2020届艺术生高考数学二轮复习课时训练：第六章 不等式、推理与证明 第6节 4页

第六章 第6节 ‎1．若a，b，c是不全相等的实数，求证：a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.‎ 证明过程如下：‎ 因为a，b，c∈R，所以a2＋b2≥2ab，b2＋c2≥2bc，c2＋a2≥‎2ac.‎ 又因为a，b，c不全相等，‎ 所以以上三式至少有一个等号不成立，‎ 所以将以上三式相加得2(a2＋b2＋c2)>2(ab＋bc＋ac)，所以a2＋b2＋c2>ab＋bc＋ca.‎ 此证法是(　　 )‎ A．分析法　　　　　　 B．综合法 C．分析法与综合法并用 D．反证法 解析：B　[由因导果是综合法．]‎ ‎2．(2020·济南市模拟)用反证法证明：若整系数一元二次方程ax2＋bx＋c＝0(a≠0)有有理数根，那么a，b，c中至少有一个是偶数．用反证法证明时，下列假设正确的是(　　)‎ A．假设a，b，c都是偶数 B．假设a，b，c都不是偶数 C．假设a，b，c至多有一个偶数 D．假设a，b，c至多有两个偶数 解析：B　[“至少有一个”的否定为“都不是”，故选B.]‎ ‎3．设a＝－，b＝－，c＝－，则a、b、c的大小顺序是(　　)‎ A．a>b>c B．b>c>a C．c>a>b D．a>c>b 解析：A　[∵a＝－＝，‎ b＝－＝，c＝－＝，‎ 又∵＋>＋>＋>0，‎ ‎∴a>b>c.]‎ ‎4．分析法又称执果索因法，若用分析法证明：“已知a>b>c，且a＋b＋c＝0，”求证0 B．a－c>0‎ C．(a－b)(a－c)>0 D．(a－b)(a－c)<0‎ 解析：C　[由a>b>c，a＋b＋c＝0，得b＝－a－c，a>0，c<0.‎ 要证 0，‎ 只需证a(a－c)＋(a＋c)(a－c)>0，‎ 只需证a(a－c)－b(a－c)>0，只需证(a－c)(a－b)>0.]‎ ‎5．若P＝＋，Q＝＋，a≥0，则P、Q的大小关系是(　　)‎ A．P>Q B．P＝Q C．Pb>0，m＝－，n＝，则m，n的大小关系是　________　.‎ 解析：解法一(取特殊值法)：取a＝2，b＝1，则m⇐a0，显然成立．‎ 答案：n>m ‎7．有三张卡片，分别写有1和2,1和3,2和3.甲，乙，丙三人各取走一张卡片，甲看了乙的卡片后说：“我与乙的卡片上相同的数字不是‎2”‎，乙看了丙的卡片后说：“我与丙的卡片上相同的数字不是‎1”‎，丙说：“我的卡片上的数字之和不是‎5”‎，则甲的卡片上的数字是　____________　.‎ 解析：根据丙的说法知，丙的卡片上写着1和2，或1和3；‎ ‎(1)若丙的卡片上写着1和2，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；‎ ‎∴根据甲的说法知，甲的卡片上写着1和3；‎ ‎(2)若丙的卡片上写着1和3，根据乙的说法知，乙的卡片上写着2和3；‎ 又甲说，“我与乙的卡片上相同的数字不是‎2”‎；‎ ‎∴甲的卡片上写的数字不是1和2，这与已知矛盾；‎ ‎∴甲的卡片上的数字是1和3.‎ 答案：1和3‎ ‎8．设a，b是两个实数，给出下列条件：‎ ‎①a＋b＞1；②a＋b＝2；③a＋b＞2；④a2＋b2＞2；⑤ab＞1.其中能推出：“a，b中至少有一个大于‎1”‎的条件是　________　.(填序号)‎ 解析：若a＝，b＝，则a＋b＞1，‎ 但a＜1，b＜1，故①推不出；‎ 若a＝b＝1，则a＋b＝2，故②推不出；‎ 若a＝－2，b＝－3，则a2＋b2＞2，故④推不出；‎ 若a＝－2，b＝－3，则ab＞1，故⑤推不出；‎ 对于③，反证法：假设a≤1且b≤1，则a＋b≤2与a＋b＞2矛盾，‎ 因此假设不成立，故a，b中至少有一个大于1.‎ 答案：③‎ ‎9．若a＞b＞c＞d＞0且a＋d＝b＋c，‎ 求证：＋＜＋.‎ 证明：要证＋＜＋，只需证(＋)2＜(＋)2，‎ 即a＋d＋2＜b＋c＋2，‎ 因a＋d＝b＋c，只需证＜，‎ 即ad＜bc，设a＋d＝b＋c＝t，‎ 则ad－bc＝(t－d)d－(t－c)c＝(c－d)(c＋d－t)＜0，‎ 故ad＜bc成立，从而＋＜＋成立．‎ ‎10．已知数列{an}的前n项和为Sn，且满足an＋Sn＝2.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)求证：数列{an}中不存在三项按原来顺序成等差数列．‎ 解析：(1)当n＝1时，a1＋S1＝‎2a1＝2，则a1＝1.‎ 又an＋Sn＝2，所以an＋1＋Sn＋1＝2，‎ 两式相减得an＋1＝an，‎ 所以{an}是首项为1，公比为的等比数列，所以an＝.‎ ‎(2)证明(反证法)：假设存在三项按原来顺序成等差数列，记为ap＋1，aq＋1，ar＋1(p