高中同步数学教案第6章 三角函数 47页

第六章：三角函数 ‎ 6、1 正弦函数和余弦函数的图像与性质 ‎ 一、正弦函数与余弦函数的定义：‎ 在建立弧度制以后，任意一个实数都对应唯一确定的角，而这个角又对应唯一确定的正弦值（或余弦值）。这样，对于任意一个实数，都有唯一的值（或）与它对应。我们把（或）叫做正弦函数（或余弦函数）。‎ ‎ ‎ ‎ 二、正弦函数与余弦函数的图像：‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎ 利用三角函数线和描点法。可以得到函数，的图像。‎ O 因为，所以函数当的图像与，的图像的形状完全一样，只是位置不同，因此只要将函数，的图像向左（或右）分别平移、、、这样就可以得到函数，的图像。‎ O 怎样作余弦函数的图像？由诱导公式：，因此，只须将函数的图像向左平移个单位，即可得到函数的图像。‎ 正弦函数、余弦函数的图像通常称为正弦曲线与余弦曲线。‎ ‎ ‎ ‎ 三、正弦函数、余弦函数的性质 ‎1、正弦函数、余弦函数的定义域和值域： ‎ ‎，的定义域均为，值域均为。‎ 的最大值为，此时；‎ ‎ 最小值为，此时。‎ 的最大值为，此时；‎ ‎ 最小值为，此时 。‎ 例1：求下列函数的定义域：‎ ‎（1）；　　　　　　　　　‎ ‎ (2）；‎ ‎（3）；　‎ ‎ (4）。　‎ 解：（1）要使函数有意义，则，即，‎ 根据三角函数线得到：，‎ 即此函数的定义域为：‎ ‎（2）由题意：，则，得，‎ 由得。‎ 在数轴上标出解集可知：或。‎ 所以此函数的定义域为。‎ ‎（3）。‎ ‎（4）。‎ 例2：求下列函数的值域：‎ ‎（1）；　　　　（2）；‎ ‎（3）；　　　（4）；‎ ‎（5）。‎ 解：（1）因为，所以此函数的值域为；‎ ‎（2）因为且，所以此函数的值域为。‎ ‎（3）因为，‎ ‎ 又，所以此函数的值域为。‎ ‎（4）方法一：由，得，‎ 当时，得，‎ 因为，所以，解得；‎ 当时，函数式不成立，所以，此函数的值为。‎ 方法二：因为，，‎ 所以，则，所以所求的值域为。‎ ‎（5）由，得，即，‎ 由辅助角公式知：，即，‎ 因为，所以，解得：。‎ 即此函数的值域为。‎ 本例还可以利用万能公式求解：‎ 设，则，，‎ 再用“△”法或基本不等式都可以求解。‎ 例3：求下列函数的最大值与最小值，并求取得最值时的值。‎ ‎（1）；　　　　　　　‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；　　　　　　‎ ‎（4）。‎ 解：（1）因为，当时，‎ ‎，即时，；‎ 当时,，‎ 即时，。‎ ‎（2）因为，‎ 则当，即时，，‎ 当，即时，。‎ ‎ （3）因为 ，‎ ‎ 所以函数的值域为． ‎ ‎（4）设，则，‎ 则，由，‎ 所以当时，，‎ 此时，即，‎ ‎，或；‎ 当时，，此时，‎ 即，。‎ 综上：，或时，；‎ 时，。‎ 例4：A B C D 如图：矩形的四个顶点分别在矩形的四条边上，。如果与的夹角为。‎ ‎（1）当为何值时，矩形的周长最大？‎ ‎（2）当为何值时，矩形的面积最大？‎ 解：由题意可知：，‎ ‎ 所以，。‎ ‎（1）矩形的周长为 ‎ ‎ ‎ ＝。‎ 因为，所以当时，矩形的周长最大，‎ 最大值为。‎ ‎（2）矩形的面积 ‎＝。‎ 当，即时，矩形面积的最大值为。‎ ‎2、正弦函数与余弦函数的周期性 ‎ 周期函数的定义：‎ 一般地，对于函数，如果存在一个非零的常数，使得当取定义域内任意值时，都有成立，那么函数叫做周期函数，常数叫做函数的周期。