山东专用2021版高考数学一轮复习第2章函数导数及其应用第1讲函数及其表示课件 45页

第二章 函数、导数及其应用 第一讲　函数及其表示 1 　　知识梳理 • 双基自测 2 　 　 考点突破 • 互动探究 3 　 　 名师讲坛 • 素养提升 知识梳理 • 双基自测 知识点一　函数的概念及表示 1 ． 函数与映射的概念 非空数集 函数 映射 两集合 A ， B 设 A ， B 是两个 ____________ 设 A ， B 是两个 ____________ 对应关系 f ： A → B 如果按照某种确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的 ________ 一个数 x ，在集合 B 中有 ________ 的数 f ( x ) 和它对应 如果按某一个确定的对应关系 f ，使对于集合 A 中的 ________ 一个元素 x 在集合 B 中有 ________ 的元素 y 与之对应 名称 称对应 ______________ 为从集合 A 到集合 B 的一个函数 称对应 ______________ 为从集合 A 到集合 B 的一个映射 记法 y ＝ f ( x ) ， x ∈ A 对应 f ： A → B 是一个映射 非空集合 任意 唯一 任意 唯一 f ： A → B f ： A → B 2. 函数 (1) 函数实质上是从一个非空数集到另一个非空数集的映射． (2) 函数的三要素： __________________________. (3) 函数的表示法： __________________________. (4) 两个函数只有当 ____________________ 都分别相同时，这两个函数才相同． 知识点二　分段函数及应用 在一个函数的定义域中，对于自变量 x 的不同取值范围，有着不同的对应关系，这样的函数叫分段函数，分段函数是一个函数而不是几个函数． 定义域、值域、对应法则 解析法、图象法、列表法 定义域和对应法则 1 ．映射： (1) 映射是函数的推广，函数是特殊的映射， A ， B 为非空数集的映射就是函数； (2) 映射的两个特征： 第一，在 A 中取元素的任意性； 第二，在 B 中对应元素的唯一性； (3) 映射问题允许多对一，但不允许一对多． 2 ．判断两个函数相等的依据是两个函数的定义域和对应关系完全一致． 3 ．分段函数虽由几个部分组成，但它表示的是一个函数． 4 ．与 x 轴垂直的直线和一个函数的图象至多有 1 个交点． ABC 题组二　走进教材 2 ． ( 必修 P 23 T2 改编 ) 下列所给图象是函数图象的个数为 ( 　　 ) A ． 1 B ． 2 C ． 3 D ． 4 [ 解析 ] 　 ① 中当 x >0 时，每一个 x 的值对应两个不同的 y 值，因此不是函数图象， ② 中当 x ＝ x 0 时， y 的值有两个，因此不是函数图象， ③④ 中每一个 x 的值对应唯一的 y 值，因此是函数图象． B D 4 ． ( 必修 1P 25 BT1 改编 ) 函数 y ＝ f ( x ) 的图象如图所示，那么 f ( x ) 的定义域是 ___________ _______ ；值域是 ___________ ；其中只与 x 的一个值对应的 y 值的范围是 _______________. [ － 3,0]∪[2,3] [1,5] [1,2)∪(4,5] [ － 1,7] C 考点突破 • 互动探究 考点一　函数的概念及表示 考向 1 　函数与映射的概念 —— 自主练透 例 1 BC [ 解析 ] 　 (1) ① 是映射，也是函数； ② 不是映射，更不是函数，因为从 A 到 B 的对应为 “ 一对多 ” ； ③ 当 x ＝ 0 时，与其对应的 y 值不存在．故不是映射，更不是函数； ④ 是映射，但不是函数，因为集合 A 不是数集． (2)A 图象不满足函数的定义域，不正确； B 、 C 满足函数的定义域以及函数的值域，正确； D 不满足函数的定义，故选 B 、 C ． (3) ① 中 f 1 的定义域为 { x | x ≠ 0} ， f 2 的定义域为 R ， f 3 的定义域为 { x | x ≠ 0} ，故不是同一函数； ② 中 f 1 的定义域为 R ， f 2 的定义域为 { x | x ≥ 0} ， f 3 的定义域为 { x | x ≠ 0} ，故不是同一函数； ③ 中 f 1 ， f 2 ， f 3 的定义域相同，对应法则也相同，故是同一函数． [ 答案 ] 　 (1) ① 是映射，也是函数 ② 不是映射，更不是函数 ③ 不是映射，更不是函数 ④ 是映射，但不是函数 (3) 不同函数 ①② ；同一函数 ③ 1. 