高考数学专题复习教案： 变化率与导数、导数的计算易错点 3页

变化率与导数、导数的计算易错点 主标题：变化率与导数、导数的计算易错点 副标题：从考点分析变化率与导数、导数的计算易错点，为学生备考提供简洁有效的备考策略。‎ 关键词：变化率，导数，导数计算，易错点 难度：3‎ 重要程度：5‎ 内容：‎ ‎【易错点】‎ ‎1．对导数概念的理解 ‎(1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(×)‎ ‎(2)f′(x0)与[f(x0)]′表示的意义相同．(×)‎ ‎(3)f′(x0)是导函数f′(x)在x＝x0处的函数值．(√)‎ ‎2．导数的几何意义与物理意义 ‎(4)曲线的切线不一定与曲线只有一个公共点．(√)‎ ‎(5)物体的运动方程是s＝－4t2＋16t，在某一时刻的速度为0，则相应时刻t＝0.(×)‎ ‎(6)曲线y＝x3－x＋3在点(1,3)处的切线方程为2x－y＋1＝0.(√)‎ ‎3．导数的计算 ‎(7)若f(x)＝a3＋2ax－x2，则f′(x)＝3a2＋2x.(×)‎ ‎(8)函数y＝xcos x－sin x的导函数是y′＝－xsin x．(√)‎ ‎(9)[f(ax＋b)]′＝f′(ax＋b)．(×)‎ ‎[剖析]‎ ‎1．“过某点”与“在某点”的区别 曲线y＝f(x)“在点P(x0，y0)处的切线”与“过点P(x0，y0)的切线”的区别：前者P(x0，y0)为切点，如(6)中点(1,3)为切点，而后者P(x0，y0)不一定为切点．‎ ‎2．导数运算及切线的理解应注意的问题 一是利用公式求导时要特别注意除法公式中分子的符号，防止与乘法公式混淆．‎ 二是直线与曲线公共点的个数不是切线的本质，直线与曲线只有一个公共点，直线不一定是曲线的切线，同样，直线是曲线的切线，则直线与曲线可能有两个或两个以上的公共点，如(4)．‎ 三是复合函数求导的关键是分清函数的结构形式．由外向内逐层求导，其导数为两层导数之积，如(9).‎ ‎【易错典例】若存在过点O(0,0)的直线l与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x和y＝x2＋a都相切，则a的值是(　　)．‎ A．1 B. ‎ C．1或 D．1或－ ‎[错解]　∵点O(0,0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上，‎ ‎∴直线l与曲线y＝f(x)相切于点O.‎ 则k＝f′(0)＝2，直线l的方程为y＝2x.‎ 又直线l与曲线y＝x2＋a相切，‎ ‎∴x2＋a－2x＝0满足Δ＝4－4a＝0，a＝1，选A.‎ ‎[答案]　A ‎[错因]　(1)片面理解“过点O(0,0)的直线与曲线f(x)＝x3－3x2＋2x相切”．这里有两种可能：一是点O是切点；二是点O不是切点，但曲线经过点O，解析中忽视后面情况．‎ ‎(2)本题还易出现以下错误：一是当点O(0,0)不是切点，无法与导数的几何意义沟通起来；二是盲目设直线l的方程，导致解题复杂化，求解受阻．‎ ‎[正解]　易知点O(0,0)在曲线f(x)＝x3－3x2＋2x上，‎ ‎(1)当O(0,0)是切点时，同上面解法．‎ ‎(2)当O(0,0)不是切点时，设切点为P(x0，y0)，则y0＝x－3x＋2x0，且k＝f′(x0)＝3x－6x0＋2. ①‎ 又k＝＝x－3x0＋2， ②‎ 由①，②联立，得x0＝(x0＝0舍)，所以k＝－，‎ ‎∴所求切线l的方程为y＝－x.‎ 由得x2＋x＋a＝0.‎ 依题意，Δ＝－4a＝0，∴a＝.综上，a＝1或a＝.‎ ‎[答案]　C ‎[注意]　(1)求曲线的切线方程应首先确定已知点是否为切点是求解的关键，分清过点P的切线与在点P处的切线的差异．‎ ‎(2)熟练掌握基本初等函数的导数，导数的运算法则，正确进行求导运算．‎