‎ ‎ 最小正周期的定义：‎ 对于一个周期函数来说，如果在所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小的正数就叫做函数的最小正周期。‎ ‎ 函数与的周期：‎ 因为。知正弦函数与余弦函数都是周期函数，且是它们的周期。在这些周期中，是它的最小正周期。‎ 求函数的周期，若不作特别说明，一般都是指它们的最小正周期。‎ 例5：等式是否成立？若成立，能否说明是函数的周期？说明理由。‎ 解：因为，，所以等式 能成立。但不是函数的周期，这是因为不是对于函数定义域中的任意实数都成立。如时，此式不成立。‎ 例6：求下列函数的最小正周期：‎ ‎（1）；　　　　　（2）；‎ ‎（3）； （4）；‎ ‎（5） ； （6）；‎ ‎（7）。‎ 解：（1）； （2）； （3）； （4）；‎ ‎ （5）； （6）； （7）。‎ 说明：函数的周期为。‎ ‎ 3、正弦函数与余弦函数的奇偶性和对称性：‎ ‎ 在上是奇函数，在上是偶函数。‎ ‎ 正弦函数的图像关于直线对称，‎ ‎ 关于点成中心对称；‎ ‎ 余弦函数的图像关于直线对称，‎ ‎ 关于点成中心对称。‎ 从正弦函数与余弦函数的图像上可以看出：正弦函数与余弦函数的图像的对称轴是经过此图像上的最高点（或最低点）与轴垂直的直线，其对称中心是其图像与轴的交点。‎ 例7：作函数的图像，根据图像确定函数是否是周期函数。‎ 解：，它的图像关于轴对称。‎ 从图像上可以看出：函数不是周期函数，因为在的图像没有其它区间的图像与之相同。‎ 例8：判断下列函数奇偶性，并说明理由。‎ ‎（1）； （2）；‎ ‎（3）； （4）；‎ ‎（5）。‎ 解：（1）奇； （2）偶； （3）非奇非偶； （4）奇；‎ ‎（5）函数的定义域满足：，‎ 即，，‎ 且，‎ 故此函数的定义域不关于原点对称，‎ 所以此函数既不是奇函数也不是偶函数。‎ 例9：写出函数的对称轴方程与对称中心的坐标。‎ 解：对称轴方程为；‎ 对称中心坐标为。‎ ‎ 例10：已知函数。‎ ‎ （1）求此函数为奇函数的充要条件；‎ ‎ （2）求此函数为偶函数的充要条件。‎ ‎ 解：（1）；（2）。‎ ‎ 例11：已知函数 ‎ （1）若函数图像关于直线对称，求的值；‎ ‎ （2）若函数图像关于点对称，求的值。‎ ‎ 解：（1）；（2）。‎ ‎ ‎ ‎ 4、正弦函数与余弦函数的单调性：‎ ‎ 正弦函数的单调性：‎ 观察正弦函数的图像：‎ O 正弦函数在闭区间上是增函数；‎ 在闭区间上是减函数。‎ 这个变化趋势也可以从单位圆上看出。‎ ‎ 余弦函数的单调性：‎ O 观察余弦函数的图像：‎ 余弦函数在闭区间上是增函数；‎ 在闭区间上是减函数。‎ 例12：求下列函数的单调递增区间：‎ ‎（1）；　　　（2）；‎ ‎（3）；　　 （4）。‎ 解：（1）由，得：，‎ ‎ 所以单调递增区间为。‎ ‎（2）由，得：，‎ 所以单调递增区间为。‎ ‎（3）因为，‎ 所以的单调递增区间即为的单调递减区间。‎ 由，得：，‎ 所以函数的单调递增区间为。‎ ‎（4）因为，‎ 则函数的单调递增区间满足：且递增。‎ 所以，解得：，‎ 所以函数的单调递增区间为。‎ 例13：求函数在内的单调递增区间。‎ 解：因为，‎ 在实数集上，函数的单调递增区间为，‎ 又由，所以函数的单调递增区间为。‎ 说明：求函数在特定范围内的单调区间问题，可以先求出此函数在R上的单调区间再与所给范围取交集。