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- 2021-06-30 发布
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滚动测试卷一(第一~三章)
(时间:120分钟 满分:150分)
滚动测试卷第1页
一、选择题(本大题共12小题,每小题5分,共60分)
1.(2016河南商丘三模)已知全集U=R,集合A={x|12},则A∩(∁UB)=( )
A.{x|1≤x≤2} B.{x|1≤x<2}
C.{x|12},∴∁UB={x|x≤2},
∴A∩(∁UB)={x|12}
C.{x|-11}
答案B
解析由-x2+|x|+2<0,得x2-|x|-2>0,
即(|x|+1)(|x|-2)>0,
故|x|-2>0,解得x>2或x<-2.
3.若幂函数的图象经过点(3,33),则该函数的解析式为( )
A.y=x3 B.y=x13 C.y=1x3 D.y=x-1
答案B
解析设幂函数解析式为y=xα,则33=3α,
故α=13,即y=x13.故选B.
4.下列判断错误的是( )
A.命题“若am2≤bm2,则a≤b”是假命题
B.命题“∀x∈R,x3-x2-1≤0”的否定是“∃x0∈R,x03-x02-1>0”
C.“若a=1,则直线x+y=0和直线x-ay=0互相垂直”的逆否命题为真命题
D.命题“p∨q为真命题”是命题“p∧q为真命题”的充分不必要条件
答案D
解析A中,当m=0时,满足am2≤bm2,但a可以大于b,故命题是假命题,故正确;
B显然正确;C中,原命题是真命题,故其逆否命题也为真命题,故正确;
D中,p∨q为真命题,可知p,q至少有一个为真,但推不出p∧q为真命题,故错误.故选D.
5.下列函数中,既是奇函数,又在(0,+∞)上单调递增的是( )
A.y=sin x B.y=-x2+1x
C.y=x3+3x D.y=e|x|
答案C
解析选项A,C中函数为奇函数,又函数y=sin x在(0,+∞)上不是单调函数,故选C.
6.若函数y=x2-3x-4的定义域为[0,m],值域为-254,-4,则m的取值范围是( )
A.(0,4] B.32,4
C.32,3 D.32,+∞
答案C
解析y=x2-3x-4=x-322-254.当x=0或x=3时,y=-4,故32≤m≤3.
7.(2016山西孝义模拟)设函数f(x)=5x-m(x<1),2x(x≥1),若ff45=8,则m=( )
A.2 B.1 C.2或1 D.12
答案B 解∵ff45=8,∴f(4-m)=8.
若4-m<1,即3200,
∴1.12n>200130,两边取常用对数得nlg 1.12>lg200130,
∴n>lg2-lg1.3lg1.12≈0.30-0.110.05=3.8.
∴n≥4,故选B.
11.已知函数y=f(x)是定义在R上的偶函数,且当x>0时,不等式f(x)+x·f'(x)<0成立,若a=30.2·f(30.2),b=(logπ2)·f(logπ2),c=log214·flog214,则a,b,c的大小关系为( )
A.c>b>a B.c>a>b
C.b>a>c D.a>c>b〚导学号74920603〛
答案A
解析设F(x)=xf(x),当x>0时,F'(x)=[xf(x)]'=f(x)+xf'(x)<0,即函数F(x)在(0,+∞)上单调递减,又y=f(x)在R上是偶函数,则F(x)在R上是奇函数,从而F(x)在R上单调递减,又30.2>1,0logπ2>log214,所以F(30.2)0,得x>1;由f'(x)<0,得00;
(2)若关于x的方程f(x)-log2[(a-4)x+2a-5]=0的解集中恰有一个元素,求a的取值范围;
(3)设a>0,若对任意t∈12,1,函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值的差不超过1,求a的取值范围.
解(1)由log21x+5>0,得1x+5>1,
解得x∈-∞,-14∪(0,+∞).
(2)1x+a=(a-4)x+2a-5,(a-4)x2+(a-5)x-1=0,
当a=4时,x=-1,经检验,满足题意.
当a=3时,x1=x2=-1,经检验,满足题意.
当a≠3且a≠4时,x1=1a-4,x2=-1,x1≠x2.
x1是原方程的解当且仅当1x1+a>0,即a>2;
x2是原方程的解当且仅当1x2+a>0,即a>1.
于是满足题意的a∈(1,2].
综上,a的取值范围为(1,2]∪{3,4}.
(3)当01x2+a,log21x1+a>log21x2+a,所以f(x)在(0,+∞)上单调递减.
函数f(x)在区间[t,t+1]上的最大值与最小值分别为f(t),f(t+1).
f(t)-f(t+1)=log21t+a-log21t+1+a≤1即at2+(a+1)t-1≥0,对任意t∈12,1成立.
因为a>0,所以函数y=at2+(a+1)t-1在区间12,1上单调递增,t=12时,y有最小值34a-12,由34a-12≥0,得a≥23.