映射与函数的含义 (1) 映射只要求第一个集合 A 中的每个元素在第二个集合 B 中有且只有一个元素与之对应；至于 B 中的元素有无原象、有几个原象却无所谓． (2) 函数是特殊的映射：当映射 f ： A → B 中的 A ， B 为非空数集时，且每个象都有原象，即称为函数． 2 ． 判断两个函数是否相同的方法 (1) 构成函数的三要素中，定义域和对应法则相同，则值域一定相同． (2) 两个函数当且仅当定义域和对应法则相同时，才是相同函数． 例 2 考向 2 　求函数的解析式 —— 师生共研 〔 变式训练 1 〕 (1) 已知 f (cos x ) ＝ sin 2 x ，则 f ( x ) ＝ ______________ ______. (2) 已知 f ( x ) 是二次函数，且 f (0) ＝ 0 ， f ( x ＋ 1) ＝ f ( x ) ＋ x ＋ 1 ，则 f ( x ) ＝ __ __ ______ __ . (3) 定义在 R 上的函数 f ( x ) 满足 f ( x ＋ 1) ＝ 2 f ( x ) ．若当 0≤ x ≤1 时， f ( x ) ＝ x (1 － x ) ，则当－ 1≤ x ≤0 时， f ( x ) ＝ _______ __ __. [ 解析 ] 　 (1)( 换元法 ) 设 cos x ＝ t ， t ∈ [ － 1,1] ， ∵ f (cos x ) ＝ sin 2 x ＝ 1 － cos 2 x ， ∴ f ( t ) ＝ 1 － t 2 ， t ∈ [ － 1,1] ． 即 f ( x ) ＝ 1 － x 2 ， x ∈ [ － 1,1] ． 1 － x 2 ， x ∈[ － 1,1] 考点二　分段函数及应用 —— 多维探究 角度 1 　分段函数求值问题 例 3 A 例 4 角度 2 　分段函数与方程的交汇问题 角度 3 　分段函数与不等式的交汇问题 例 5 D [ 解析 ] 　 画出函数 f ( x ) 的图象如图所示，由图可知： ① 当 x ＋ 1 ≥ 0 且 2 x ≥ 0 ，即 x ≥ 0 时， f (2 x ) ＝ f ( x ＋ 1) ，不满足题意； ② 当 x ＋ 1>0 且 2 x <0 ，即－ 1< x <0 时， f ( x ＋ 1)< f (2 x ) 显然成立； ③ 当 x ＋ 1 ≤ 0 时， x ≤ － 1 ，此时 2 x <0 ，若 f ( x ＋ 1)< f (2 x ) ，则 x ＋ 1>2 x ，解得 x <1. 故 x ≤ － 1. 综上所述， x 的取值范围为 ( －∞， 0). 分段函数问题的求解策略 (1) 分段函数的求值问题，应首先确定自变量的值属于哪个区间，然后选定相应的解析式代入求解． (2) 分段函数与方程、不等式的交汇问题，一般要根据分段函数的不同分段区间进行分类讨论，最后应注意检验所求参数值 ( 范围 ) 是否适合相应的分段区间． A C 名师讲坛 • 素养提升 数学抽象 —— 函数新定义问题中的核心素养 例 6 ②③④ [ 解析 ] 　 由已知，在函数定义域内，对任意的 x 都存在着 y ，使 x 所对应的函数值 f ( x ) 与 y 所对应的函数值 f ( y ) 互为相反数，即 f ( y ) ＝－ f ( x ) ．故只有当函数的值域关于原点对称时才会满足 “ 美丽函数 ” 的条件． ① 中函数的值域为 [0 ，＋∞ ) ，值域不关于原点对称，故 ① 不符合题意； ② 中函数的值域为 ( －∞， 0) ∪ (0 ，＋∞ ) ，值域关于原点对称，故 ② 符合题意； ③ 中函数的值域为 ( －∞，＋∞ ) ，值域关于原点对称，故 ③ 符合题意； ④ 中函数的值域为 R ，值域关于原点对称，故 ④ 符合题意； ⑤ 中函数 f ( x ) ＝ 2sin x － 1 的值域为 [ － 3,1] ，不关于原点对称，故 ⑤ 不符合题意 . 以学习过的函数相关知识为基础，通过一类问题共同特征的 “ 数学抽象 ” ，引出新的概念，然后在快速理解的基础上，解决新问题． D