也可以根据给定的范围，利用函数的图像来确定。‎ 如本例还可以这样求解：‎ 因为，当时，，‎ 由正弦函数的单调性知，当，即时，‎ 函数单调递增，‎ 所以函数的单调递增区间为。‎ ‎ 作业研究：‎ ‎1、求下列函数的定义域：‎ ‎（1）；　　　（2）。‎ ‎2、函数的定义域为＿＿＿＿＿＿；‎ ‎3、已知函数的最大值为，最小值为，则函数的值域为＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎4、求下列函数的最大值与最小值：‎ ‎（1）；　　　（2）。‎ ‎5、求下列函数的值域：‎ ‎（1）；　　　　　（2）。‎ ‎6、已知函数。‎ ‎（1）若方程有实数解，求实数的取值范围；‎ ‎（2）当时，有，求实数的取值范围。‎ ‎1、若函数的周期为，则实数的值为＿＿＿＿＿＿；‎ ‎2、函数的周期为＿＿＿＿＿＿；‎ ‎3、若函数的最小正周期是函数的最小正周期的倍，则实数的值为＿＿＿＿＿＿；‎ ‎4、求下列函数的周期：‎ ‎（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）。‎ ‎5、设函数的最小正周期为，若，求实数的取值范围。‎ ‎6、已知函数。‎ ‎（1）求此函数的最小正周期；‎ ‎（2）求使函数取得最大值时的的集合。‎ ‎7＊、设函数。‎ ‎（1）写出函数的最大值M，最小值与最小正周期；‎ ‎（2）若此函数当自变量在任意两个整数之间（包括整数本身）变化时，函数至少有一个最大值M与最小值，求正整数的最小值。‎ ‎8＊、已知函数是定义在上的奇函数，且是最小正周期为的周期函数，若，求与的值。‎ ‎1、在同一坐标系内分别作出与的图像，并根据图像回答下列问题：‎ ‎（1）与的图像的交点个数为＿＿个；‎ ‎（2）满足的的取值范围是＿＿＿＿；‎ ‎2、函数的图像与直线所围成的封闭图形的面积＿＿＿＿；‎ ‎3、已知函数的图像关于轴对称，且其图像在 轴右边与原点距离最近的对称中心的坐标为，试确定与的值。‎ ‎4、函数的单调递减区间为＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎5、函数的奇偶性是＿＿＿，单调增区间为＿＿＿＿；‎ ‎6、函数的单调增区间为＿＿＿＿＿＿；‎ ‎7、函数的单调递增区间为＿＿＿＿＿＿；‎ ‎8、若函数满足，则＿＿＿＿；‎ ‎9、已知定义在上的奇函数满足：当时，则此函数的解析式为＿＿＿＿＿。　‎ ‎10、下列四个函数中，以为最小正周期，且在区间上递减的函数是(　）‎ A、；　 　B、；　　　‎ C、；　　　D、。‎ ‎11、判断下列函数的奇偶性，并说明理由：‎ ‎（1）；　‎ ‎（2）。‎ ‎（3）； ‎ ‎（4）。‎ ‎12、求下列函数的单调递增区间 ‎（1）；　　（2）。‎ ‎13、已知函数，试判断在区间上的单调性，并说明理由。‎ ‎14、试研究函数的定义域、值域、单调性、奇偶性、周期性。‎ ‎6、2 正切函数的图像与性质 一、正切函数的概念与图像：‎ ‎1、正切函数的概念：‎ 对于任意一个实数都有唯一确定的值与它对应。叫做正切函数。‎ 正切函数的定义域：。‎ ‎2、正切函数的图像：‎ 先利用单位圆作的图像，再平移作出定义域上的图像。‎ 正切函数的定义域是，它的图像是由无数多支曲线组成的，它们被直线所隔开。‎ 二、正切函数的性质：‎ ‎1、正切函数的周期性：‎ 由诱导公式：，可知，正切函数是周期函数，是它的周期，是它的最正周期。