2021高考数学新高考版一轮习题：专题3 第29练 高考大题突破练——导数与函数零点 Word版含解析 5页

‎1．(2020·广州模拟)已知函数f (x)＝ln x－ax(a∈R)．‎ ‎(1)若函数f (x)在x＝x0处的切线方程为x＋y＋1＝0，求a的值；‎ ‎(2)若函数f (x)无零点，求a的取值范围．‎ ‎2．已知函数f (x)＝(2x2－4ax)ln x，a∈R.‎ ‎(1)当a＝0时，求函数f (x)的单调区间；‎ ‎(2)当a>1时，若函数g(x)＝f (x)＋x2在x∈[1，＋∞)上有两个不同的零点，求a的取值范围．‎ ‎3．(2019·天津检测)已知函数f (x)＝.‎ ‎(1)若f (a)＝2，求实数a的值；‎ ‎(2)判断f (x)的奇偶性并证明；‎ ‎(3)设函数g(x)＝－kx2＋1(k∈R)，若g(x)在(0，＋∞)上没有零点，求k的取值范围．‎ ‎4．(2019·黑龙江大庆实验中学期末)已知函数f (x)＝2sin x－xcos x－x，f′(x)为f (x)的导数．‎ ‎(1)求曲线y＝f (x)在点A(0，f (0))处的切线方程；‎ ‎(2)证明：f′(x)在区间(0，π)上存在唯一零点；‎ ‎(3)设g(x)＝x2－2x＋a(a∈R)，若对任意x1∈[0，π]，均存在x2∈[1,2]，使得f (x1)>g(x2)，求实数a的取值范围．‎ 答案精析 ‎1．解　(1)函数f (x)＝ln x－ax的导数为f′(x)＝－a，‎ 由f (x)在x＝x0处的切线方程为x＋y＋1＝0，‎ 可得－a＝－1，－1－x0＝ln x0－ax0，‎ 解得a＝2，x0＝1.‎ ‎(2)函数f (x)＝ln x－ax的导数为f′(x)＝－a，‎ 当a≤0，由x>0可得f′(x)>0，‎ 即f (x)在(0，＋∞)上递增时，f (1)＝－a>0，x→0，f (x)→－∞，‎ ‎∴f (x)有且只有一个零点；‎ 当a>0时，由x>，f (x)递减，0，‎ 综上可得a>时，函数f (x)无零点．‎ ‎2．解　(1)函数f (x)的定义域为(0，＋∞)，‎ 当a＝0时，f (x)＝2x2ln x，‎ f′(x)＝4xln x＋2x＝2x(2ln x＋1)，‎ 令f′(x)>0，即2ln x＋1>0，‎ 解得x> ，‎ 令f′(x)<0，即2ln x＋1<0，‎ 解得00，‎ 当x∈(1，a)时，g′(x)<0，‎ 当x∈(a，＋∞)时，g′(x)>0，‎ ‎∴函数g(x)在(1，a)上单调递减，‎ 在(a，＋∞)上单调递增，‎ ‎∵g(1)＝1>0，g(2a)＝4a2>0，‎ ‎∴要使函数g(x)在x∈[1，＋∞)上有两个不同的零点，‎ 只需g(x)min＝g(a)＝a2(1－2ln a)<0，解得a>，‎ ‎∴a的取值范围为(，＋∞)．‎ ‎3．解　(1)因为f (a)＝＝2，即ea＝3，所以a＝ln 3.‎ ‎(2)函数f (x)为奇函数．证明如下：‎ 由ex－1≠0，解得x≠0，所以函数f (x)的定义域关于原点对称，‎ 又因为f (－x)＝＝ ‎＝－＝－f (x)，‎ 所以f (x)为奇函数．‎ ‎(3)由题意可知，g(x)＝ex－kx2，‎ 函数g(x)在(0，＋∞)上没有零点等价于方程k＝在(0，＋∞)上无实数解，‎ 设h(x)＝(x>0)，则h′(x)＝(x>0)，‎ 所以h(x)在(0,2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，‎ 所以h(x)在x＝2处取得极小值，也是最小值，‎ 所以当x>0时，h(x)≥h(2)＝，‎ 所以k的取值范围为.‎ ‎4．(1)解　f′(x)＝cos x＋xsin x－1，所以f′(0)＝0，即切线的斜率k＝0，且f (0)＝0，从而曲线y＝f (x)在点A(0，f (0))处的切线方程为y＝0.‎ ‎(2)证明　设g(x)＝f′(x)，‎ 则g(x)＝cos x＋xsin x－1，g′(x)＝xcos x.‎ 当x∈时，g′(x)>0；‎ 当x∈时，g′(x)<0，‎ 所以g(x)在上单调递增，‎ 在上单调递减．‎ 又g(0)＝0，g>0，g(π)＝－2，‎ 故g(x)在(0，π)上存在唯一零点．‎ 所以f′(x)在(0，π)上存在唯一零点．‎ ‎(3)解　由已知，转化为f (x)min>g(x)min, 且g(x)＝x2－2x＋a(a∈R)的对称轴x＝1∈[1,2]，‎ 所以g(x)min＝g(1)＝a－1 .‎ 由(2)知，f′(x)在(0，π)只有一个零点，设为x0，且当x∈(0，x0)时，f′(x)>0；‎ 当x∈(x0，π)时，f′(x)<0，‎ 所以f (x)在(0，x0)上单调递增，在(x0，π)上单调递减．‎ 又f (0)＝0，f (π)＝0，‎ 所以当x∈[0，π]时，f (x)min＝0.‎ 所以a－1<0，即a<1，因此，a的取值范围是(－∞，1)．‎