　)‎ A．－210 B．210‎ C．30 D．－30‎ 答案　A 解析　(x2－x＋1)10＝[x2－(x－1)]10＝C100(x2)10－C101(x2)9(x－1)＋…－C109x2(x－1)9＋C1010(x－1)10，所以含x3项的系数为－C109C98＋C1010(－C107)＝－210，故选A.‎ ‎7．(2017·杭州学军中学)二项式(ax＋)6的展开式的第二项的系数为－，则x2dx的值为(　　)‎ A. B．3‎ C．3或 D．3或－ 答案　A 解析　二项展开式的第二项为T2＝C61(ax)5×，则由题意有×C61a5＝－，解得 a＝－1，所以 x2dx＝x3－2＝－－(－)＝.‎ ‎8．(2017·山东师大附中月考)设复数x＝(i为虚数单位)，则C2 0171x＋C2 0172x2＋C2 0173x3＋…＋‎ C2 0172 017x2 017＝(　　)‎ A．i B．－i C．－1＋i D．1＋i 答案　C 解析　x＝＝－1＋i，C2 0171x＋C2 0172x2＋…＋C2 0172 017x2 017＝(1＋x)2 017－1＝i2 017－1＝i－1，故选C.‎ ‎9．若(x＋)(2x－)5的展开式中各项系数的和为2，则该展开式的常数项为(　　)‎ A．－40 B．－20‎ C．20 D．40‎ 答案　D 解析　令x＝1，得(1＋a)(2－1)5＝2，∴a＝1.‎ ‎∴(2x－)5的通项为Tr＋1＝C5r·(2x)5－r·(－)r＝(－1)r·25－r·C5r·x5－2r.‎ 令5－2r＝1，得r＝2.令5－2r＝－1，得r＝3.‎ ‎∴展开式的常数项为(－1)2×23·C52＋(－1)3·22·C53＝80－40＝40.‎ ‎10．已知(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，则a8＝(　　)‎ A．－180 B．180‎ C．45 D．－45‎ 答案　B 解析　因为(1＋x)10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，所以[2－(1－x)]10＝a0＋a1(1－x)＋a2(1－x)2＋…＋a10(1－x)10，所以a8＝C10822(－1)8＝180.‎ ‎11．若(1－2x)2 016＝a0＋a1x＋…＋a2 016x2 016(x∈R)，则＋＋＋…＋的值为 ‎(　　)‎ A．2 B．0‎ C．－1 D．－2‎ 答案　C 解析　由二项式定理得通项为Tr＋1＝C2 016r(－2x)r＝(－1)r2rC2 016rxr，‎ 则an＝(－1)n2nC2 016n，∴＝(－1)nC2 016n.‎ 则＋＋＋…＋＝(1－1)2 016－C2 0160＝－1.故选C.‎ ‎12．(2015·新课标全国Ⅰ，理)(x2＋x＋y)5的展开式中，x5y2的系数为(　　)‎ A．10 B．20‎ C．30 D．60‎ 答案　C 解析　在(x2＋x＋y)5的5个因式中，2个因式中取x2剩余的3个因式中1个取x，其余因式取y，故x5y2的系数为C52C31C22＝30，故选C项．‎ ‎13．(2017·西安五校联考)从(＋)20的展开式中任取一项，则取到有理项的概率为 ‎(　　)‎ A. B. C. D. 答案　B 解析　(＋)20的展开式的通项为Tk＋1＝C20k()20－k()k＝C20kx5－k，其中k＝0，1，2，…，20.‎ 而当k＝0，4，8，12，16，20时，5－k为整数，对应的项为有理项，‎ 所以从(＋)20的展开式中任取一项，‎ 则取到有理项的概率为P＝＝.‎ ‎14．(2017·衡水中学调研卷)设a，b，m为整数(m>0)，若a和b被m除得的余数相同，则称a和b对模m同余，记为a≡b(modm)．若a＝C200＋C201·2＋C202·22＋…＋C2020·220，a≡b(mod10)，则b的值可以是(　　)‎ A．