‎ 一般地：函数的周期是。‎ ‎2、正切函数的奇偶性：‎ 因为对于正切函数定义域内的任意一个变量，成立，所以正切函数是奇函数。‎ ‎3、正切函数的单调性：‎ 正切函数在区间上是增函数，没有单调递减区间。虽然正切函数没有单调递减区间，但不能说正切函数在定义域内是增函数。‎ ‎4、正切函数的值域：‎ 正切函数的值域是，它不存在最大值，也不存在最小值。‎ 例1：已知函数。‎ ‎（1）求此函数的定义域、周期、单调区间；‎ ‎（2）求函数在区间上的值域。‎ 解：（1）因为，所以。‎ 即函数的定义域为。‎ 因为 ‎，‎ 所以函数的周期是。‎ 由，得，‎ 所以函数的单调递增区间为。‎ ‎（2）当时，，函数在区间上是增函数，所以函数在区间上的值域为。‎ 例2：求下列函数的定义域：‎ ‎（1）；　　　（2）。‎ 解：（1）此函数的定义域满足：‎ 即且。‎ 所以函数的定义域为：‎ 且，。‎ ‎（2）此函数的定义域满足：，即，‎ 所以，则，‎ 得或，则或。‎ 即函数的定义域为：‎ 或。‎ 说明：求函数的定义域特别注意正切函数自身的定义域，这是在求定义域中最容易遗忘的。‎ 例3：判断函数的奇偶性。‎ 解：由，得或，故此函数的定义域为：‎ ‎。‎ 所以其定义域关于原点对称。‎ 所以函数是奇函数。‎ 说明：判断函数的奇偶性，首先要考虑函数的定义域。‎ 例4＊：函数是否是周期函数？若是求出此函数的最小正周期，若不是请说明理由。‎ 解：此函数的定义域满足：且。‎ 所以函数的定义域为且，‎ 在定义域内，函数可化为：‎ ‎＝。‎ 因为函数的定义域是且，‎ 所以函数的周期是。‎ ‎　　　说明：注意此函数的定义域区间的周期是，所以函数的周期是。‎ 作业研究 ‎1、函数的定义域为＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎2、函数的值域为＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎3、函数的单调递增区间为＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎4、给出下列命题：‎ ‎（1）函数的最小正周期是；（2）函数在定义域内是增函数；（3）函数与函数都是奇函数。‎ 其中正确的命题是＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎5、函数的一个对称中心是（　　）‎ A、；　　B、；　　C、；　　D、。‎ ‎6、如果，且，那么必有（　　）‎ A、；　　B、；　　C、；　D、。‎ ‎7、已知函数。‎ ‎（1）求函数的定义域；‎ ‎（2）判断函数的奇偶性，并说明理由。‎ ‎8、求函数的值域。‎ ‎9、已知函数。‎ ‎（1）求函数的定义域；‎ ‎（2）判断函数的奇偶性；‎ ‎（3）指出函数的最小正周期及单调区间。‎ ‎6、3 函数的图像和性质 一、在函数中， ‎ ‎——振幅， ——角速度， ——周期，‎ ‎ ——频率， ——相位， ——初相。‎ 二、“五点法”作图和已知图像求解析式 例1：用五点法作函数在一个周期上的图像，‎ 并说明该函数图像由的图像经过怎样变换得到。‎ 例2：如图是函数的图像的一部分，请根据图中信息写出此函数的解析式。‎ 解：由图：函数的最大值与最小值分别是与，所以，‎ 其周期为，所以。则。‎ 又当时，函数最大值为，则，‎ 由，得。‎ 所以所求函数解析式为：。