高考数学专题复习教案： 矩阵与变换 4页

矩阵与变换 主标题：矩阵与变换 副标题：为学生详细的分析矩阵与变换的高考考点、命题方向以及规律总结。‎ 关键词：矩阵，二阶矩阵，变换，特征值，特征向量 难度：3‎ 重要程度：5‎ 考点剖析：‎ ‎1．了解二阶矩阵的概念，了解线性变换与二阶矩阵之间的关系．‎ ‎2．了解旋转变换、反射变换、伸缩变换、投影变换、切变变换这五种变换的概念与矩阵表示．‎ ‎3．理解变换的复合与矩阵的乘法；理解二阶矩阵的乘法和简单性质．‎ ‎4．理解逆矩阵的意义，会求出简单二阶逆矩阵．‎ ‎5．理解矩阵的特征值与特征向量，会求二阶矩阵的特征值与特征向量.‎ 命题方向：主要考查矩阵与变换，二阶逆矩阵与二元一次方程组及求矩阵的特征值与特征向量。‎ 规律总结：1．矩阵相等实质上是矩阵对应元素相等，体现了方程思想，要注意矩阵对应元素相等．‎ ‎2．矩阵的乘法只满足结合律，不满足交换律和消去律．‎ ‎3．对于平面图形的变换要分清是伸缩、反射、还是切变变换．‎ ‎4．伸缩、反射、切变变换这三种几何变换称为初等变换，对应的变换矩阵为初等变换矩阵，由矩阵的乘法可以看出，矩阵的乘法对应于变换的复合，一一对应的平面变换都可以看作这三种初等变换的一次或多次的复合．‎ ‎5．逆矩阵的求法常用待定系数法．‎ ‎6．若A，B两个矩阵均存在可逆矩阵，则有(AB)－1＝B－1A－1，若A，B，C为二阶矩阵且A可逆，则当AB＝AC时，‎ 有B＝C，即此时矩阵乘法的消去律成立．‎ ‎7．关于特征值问题的一般解法如下：‎ 给定矩阵A＝，向量α＝，若有特征值λ，则＝λ ‎，即＝，‎ 所以＝0，即λ2－(a＋d)λ＋(ad－bc)＝0.‎ ‎8．求Mnα，一般都是先求出矩阵M的特征值与特征向量，将α写成t1α1＋t2α2.利用性质Mnα＝t1λα1＋t2λα2求解．‎ 知 识 梳 理 ‎1．矩阵的乘法规则 ‎(1)行矩阵[a11　a12]与列矩阵的乘法规则：‎ ‎[a11　a12]＝[a11×b11＋a12×b21]．‎ ‎(2)二阶矩阵与列向量的乘法规则：‎ ＝.‎ 设A是一个二阶矩阵，α、β是平面上的任意两个向量，λ、λ1、λ2是任意三个实数，则 ‎①A(λα)＝λAα；②A(α＋β)＝Aα＋Aβ；‎ ‎③A(λ1α＋λ2β)＝λ1Aα＋λ2Aβ.‎ ‎(3)两个二阶矩阵相乘的结果仍然是一个矩阵，其乘法法则如下：‎ ＝‎ 性质：①一般情况下，AB≠BA，即矩阵的乘法不满足交换律；②矩阵的乘法满足结合律，即(AB)C＝A(BC)；③矩阵的乘法不满足消去律．‎ ‎2．矩阵的逆矩阵 ‎(1)逆矩阵的有关概念：对于二阶矩阵A，B，若有AB＝BA＝E，则称A是可逆的，B称为A的逆矩阵．若二阶矩阵A存在逆矩阵B，则逆矩阵是唯一的，通常记A的逆矩阵为A－1，A－1＝B.‎ ‎(2)逆矩阵的求法：一般地，对于二阶可逆矩阵A＝(detA＝ad－bc≠0)，它的逆矩阵为 A－1＝.‎ ‎(3)逆矩阵与二元一次方程组：如果关于变量x，y的二元一次方程组的系数矩阵A＝可逆，那么该方程组有唯一解＝－1，‎ 其中A－1＝.‎ ‎3．二阶矩阵的特征值和特征向量 ‎(1)特征值与特征向量的概念 设A是一个二阶矩阵，如果对于实数λ，存在一个非零向量α，使得Aα＝λα，那么λ称为A的一个特征值，而α称为A的一个属于特征值λ的一个特征向量．‎ ‎(2)特征多项式与特征方程 设λ是二阶矩阵A＝的一个特征值，它的一个特征向量为ξ＝，则A＝λ，‎ 即满足二元一次方程组 故⇔＝(*)‎ 则(*)式有非零解的充要条件是它的系数矩阵的行列式 ＝0.记f(λ)＝为矩阵A＝的特征多项式；方程＝0，即f(λ)＝0称为矩阵A＝的特征方程．‎ ‎(3)特征值与特征向量的计算 如果λ是二阶矩阵A的特征值，则λ是特征方程f(λ)＝＝λ2－(a＋d)λ＋ad－bc＝0的一个根．‎ 解这个关于λ的二元一次方程，得λ＝λ1、λ2，将λ＝λ1、λ2分别代入方程组(*)，分别求出它们的一个非零解 记ξ1＝，ξ2＝.‎ 则Aξ1＝λ1ξ1、Aξ2＝λ2ξ2，因此λ1、λ2是矩阵A＝的特征值，ξ1＝，ξ2＝为矩阵A的分别属于特征值λ1、λ2的一个特征向量．‎