2 018 B．2 019‎ C．2 020 D．2 021‎ 答案　D 解析　a＝C200＋C201·2＋C202·22＋…＋C2020·220＝(1＋2)20＝320＝(80＋1)5，它被10除所得余数为1，又a≡b(mod10)，所以b的值可以是2 021.‎ ‎15．(x＋2)10(x2－1)的展开式中x10的系数为________．‎ 答案　179‎ 解析　(x＋2)10(x2－1)＝x2(x＋2)10－(x＋2)10，‎ 本题求x10的系数，只要求(x＋2)10展开式中x8及x10的系数Tr＋1＝C10rx10－r· 2r 取r＝2，r＝0得x8的系数为C102×22＝180，‎ x10的系数为C100＝1，‎ ‎∴所求系数为180－1＝179.‎ ‎16．若(x－)8的展开式中常数项为1 120，则展开式中各项系数之和为________．‎ 答案　1‎ 解析　(x－)8的展开式的通项为Tr＋1＝C8rx8－r(－a2)rx－r＝C8r(－a2)rx8－2r，令8－2r＝0，解得r＝4，所以C84(－a2)4＝1 120，所以a2＝2，故(x－)8＝(x－)8.令x＝1，得展开式中各项系数之和为(1－2)8＝1.‎ ‎17．已知(xcosθ＋1)5的展开式中x2的系数与(x＋)4的展开式中x3的系数相等，则cosθ＝________．‎ 答案　± 解析　由二项式定理知(xcosθ＋1)5的展开式中x2的系数为C53cos2θ，(x＋)4的展开式中x3的系数为C41，于是有C53cos2θ＝C41，解得cos2θ＝，所以可得cosθ＝±.‎ ‎18．设函数f(x，n)＝(1＋x)n(n∈N*)．‎ ‎(1)求f(x，6)的展开式中系数最大的项；‎ ‎(2)若f(i，n)＝32i(i为虚数单位)，求Cn1－Cn3＋Cn5－Cn7＋Cn9.‎ 答案　(1)20x3　(2)32‎ 解析　(1)展开式中系数最大的项是第4项T4＝C63x3＝20x3.‎ ‎(2)由已知(1＋i)n＝32i，两边取模，得()n＝32，所以n＝10.‎ 所以Cn1－Cn3＋Cn5－Cn7＋Cn9＝C101－C103＋C105－C107＋C109，而(1＋i)10＝C100＋C101i＋C102i2＋…＋C109i9＋C1010i10＝(C100－C102＋C104－C106＋C108－C1010)＋(C101－C103＋C105－C107＋C109)i＝32i，所以C101－C103＋C105－C107＋C109＝32.‎ ‎1．若多项式x10＝a0＋a1(x＋1)＋…＋a8(x＋1)8＋a9(x＋1)9＋a10(x＋1)10，则a8＝(　　)‎ A．45 B．9‎ C．－45 D．－9‎ 答案　A 解析　a8为x10＝[－1＋(x＋1)]10的展开式中第九项(x＋1)8的系数，∴a8＝C102＝45，故选A.‎ ‎2．(2017·浙江金丽衢十二校二联)在二项式(x2－)11的展开式中，系数最大的项为(　　)‎ A．第五项 B．第六项 C．第七项 D．第六和第七项 答案　C 解析　依题意可知Tr＋1＝C11r(－1)rx22－3r，0≤r≤11，r∈Z，二项系数最大的是C115与C116，所以系数最大的是T7＝C116，即第七项．‎ ‎3．在(1＋x)n(n∈N*)的二项展开式中，若只有x5的系数最大，则n＝(　　)‎ A．8 B．9‎ C．10 D．11‎ 答案　C 解析　含x5的项是第6项，它是中间项．∴n＝10.选C.‎ ‎4．若(ax2＋)6的展开式中x3项的系数为20，则a2＋b2的最小值为(　　)‎ A．1 B．2‎ C．3 D．4‎ 答案　B 解析　由二项式定理的展开公式可得Tr＋1＝C6r(ax2)6－r·()r＝C6ra6－r·brx12－3r，令12－3r＝3，得r＝3.