高考文科数学复习备课课件：第四节　基本不等式及其应用 26页

文数 课标 版 第四节　基本不等式及其应用   1.基本不等式 (1)基本不等式   ≤   成立的条件: a >0, b >0. (2)等号成立的条件:当且仅当①      a = b      时等号成立. (3)其中②             称为正数 a , b 的算术平均数,③             称为正数 a , b 教材研读 的几何平均数. 2.几个重要的不等式 (1) a 2 + b 2 ≥ ④ 　2 ab      ( a , b ∈ R ),当且仅当 a = b 时取等号. (2) ab ≤   ( a , b ∈ R ),当且仅当 a = b 时取等号. (3)   ≥   ( a , b ∈ R ),当且仅当 a = b 时取等号. (4)   +   ≥ 2( a , b 同号),当且仅当 a = b 时取等号. 3.利用基本不等式求最值 已知 x >0, y >0,则 (1)如果积 xy 是定值 p ,那么当且仅当⑤      x = y      时, x + y 有最⑥ 　小     值,是 ⑦ 　2        .(简记:积定和最小) (2)如果和 x + y 是定值 s ,那么当且仅当⑧      x = y      时, xy 有最⑨ 　大     值,是               .(简记:和定积最大)   判断下列结论的正误(正确的打“√”,错误的打“ × ”) (1)当 a ≥ 0, b ≥ 0时, a + b ≥ 2   .   (√) (2)两个不等式 a 2 + b 2 ≥ 2 ab 与   ≥   成立的条件是相同的.   ( × ) (3)( a + b ) 2 ≥ 4 ab ( a , b ∈ R ).   (√) (4)两个正数的等差中项不小于它们的等比中项.   (√) (5)函数 y = x +   的最小值是2.   ( × ) (6) x >0且 y >0是   +   ≥ 2的充要条件.   ( × ) 1.下列不等式中正确的是   (　　) A.若 a ∈R,则 a 2 +9>6 a B.若 a , b ∈R,则   ≥ 2 C.若 a , b >0,则2lg   ≥ lg a +lg b D.若 x ∈R,则 x 2 +   >1 答案     C　∵ a >0, b >0,∴   ≥   . ∴2lg   ≥ 2lg   =lg ab =lg a +lg b . 2.设 x >0, y >0,且 x + y =18,则 xy 的最大值为   (　　) A.80　    B.77　    C.81　    D.82 答案     C　∵ x >0, y >0, x + y =18, ∴18= x + y ≥ 2   ,即   ≤ 9, ∴ xy ≤ 81.故 xy 的最大值为81. 3.已知 x , y >0且 x +4 y =1,则   +   的最小值为   (　　) A.8　    B.9　    C.10　    D.11 答案     B　∵ x +4 y =1( x , y >0),∴   +   =   +   =5+   ≥ 5+2   =5+4=9   当且仅当 x =2 y =   时,取等号   . 4.已知 f ( x )= x +   -2( x <0),则 f ( x )有   (　　) A.最大值0　    B.最小值0 C.最大值-4　    D.最小值-4 答案     C　∵ x <0,∴ f ( x )=-   -2 ≤ -2-2=-4,当且仅当- x =   ,即 x =- 1时取等号.∴ f ( x )有最大值-4. 5.已知 x <   ,则函数 y =4 x -2+   的最大值为 　　　     . 答案 　1 解析　 ∵ x <   ,∴5-4 x >0, ∴ y =4 x -2+   =-   +3 ≤ -2+3=1, 当且仅当5-4 x =   ,即 x =1时,等号成立, 故当 x =1时, y max =1. 考点一　利用基本不等式求最值 典例1 　(1)已知0< x <1,则 x (3-3 x )取得最大值时 x 的值为(　　) A.   　    B.   　    C.   　    D.   (2)已知 a >0, b >0, a + b =1,则   +   的最小值为 　　　     . (3)已知正实数 x , y 满足 xy +2 x + y =4,则 x + y 的最小值为 　　　     . 答案 　(1)B　(2)4　(3)2   -3 考点突破 解析 　(1)∵0< x <1,∴ x (3-3 x )=3 x (1- x ) ≤ 3   =   . 当且仅当 x =1- x , 即 x =   时,“=”成立. (2)∵ a > b , b >0, a + b =1, ∴   +   =   +   =2+   +   ≥ 2+2   =4, 即   +   的最小值为4, 当且仅当 a = b =   时等号成立. (3)因为 xy +2 x + y =4,所以 x =   . 由 x =   >0, 得-2< y <4,又 y >0, 所以0< y <4,所以 x + y =   + y =   +( y +2)-3 ≥ 2   -3, 当且仅当   = y +2(0< y <4), 即 y =   -2时取等号. 方法技巧 (1)利用基本不等式解决条件最值问题的关键是构造和为定值或乘积为 定值,主要有两种思路:①对条件使用基本不等式,建立相应的不等式求 解.②对条件变形,以进行“1”的代换,从而利用基本不等式求最值. (2)有些题目虽然不具备直接用基本不等式求最值的条件,但可以通过 添项、分离常数、平方等方法使之能运用基本不等式.常用的方法还 有:拆项法、变系数法、凑因子法、换元法、整体代换法等. 1-1 　已知函数 y = x -4+   ( x >-1),当 x = a 时, y 取得最小值 b ,则 a + b 等于   (　　) A.-3　    B.2　    C.3　    D.8 答案     C     y = x -4+   = x +1+   -5,因为 x >-1,所以 x +1>0,   >0,所以由 基本不等式,得 y = x +1+   -5 ≥ 2   -5=1,当且仅当 x +1=   ,即 x =2时取等号,所以 a =2, b =1,则 a + b =3. 