2015年数学理高考课件2-6 对数与对数函数 35页

[ 最新考纲展示 ] 　 1 ． 理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化为自然对数或常用对数；了解对数在简化运算中的作用．　 2. 理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，掌握对数函数图象通过的特殊点．　 3. 知道对数函数是一类重要的函数模型．　 4. 了解指数函数 y ＝ a x 与对数函数 y ＝ log a x 互为反函数 ( a >0 ，且 a ≠1) ． 第六节　对数与对数函数 对数及对数运算 1 ．对数的定义 一般地，如果 a x ＝ N ( a >0 ，且 a ≠ 1) ，那么数 x 叫做以 a 为底 N 的对数，记作 x ＝ ，其中 a 叫做对数的 ， N 叫做 ． 2 ．对数的性质 (1)log a 1 ＝ ， log a a ＝ ； (2) a log a N ＝ ， log a a N ＝ ； (3) 和 没有对数． log a N 底数 真数 0 1 N N 负数 零 3 ．对数的运算性质 如果 a >0 ，且 a ≠ 1 ， M >0 ， N >0 ，那么 (1)log a ( MN ) ＝ ； log a M ＋ log a N log a M － log a N (3)log a M n ＝ ( n ∈ R ) ； n log a M ____________________ [ 通关方略 ] ____________________ 　 进行对数运算常用的方法 (1) 将真数化为底数的指数幂的形式进行化简； (2) 将同底对数的和、差、倍合并； (3) 利用换底公式将不同底的对数式转化成同底的对数式，要注意换底公式的正用、逆用及变形应用； (4) 利用常用对数中的 lg 2 ＋ lg 5 ＝ 1. 1 ． 2log 5 10 ＋ log 5 0.25 ＝ ( 　　 ) A ． 0 　　　　 B ． 1 　　　　 C ． 2 　　　　 D ． 4 解析： 2log 5 10 ＋ log 5 0.25 ＝ log 5 100 ＋ log 5 0.25 ＝ log 5 25 ＝ 2. 答案： C 答案： 1 对数函数定义、图象与性质 3 ．函数 f ( x ) ＝ log 2 x 2 的图象的大致形状是 ( 　　 ) 解析： 由于 f ( x ) ＝ log 2 x 2 ＝ 2log 2 | x | ，所以函数的定义域是 ( － ∞ ， 0) ∪ (0 ，＋ ∞ ) ，且当 x >0 时， f ( x ) ＝ 2log 2 x 在 (0 ，＋ ∞ ) 上单调递增，又因为函数是偶函数，所以函数图象关于 y 轴对称． 答案： D 4 ．已知函数 f ( x ) ＝ ln x ， g ( x ) ＝ lg x ， h ( x ) ＝ log 3 x ，直线 y ＝ a ( a <0) 与这三个函数的交点的横坐标分别是 x 1 ， x 2 ， x 3 ，则 x 1 ， x 2 ， x 3 的大小关系是 ( 　　 ) A ． x 2 < x 3 < x 1 　　　 B ． x 1 < x 3 < x 2 C ． x 1 < x 2 < x 3 　　　 D ． x 3 < x 2 < x 1 解析： 分别作出三个函数的图象，如图所示： 由图可知， x 2 < x 3 < x 1 . 答案： A 对数式的运算 反思总结 1 ． 化同底是对数式变形的首选方向，其中经常用到换底公式及其推论． 2 ．结合对数定义，适时进行对数式与指数式的互化． 3 ．利用对数运算法则，在积、商、幂的对数与对数的和、差、倍之间进行转化． 对数函数图象及应用 【 例 2】 　 (2014 年济南模拟 ) 若实数 a ， b ， c 满足 log a 2 c > b B ． b > c > a C ． c > b > a D ． c > a > b (2) 已知函数 f ( x ) ＝ |log 2 x | ，正实数 m ， n 满足 m < n ，且 f ( m ) ＝ f ( n ) ，若 f ( x ) 在区间 [ m 2 ， n ] 上的最大值为 2 ，则 m ， n 的值分别为 ( 　　 ) [ 答案 ] 　 (1)D 　 (2)A 反思总结 1 ． 比较对数式大小的方法 (1) 若底数为同一常数，则可由对数函数的单调性直接进行判断；若底数为同一字母，需对底数进行分类讨论． (2) 若底数不同，真数相同，则可以先用换底公式化为同底后，再进行比较． (3) 若底数与真数都不同，则常借助 1,0 等中间量进行比较． 2 ．当对数函数底数大小不确定时要注意分 a >1 与 0< a <1 两种情况讨论． 变式训练 2 ．函数 y ＝ log a x ( a >0 ，且 a ≠ 1) 在 [2,4] 上的最大值与最小值的差是 1 ，则 a 的值为 ________ ． —— 与对数函数有关的复合函数问题 与对数函数有关的复合函数问题也是高考命题的热点，主要涉及对数函数图象与性质的综合应用，归纳起来主要有两个： (1) 与对数函数有关的复合函数的图象问题； (2) 复合函数的单调性问题． 复合对数函数图象的应用 【 典例 1】 　 (2014 年北京东城一模 ) 已知函数 f ( x ) ＝ log a (2 x ＋ b － 1)( a >0 ， a ≠ 1) 的图象如图所示，则 a ， b 满足的关系是 ( 　　 ) A ． 0< a － 1 < b <1 B ． 0< b < a － 1 <1 C ． 0< b － 1 < a <1 D ． 0< a － 1 < b － 1 <1 [ 解析 ] 　 由图可知 f ( x ) 单调递增，又由于函数 φ ( x ) ＝ 2 x ＋ b － 1 单调递增，可得 a >1 ；又－ 1< f (0)<0 ，即－ 11 ，即 ( a x ) 2 － 2 a x ＋ 1>4 ，故 ( a x － 1) 2 >4 ，得 a x － 1>2 或 a x － 1< － 2 ，所以 a x >3 或 a x < － 1( 舍去 ) ，因此 x