故a的取值范围为23,+∞.〚导学号74920606〛
18.(12分)已知f(x)是定义在R上的奇函数,且对任意实数x,恒有f(x+2)=-f(x).当x∈[0,2]时,f(x)=2x-x2.
(1)求证:f(x)是周期函数;
(2)当x∈[2,4]时,求f(x)的解析式;
(3)求f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 015)的值.
解(1)因为f(x+2)=-f(x),
所以f(x+4)=-f(x+2)=f(x).
所以f(x)是周期为4的周期函数.
(2)当x∈[-2,0]时,-x∈[0,2].
由已知得f(-x)=2(-x)-(-x)2=-2x-x2,
又f(x)是奇函数,所以f(-x)=-f(x)=-2x-x2,
所以f(x)=x2+2x.
又当x∈[2,4]时,x-4∈[-2,0],
所以f(x-4)=(x-4)2+2(x-4).
又f(x)是周期为4的周期函数,
所以f(x)=f(x-4)=(x-4)2+2(x-4)=x2-6x+8.
从而求得当x∈[2,4]时,f(x)=x2-6x+8.
(3)f(0)=0,f(2)=0,f(1)=1,f(3)=-1.
又f(x)是周期为4的周期函数,
所以f(0)+f(1)+f(2)+f(3)
=f(4)+f(5)+f(6)+f(7)=…
=f(2 008)+f(2 009)+f(2 010)+f(2 011)
=f(2 012)+f(2 013)+f(2 014)+f(2 015)=0.
所以f(0)+f(1)+f(2)+…+f(2 015)=0.
19.
(12分)如图,在半径为30 cm的四分之一圆形(O为圆心)铝皮上截取一块矩形材料OABC,其中点B在圆弧上,点A,C在两半径上,现将此矩形铝皮OABC卷成一个以AB为母线的圆柱形罐子的侧面(不计剪裁和拼接损耗),设矩形的边长AB=x cm,圆柱的体积为V cm3.
(1)写出体积V关于x的函数解析式;
(2)当x为何值时,才能使做出的圆柱形罐子的体积V最大?
解(1)连接OB,因为AB=x cm,
所以OA=900-x2 cm.
设圆柱的底面半径为r cm,
则900-x2=2πr,即4π2r2=900-x2,
所以V=πr2x=π·900-x24π2·x=900x-x34π,其中00,都有f(x)+f1x=0.
(1)求a,b的关系式;
(2)若f(x)存在两个极值点x1,x2,且x10,则f'(x)=1x-a-ax2=-ax2+x-ax2.
令g(x)=-ax2+x-a,要使f(x)存在两个极值点x1,x2,则y=g(x)有两个不相等的正数根,
因此,a>0,12a>0,Δ=1-4a2>0,g(0)=-a<0或a<0,12a>0,Δ=1-4a2>0,g(0)=-a>0,
解得00,所以函数g(x)的定义域为R.
求导,得g'(x)=ex(x2+x+1)-ex(2x+1)(x2+x+1)2=exx(x-1)(x2+x+1)2,
令g'(x)=0,得x1=0,x2=1,当x变化时,g(x)和g'(x)的变化情况如下:
x
(-∞,0)
0
(0,1)
1
(1,+∞)
g'(x)
+
0
-
0
+
g(x)
单调递增
极大值
单调递减
极小值
单调递增
故函数g(x)的单调递减区间为(0,1);单调递增区间为(-∞,0),(1,+∞).
当x=0时,函数g(x)有极大值g(0)=0;
当x=1时,函数g(x)有极小值g(1)=e3-1.
因为函数g(x)在(-∞,0)上单调递增,且g(0)=0,所以对于任意x∈(-∞,0),g(x)≠0.
因为函数g(x)在(0,1)上单调递减,且g(0)=0,所以对于任意x∈(0,1),g(x)≠0.
因为函数g(x)在(1,+∞)上单调递增,且g(1)=e3-1<0,g(2)=e27-1>0,
所以函数g(x)在(1,+∞)上有且仅有一个x0,使得g(x0)=0,故函数g(x)存在两个零点(即0和x0).〚导学号74920609〛
22.(12分)(2016山西太原一模)已知函数f(x)=2ln x-x2+ax(a∈R).
(1)若函数f(x)的图象在x=2处的切线斜率为-1,且不等式f(x)≥2x+m在1e,e上有解,求实数m的取值范围;
(2)若函数f(x)的图象与x轴有两个不同的交点A(x1,0),B(x2,0),且00;当10,
∴μ(t)在(0,1)上是增函数,∴μ(t)<μ(1)=0,
从而知2(x2-x1)x1+x2+ln x1x2<0,
故4x1+x2-2(ln x1-ln x2)x1-x2<0,
即f'x1+x22<0成立.〚导学号74920610〛
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