因为(ax2＋)6的展开式中x3项的系数为20，所以C63a3b3＝20，a3b3＝1，ab＝1.由基本不等式可得a2＋b2≥2ab＝2，当且仅当a＝b时等号成立．所以选B.‎ ‎5．在(ax－1)6的二项展开式中，若中间项的系数是160，则实数a＝________．‎ 答案　－2‎ 解析　∵在(ax－1)6的二项展开式中共有7项，展开式的中间项为第4项，此时T4＝C63(ax)3(－1)3，∴中间项的系数为－a3C63＝－20a3＝160，∴a＝－2.‎ ‎6．(2017·江西上饶中学月考)设x5＝a0＋a1(2－x)＋a2(2－x)2＋…＋a5(2－x)5，那么的值为(　　)‎ A．－ B．－ C．－ D．－1‎ 答案　B 解析　当x＝1时，1＝a0＋a1＋a2＋a3＋a4＋a5；当x＝3时，35＝a0－a1＋a2－a3＋a4－a5；x5＝[2－(2－x)]5，则a5＝C5520·(－1)5＝－1.∴a0＋a2＋a4＝122，a1＋a3＝－120，∴＝－.‎ ‎7．(2016·江西省宜春中学与新余一中高三联考)若(9x－)n(n∈N*)的展开式中第3项的二项式系数为36，则其展开式中的常数项为(　　)‎ A．84 B．－252‎ C．252 D．－84‎ 答案　A 解析　由题意可得，Cn2＝36，∴n＝9，∴(9x－)n＝(9x－)9的展开式的通项为Tr＋1＝C9r·99－r·(－)r·x9－，令9－＝0，则r＝6，∴展开式中的常数项为C96×93×(－)6＝84.‎ ‎8．设(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，求下列各式的值：‎ ‎(1)a0；‎ ‎(2)a1＋a2＋…＋a100；‎ ‎(3)a1＋a3＋a5＋…＋a99；‎ ‎(4)(a0＋a2＋…＋a100)2－(a1＋a3＋…＋a99)2.‎ 答案　(1)2100　(2)(2－)100－2100　(3)　(4)1‎ 解析　(1)(2－x)100展开式中的常数项为 C1000·2100，即a0＝2100，或令x＝0，则展开式可化为a0＝2100.‎ ‎(2)令x＝1，可得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100 ①‎ ‎∴a1＋a2＋…＋a100＝(2－)100－2100.‎ ‎(3)令x＝－1，可得a0－a1＋a2－a3＋…＋a100＝(2＋)100 ②‎ 与x＝1所得到的①联立相减可得a1＋a3＋…＋a99＝.‎ ‎(4)原式＝[(a0＋a2＋…＋a100)＋(a1＋a3＋…＋a99)]·[(a0＋a2＋…＋a100)－(a1＋a3＋…＋a99)]＝(a0＋a1＋a2＋…＋a100)(a0－a1＋a2－a3＋…＋a98－a99＋a100)＝(2－)100(2＋)100＝1.‎ ‎9．已知二项式(＋2x)n，‎ ‎(1)若展开式中第5项，第6项与第7项的二项式系数成等差数列，求展开式中二项式系数最大项的系数；‎ ‎(2)若展开式前三项的二项式系数和等于79，求展开式中系数最大的项．‎ 答案　(1)3 432　(2)16 896x10‎ 解析　(1)∵Cn4＋Cn6＝2Cn5，∴n2－21n＋98＝0，‎ ‎∴n＝7或n＝14，‎ 当n＝7时，展开式中二项式系数最大的项是T4和T5，‎ ‎∴T4的系数为C73()423＝，T5的系数为C74()324＝70.‎ 当n＝14时，展开式中二项式系数最大的项是T8，‎ ‎∴T8的系数为C147()727＝3 432.‎ ‎(2)∵Cn0＋Cn1＋Cn2＝79，∴n2＋n－156＝0.‎ ‎∴n＝12或n＝－13(舍去)．‎ 设Tk＋1项的系数最大，∵(＋2x)12＝()12(1＋4x)12，∴ ‎∴9.4≤k≤10.4，∴k＝10.‎ ‎∴展开式中系数最大的项为T11，T11＝C1210·()2·210·x10＝16 896x10.‎