‎ 说明：由函数图像确定函数解析式分三步：‎ ‎（1）由最值确定振幅；（2）根据周期确定；（3）根据特殊点（最值点）确定初相。‎ 例3：已知函数的图像在同一周期中的最高点坐标为，最低点的坐标为，求函数的解析式。‎ 解：由题意：，所以，则。又，所以，则，即。所以。根据图像经过最高点，所以，则，因为，所以。即所求函数的解析式为：。‎ 三、图像变换：函数图像与函数图像之间的关系。‎ 四、函数 的性质：对称轴、对称中心、周期、单调性等。‎ 例4：已知函数。‎ ‎（1）求函数的最小正周期和单调增区间；‎ ‎（2）函数的图像由的图像经过怎样变换得到？‎ ‎（3）写出此函数图形的对称轴方程、对称中心坐标。‎ 解：（1）， ，增区间。‎ ‎（2）向左平移，向上平移。‎ ‎(3) 对称轴方程，对称中心。‎ 例5：已知函数 。‎ ‎（1）求函数定义域；‎ ‎（2）求单调增区间；‎ ‎（3）求最小正周期；‎ ‎（4） 求函数最值及相应的值。‎ 解：（1）‎ ‎（2）增区间 ‎（3）；‎ ‎（4）。‎ 例6：已知关于的方程，其中，‎ 试对的取值讨论方程解的个数。‎ 解：数形结合， 或时，一解； ‎ 时，两解； 或 时，无解。‎ 例7：已知函数是上的偶函数，‎ 其图像关于点对称，且在上是单调函数，求和的值。‎ 解：，或。‎ 作业研究：‎ ‎1、若函数的最大值为，最小值为，则＿＿，＿＿＿；‎ ‎2、函数的最小正周期为＿＿＿＿、对称轴方程为＿＿＿＿＿、‎ 对称中心坐标为＿＿＿＿＿＿、单调递增区间为＿＿＿＿＿＿；‎ ‎3、已知函数在同一周期内，当时，，当时，，则此函数的解析式为＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎4、若函数在区间上是增函数，则正实数的取值范围是＿＿＿；‎ ‎5、已知函数在处取得最小值，则函数满足（　　）‎ A、是偶函数，其图像关于点对称；‎ B、是偶函数，其图像关于点对称；‎ C、是奇函数，其图像关于点对称；‎ D、是奇函数，其图像关于点对称。‎ ‎6、已知函数。求此函数的：‎ ‎（1）振幅；　　（2）周期；　　（3）初相；　　（4）单调递减区间。‎ ‎7、已知。‎ ‎（1）若，求的值；　　　　（2）求函数的值域。‎ ‎8、设函数（其中，且的图像在轴右侧的第一个最高点的横坐标为。‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）如果函数在区间上的最小值为，求的值。‎ ‎9、四边形ABCD中，已知，D是以AB为直径的圆上的点，且CD是该圆的切线。‎ ‎（1）用表示四边形ABCD的面积；‎ ‎（2）当为何值时，四边形ABCD的面积最大？最大面积是多少？‎ ‎6、4 反三角函数 ‎ 一、反正弦函数 ‎ 1、反正弦函数的定义 函数的反函数叫做反正弦函数。记作：‎ ‎。‎ ‎ 它的值域为。‎ ‎　　‎ ‎ 反正弦的意义：‎ ‎　　反正弦表示在上的一个角，这个角的正弦值为。‎ ‎ ‎ ‎ 2、反正弦函数的图像：‎ 根据互为反函数的两个函数之间的关系，函数的图像关于直线对称的图像，即是反正弦函数的图像。‎ ‎1‎ ‎3、反正弦函数的性质：‎ ‎（1），；‎ ‎（2）奇函数，。‎ ‎（3）在区间上是增函数；‎ ‎（4）与反正弦相关的两个等式：‎ ‎ 对于，；‎ ‎ 对于，。‎ 例1：求下列各式的值：‎ ‎（1）；　　　　　（2）；　　　　　　‎ ‎（3）； （4）；　　　　　‎ ‎（5）。‎ 解：（1）；‎ ‎ （2）；‎ ‎ （3）。‎ ‎ （4）。