2015年数学理高考课件4-4 数系的扩充与复数的引入 34页

[ 最新考纲展示 ] 　 1 ． 理解复数的基本概念．　 2. 理解复数相等的充要条件．　 3. 了解复数的代数表示形式及其几何意义．　 4. 会进行复数代数形式的四则运算．　 5. 了解复数的代数形式的加、减运算的几何意义． 第四节　数系的扩充与复数的引入 复数的有关概念 1 ．复数的概念 形如 a ＋ b i( a ， b ∈ R ) 的数叫复数，其中 a ， b 分别是它的 和 ．若 ，则 a ＋ b i 为实数；若 ，则 a ＋ b i 为虚数；若 ，则 a ＋ b i 为纯虚数． 2 ．复数相等： a ＋ b i ＝ c ＋ d i ⇔ ( a ， b ， c ， d ∈ R ) ． 3 ．共轭复数： a ＋ b i 与 c ＋ d i 共轭 ⇔ ( a ， b ， c ， d ∈ R ) ． 实部 虚部 b ＝ 0 b ≠ 0 a ＝ 0 ， b ≠ 0 a ＝ c ， b ＝ d a ＝ c ， b ＋ d ＝ 0 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 解决复数问题的指导思想是化归思想，就是把复数问题转化成实数问题来解决，可设复数 z ＝ a ＋ b i( a ， b ∈ R ) ，通过研究实数 a ， b 来体现复数 z 的特点． 答案： B 2 ． (2013 年高考辽宁卷 ) 复数 z ＝ 1 ＋ i 的虚部是 ( 　　 ) A ． 1 B ．－ 1 C ． i D ．－ i 解析： 根据复数的虚部概念，虚部是 1 ，而不是 i. 答案： A 复数的几何表示 ____________________[ 通关方略 ]____________________ 复数的几何意义 除了复数与复平面内的点和向量的一一对应关系外，还要注意： (1)| z | ＝ | z － 0| ＝ a ( a ＞ 0) 表示复数 z 对应的点到原点的距离为 a ： (2)| z － z 0 | 表示复数 z 对应的点与复数 z 0 对应的点之间的距离． 答案： B 复数的运算 1 ．复数的加、减、乘、除运算法则 设 z 1 ＝ a ＋ b i ， z 2 ＝ c ＋ d i( a ， b ， c ， d ∈ R ) ，则 (1) 加法： z 1 ＋ z 2 ＝ ( a ＋ b i) ＋ ( c ＋ d i) ＝ ； (2) 减法： z 1 － z 2 ＝ ( a ＋ b i) － ( c ＋ d i) ＝ ； (3) 乘法： z 1 · z 2 ＝ ( a ＋ b i) · ( c ＋ d i) ＝ ； ( a ＋ c ) ＋ ( b ＋ d )i ( a － c ) ＋ ( b － d )i ( ac － bd ) ＋ ( ad ＋ bc )i 2 ．复数加法的运算定律 复数的加法满足交换律、结合律，即对任何 z 1 、 z 2 、 z 3 ∈ C ，有 z 1 ＋ z 2 ＝ ， ( z 1 ＋ z 2 ) ＋ z 3 ＝ ． z 2 ＋ z 1 z 1 ＋ ( z 2 ＋ z 3 ) ____________________[ 通关方略 ]____________________ 虚数单位 i 的周期性 计算得 i 0 ＝ 1 ， i 1 ＝ i ， i 2 ＝－ 1 ， i 3 ＝－ i ，继续计算可知 i 具有周期性，且最小正周期为 4 ，故有如下性质 ( n ∈ N ) ： (1)i 4 n ＝ 1 ， i 4 n ＋ 1 ＝ i ， i 4 n ＋ 2 ＝－ 1 ， i 4 n ＋ 3 ＝－ i ； (2)i 4 n ＋ i 4 n ＋ 1 ＋ i 4 n ＋ 2 ＋ i 4 n ＋ 3 ＝ 0. 答案： D 5 ． (2014 年深圳调研 ) 已知 i 是虚数单位，则复数 i 13 (1 ＋ i) ＝ ( 　　 ) A ． 1 ＋ i B ． 1 － i C ．－ 1 ＋ i D ．－ 1 － i 解析： i 13 (1 ＋ i) ＝ i(1 ＋ i) ＝ i － 1. 答案： C 复数的概念 [ 答案 ] 　 (1)D 　 (2)D 复数的代数运算 [ 答案 ] 　 (1)B 　 (2)A 答案： A 复数的几何表示 【 例 3】 　 (1)(2013 年高考四川卷 ) 如图，在复平面内，点 A 表示复数 z ，则图中表示 z 的共轭复数的点是 ( 　　 ) A ． A 　　　 B ． B 　　　 C ． C 　　　 D ． D (2)(2013 年高考北京卷 ) 在复平面内，复数 (2 － i) 2 对应的点位于 ( 　　 ) A ．第一象限 B ．第二象限 C ．第三象限 D ．第四象限 [ 解析 ] 　 (1) 共轭复数对应的点关于 x 轴对称 ( 实数的共轭复数是其本身 ) ． (2)(2 － i) 2 ＝ 4 － 4i ＋ i 2 ＝ 3 － 4i ，对应的复平面内点的坐标为 (3 ，－ 4) ．故选 D. [ 答案 ] 　 (1)B 　 (2)D 反思总结 复数与复平面内的点是一一对应的，复数和复平面内以原点为起点的向量也是一一对应的，因此复数加减法的几何意义可按平面向量加减法理解，利用平行四边形法则或三角形法则解决问题． 答案： A —— 数形结合思想在复数中的应用 [ 答案 ] 　 2 由题悟道 在复数中实际上有关系式 | z 1 ＋ z 2 | 2 ＋ | z 1 － z 2 | 2 ＝ 2(| z 1 | 2 ＋ | z 2 | 2 ) ，这个关系式和平面向量中的关系式 | a ＋ b | 2 ＋ | a － b | 2 ＝ 2(| a | 2 ＋ | b | 2 ) 的意义是完全一致的，其几何意义就是平面四边形两条对角线长度的平方和等于四个边的长度的平方和． 本小节结束 请按 ESC 键返回