1-2　 实数 x , y 满足 x +2 y =2,则3 x +9 y 的最小值是 　　　     . 答案 　6 解析 　利用基本不等式可得 3 x +9 y =3 x +3 2 y ≥ 2   =2   . ∵ x +2 y =2,∴3 x +9 y ≥ 2   =6,当且仅当3 x =3 2 y ,即 x =1, y =   时取等号. 1-3 　设 x >-1,则函数 y =   的最小值为 　　　     . 答案 　9 解析 　因为 x >-1,所以 x +1>0, 所以 y =   =   =   = x +1+   +5 ≥ 2   +5=9, 当且仅当 x +1=   ,即 x =1时,等号成立, 故函数 y =   的最小值为9. 考点二　基本不等式的实际应用 典例2 　(1)某车间分批生产某种产品,每批产品的生产准备费用为800 元,若每批生产 x 件,则平均仓储时间为   天,且每件产品每天的仓储费用 为1元.为使平均到每件产品的生产准备费用与仓储费用之和最小,每批 应生产产品   (　　) A.60件　    B.80件　    C.100件　    D.120件 (2)要制作一个容积为4 m 3 ,高为1 m的无盖长方体容器.已知该容器的底 面造价是每平方米20元,侧面造价是每平方米10元,则该容器的最低总 造价是   (　　) A.80元　    B.120元　    C.160元　    D.240元 答案 　(1)B　(2)C 解析 　(1)设每批生产产品 x 件,则每件产品的生产准备费用是   元,仓 储费用是   元,总的费用是   元,由基本不等式得   +   ≥ 2   =20,当且仅当   =   ,即 x =80时取等号. (2)设底面相邻两边的长分别为 x m, y m,总造价为 T 元,则 V = xy ·1=4 ⇒ xy = 4. T =4 × 20+(2 x +2 y ) × 1 × 10=80+20( x + y ) ≥ 80+20 × 2   =80+20 × 4=160(当且 仅当 x = y 时取等号). 故该容器的最低总造价是160元. 易错警示 对实际问题,在审题和建模时一定不可忽略变量的范围,一般地,每个表 示实际意义的代数式必须为正,由此可得变量的范围,然后利用基本不 等式求最值. 2-1 　某工厂去年某产品的年销售量为100万件,每件产品的销售价为10 元,每件产品的固定成本为8元,今年,工厂第一次投入100万元,并计划以 后每年比上一年多投入100万元,预计销售量从今年开始每年比上一年 增加10万件,第 n 次投入后,每件产品的固定成本为 g ( n )=   ( k >0, k 为 常数, n ∈N),若产品销售价保持不变,第 n 次投入后的年利润为 f ( n )万元. (1)求 k 的值及 f ( n )的表达式; (2)若今年是第1年,则第几年的年利润最高?最高年利润为多少万元? 解析 　(1)当 n =0时,由题意得 k =8. 从而 f ( n )=(100+10 n )   -100 n =1 000-80   , n ∈N. (2)由(1)知 f ( n )=1 000-80   ≤ 1 000-80 × 2 ×   =520, 当且仅当   =   ,即 n =8时取等号. 所以第8年的年利润最高,最高年利润为520万元. 考点三　含参问题 典例3 　(1)已知不等式( x + y )   ≥ 9对任意的正实数 x , y 恒成立,则正 实数 a 的最小值为   (　　) A.2　    B.4　    C.6　    D.8 (2)设 x > y > z ,且   +   ≥   ( n ∈N)恒成立,则 n 的最大值为   (　　) A.2　    B.3　    C.4　    D.5 答案　 (1)B　(2)C 解析　 (1)( x + y )   =1+ a +   +   ≥ 1+ a +2   =(   +1) 2 ( x , y , a >0),当且仅 当 y =   x 时取等号,所以( x + y )·   的最小值为(   +1) 2 ,于是(   +1) 2 ≥ 9恒成立.所以 a ≥ 4,故选B. (2)因为 x > y > z ,所以 x - y >0, y - z >0, x - z >0,不等式   +   ≥   恒成立等 价于 n ≤ ( x - z )   恒成立.因为 x - z =( x - y )+( y - z ) ≥ 2   ,   +   ≥ 2   ,所以( x - z )·   ≥ 2   × 2   =4(当且仅当 x - y = y - z 时等号成立), 则要使 n ≤ ( x - z )   恒成立,只需使 n ≤ 4( n ∈N),故 n 的最大值为 4. 1.在应用基本不等式求最值时,要把握三个条件,即“一正——各项都是 正数;二定——和或积为定值;三相等——等号能取得”,这三个条件缺 一不可. 易错警示 2.若无明显“定值”,则常用配凑的方法,使和为定值或积为定值.当多 次使用基本不等式时,一定要注意每次是否能保证等号成立,并且要注 意取等号的条件的一致性,否则就会出错,因此在利用基本不等式处理 问题时,列出等号成立的条件不仅是解题的必要步骤,而且也是检验转 换是否有误的一种方法. 3-1 　已知 a >0, b >0,若不等式   +   ≥   恒成立,则 m 的最大值为   (    ) A.9　    B.12　    C.18　    D.24 答案     B　∵   +   ≥   ,且 a >0, b >0, ∴ m ≤   ( a +3 b )=6+   +   , 又   +   ≥ 2   =6   当且仅当   =   时等号成立   , ∴ m ≤ 12,故 m 的最大值为12. 3-2　 已知lg a +lg b =0,则满足不等式   +   ≤ λ 的实数 λ 的最小值是 　　　     . 答案 　1 解析 　由lg a +lg b =0得 ab =1( a >0且 b >0),则   +   =   +   =   ≤   =1(当且仅当 a = b =1时等号成立),所以 λ ≥ 1,即实数 λ 的最小 值是1.