‎ ‎ （5）设，‎ ‎ 则且，所以。‎ 则 ‎　。‎ 例2：用反正弦函数值的形式表示下列各式中的：‎ ‎（1）；　 （2）；‎ ‎（3）；　　（4）。‎ 解：（1）；‎ ‎ （2）；‎ ‎ （3）或。‎ ‎ （4）或。‎ 例3：求下列函数的反函数：‎ ‎（1）；　　（2）。‎ 解：（1）。‎ ‎（2）。‎ 例4：求下列不等式中的范围。‎ ‎（1）；‎ ‎（2）‎ 解：（1）；‎ ‎（2） ，解得，‎ 所以此不等式的解集为。‎ ‎ ‎ ‎ 二、反余弦函数 ‎　　1、反余弦函数的定义 函数的反函数叫做反余弦函数，记作：。‎ ‎ 反余弦函数的意义：‎ ‎　　反余弦函数表示在上的一个角，这个角的余弦值为。‎ ‎2、反余弦函数的图像 根据互为反函数的图像关系，可以作出反余弦函数的图像（如图）。‎ ‎3、反余弦函数的性质：‎ ‎（1），；‎ ‎（2）非奇非偶函数，，。‎ ‎（3）在区间上是减函数；‎ ‎（4）与反正弦相关的两个等式：‎ ‎ 对于，；‎ ‎ 对于，。‎ ‎ ‎ ‎ 二、反正切函数的概念与性质：‎ ‎1、反正切函数的定义 函数的反函数叫做反正切函数，记作：。‎ 反正切函数的意义：‎ ‎ 表示在上的一个角，这个角的正切值为。‎ ‎2、反正切函数的图像 ‎3、反正切函数的性质 ‎（1），；‎ ‎（2）奇函数，；‎ ‎（3）在上是增函数；‎ ‎（4）与反正切相关的两个等式：‎ ‎ 对于，；‎ ‎ 对于，。‎ 例5：求下列各式的值：‎ ‎（1）；　　　　 （2）；‎ ‎（3）； （4）；　‎ ‎（5）； （6）。‎ 解：（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；；‎ ‎（4）；‎ ‎（5）设，‎ 则且，所以。‎ 且，所以。‎ 那么＝。‎ ‎（6）。‎ 例6：用反三角函数值的形式表示下列各式中的：‎ ‎（1）；　　　‎ ‎（2）；‎ 解：（1） ； （2）。‎ 例7：求证：。‎ 例8：已知方程的两根分别为，求的值。‎ 解：设，则。‎ 由一元二次方程根与系数的关系：，‎ 所以，则，那么。‎ ‎，所以。‎ 即。‎ 作业研究：‎ ‎1、函数的定义域为＿＿＿＿＿＿、值域为＿＿＿＿＿＿；‎ ‎2、函数的反函数为＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎3、函数的定义域为＿＿＿＿＿＿、值域为＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎4、若，则函数的值域为＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎5、函数的定义域为＿＿＿＿＿＿＿、值域为＿＿＿＿＿＿；‎ ‎6、若，则实数的取值范围为（　　）‎ A、；　　　　B、；　　　　C、；　　　　D、。‎ ‎7、函数的反函数为（　　）‎ A、；　　　　　B、；‎ C、；　　　D、。‎ ‎8、函数是（　　）‎ A、奇函数；　　　　　　　　　　　　　B、偶函数；　　　‎ C、既是奇函数又是偶函数；　　　　　　D、既不是奇函数也不是偶函数。‎ ‎9、若，则的结果为（　　）‎ A、；　　　　B、；　　　　C、；　　　　D、。‎ ‎10、求下列各式的值：‎ ‎（1）；　　　　　　（2）。‎ ‎（3）；　　　（4）。‎ ‎11、用反正弦表示下列各式中的：‎ ‎（1）；　　　　（2）。‎ ‎12、求函数的定义域与值域。‎ ‎13、已知，求实数的值。‎ ‎14、求下列函数的反函数：‎ ‎（1）；　　　（2）。‎ ‎15、若实数满足，求实数的取值范围。‎ ‎16、（1）计算：；；；；的值（可以利用计算器）；‎ ‎（2）根据（1）的结果，你能否归纳出一个一般性的结论，并说明结论的正确性。‎ ‎6、5 最简三角方程 ‎ 一、三角方程的概念：‎ ‎1、三角方程与三角方程的解集：‎ 含有未知数的三角函数的方程叫做三角方程，满足三角方程的所有变量的集合叫做三角方程的解集。‎ ‎2、最简三角方程：‎ 形如的方程叫做最简三角方程。‎ ‎ ‎ ‎ ‎ ‎ 二、最简三角方程的解集 ‎1、最简三角方程的解集：‎ 例1：求下列方程的解集：‎ ‎（1）；　　（2）；　（3）。‎ 解：（1）或；‎ ‎（2）或；‎ ‎（3）当时，方程的解集为；‎ 当时，的解集为；‎ 当时，的解集为；‎ 当时，的解集为 或。‎ 此解集也可以写成：。‎ ‎2、最简方程的解集 例2：求下列方程的解集：‎ ‎（1）；　　（2）；　　（3）。‎ 解：（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）当时，方程的解集为；‎ 当时，的解集为；‎ 当时，的解集为；‎ 当时，方程的解集为。‎ ‎3、最简方程的解集 例3：求下列方程的解集：‎ ‎（1）；　　（2）；　　（3）。‎ 解：（1）；‎ ‎（2）；‎ ‎（3）。‎ ‎ ‎ ‎ 三、简单三角方程的解：‎ 例4：求下列方程的解集：‎ ‎（1）；　　 （2）； ‎ ‎（3）； （4）；‎ ‎（5）； （6）；‎ ‎（7）。‎ 解：（1），解集为；‎ ‎（2），则，解得：，‎ 所以解集为；‎ ‎（3），那么，‎ 所以解集为。‎ ‎（4）由解得或（舍去），‎ 由得，‎ 所以解集为。‎ ‎（5）由得，，则。‎ 所以解集为。‎ ‎（6）由得，即，‎ 或。‎ 所以解集为或 ‎（7）由得，，则，‎ 所以或，由，得，‎ 由，得或。‎ 所以解集为或或。‎ 如问题（7）还可以这样解：‎ 由，得，‎ 则或，‎ 则或。‎ 则解集为：或。‎ ‎ 例5：求下列方程的解集 ‎ （1）；‎ ‎ （2）；‎ ‎ （3）；‎ ‎ （4）。‎ ‎ 解：（1）万能或辅助角公式。或；‎ ‎ （2）化为齐次或辅助角公式。或；‎ ‎ （3）同名异角。；‎ ‎ （4）换元。。‎ 作业研究：‎ ‎1、方程的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎2、方程的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎3、方程在区间上的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎4、的解集为＿＿＿＿＿＿＿＿；‎ ‎5、若关于的方程的解集不是，则实数的取值范围是＿＿＿＿＿；‎ ‎6、方程的解的个数有（　　）‎ A、1个；　　　　B、2个；　　　　　C、3个；　　　　　D、4个。‎ ‎7、设是满足方程的最小正数，‎ 则的值为（　　）‎ A、；　　　　B、；　　　C、；　　　D、。‎ ‎8、写出下列三角方程的解集：‎ ‎（1）；　　　　　（2）。‎ ‎9、解下列方程：‎ ‎（1）；　　‎ ‎（2）；‎ ‎（3）；　‎ ‎（4）；‎ ‎（5）；‎ ‎（6）。‎ ‎10、已知方程：在区间上有一解，二解，无解，求相应的的取值范围。‎ ‎11、设集合，是否存在实数与的值，使得？说明理由。‎