高考数学专题复习练习第1讲 平面向量的概念及其线性运算 6页

第1讲 平面向量的概念及其线性运算 一、选择题 ‎1. 已知两个非零向量a，b满足|a+b|=|ab|，则下面结论正确的是（ ）‎ A.a∥b B. a⊥b ‎ C.{0,1,3} D.a+b=ab 答案 B ‎2．对于非零向量a，b，“a＋b＝‎0”‎是“a∥b”的(　　)．‎ A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 解析　若a＋b＝0，则a＝－b.‎ ‎∴a∥b；‎ 若a∥b，则a＝λb，a＋b＝0不一定成立．‎ 答案　A ‎3．已知O是△ABC所在平面内一点，D为BC边的中点，且2＋＋＝0，那么 (　　)．‎ A.＝ B.＝2 C.＝3 D．2＝ 解析　由2＋＋＝0可知，O是底边BC上的中线AD的中点，故＝.‎ 答案　A ‎4．设A1，A2，A3，A4是平面直角坐标系中两两不同的四点，若＝λ(λ∈R)‎ ‎，＝μ(μ∈R)，且＋＝2，则称A3，A4调和分割A1，A2.已知平面上的点C，D调和分割点A，B，则下列说法正确的是 (　　)．‎ A．C可能是线段AB的中点 B．D可能是线段AB的中点 C．C、D可能同时在线段AB上 D．C、D不可能同时在线段AB的延长线上 解析　若A成立，则λ＝，而＝0，不可能；同理B也不可能；若C成立，则0＜λ＜1，且0＜μ＜1，＋＞2，与已知矛盾；若C，D同时在线段AB的延长线上时，λ＞1，且μ＞1，＋＜2，与已知矛盾，故C，D不可能同时在线段AB的延长线上，故D正确．‎ 答案　D ‎5．已知A，B，C 是平面上不共线的三点，O是△ABC的重心，动点P满足＝，则点P一定为三角形ABC的 (　　)．‎ A．AB边中线的中点 B．AB边中线的三等分点(非重心)‎ C．重心 D．AB边的中点 解析　设AB的中点为M，则＋＝，∴＝(＋2)＝＋，即3＝＋2，也就是＝2，∴P，M，C三点共线，且P是CM上靠近C点的一个三等分点．‎ 答案　B ‎6．在四边形ABCD中，＝a＋2b，＝－‎4a－b，＝－‎5a－3b，则四边形ABCD的形状是(　　)．‎ A．矩形 B．平行四边形 C．梯形 D．以上都不对 解析　由已知＝＋＋＝－‎8a－2b＝2(－‎4a－b)＝2.‎ ‎∴∥，又与不平行，‎ ‎∴四边形ABCD是梯形．‎ 答案　C 二、填空题 ‎7．设a，b是两个不共线向量，＝‎2a＋pb，＝a＋b，＝a－2b，若A，B，D三点共线，则实数p的值为________．‎ 解析　∵＝＋＝‎2a－b，又A，B，D三点共线，‎ ‎∴存在实数λ，使＝λ.‎ 即∴p＝－1.‎ 答案　－1‎ ‎8. 如图，在矩形ABCD中，||＝1，||＝2，设＝a，＝b，＝c，则|a＋b＋c|＝________.‎ 解析　根据向量的三角形法则有|a＋b＋c|＝|＋＋|＝|＋＋|＝|＋|＝2||＝4.‎ 答案　4‎ ‎9．若点O是△ABC所在平面内的一点，且满足|－|＝|＋－2|，则△ABC的形状为________．‎ 解析　＋－2＝－＋－＝＋，‎ －＝＝－，∴|＋|＝|－|.‎ 故A，B，C为矩形的三个顶点，△ABC为直角三角形．‎ 答案　直角三角形 ‎10．若M为△ABC内一点，且满足＝＋，则△ABM与△ABC的面积之比为________．‎ 解析 由题知B、M、C三点共线，设＝λ，则：－＝λ(－)，‎ ‎∴＝(1－λ)＋λ，‎ ‎∴λ＝，‎ ‎∴＝.‎ 答案 三、解答题 ‎11．如图所示，△ABC中，＝，DE∥BC交AC于E，AM是BC边上的中线，交DE于N.设＝a，＝b，用a，b分别表示向量，，，，，. ‎ 解　＝b，＝b－a，＝(b－a)，＝(b－a)，‎ ＝(a＋b)，＝(a＋b)．‎ ‎12． (1)设两个非零向量e1，e2不共线，如果＝2e1＋3e2，＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，求证：A，B，D三点共线．‎ ‎(2)设e1，e2是两个不共线的向量，已知＝2e1＋ke2，＝e1＋3e2，＝2e1－e2，若A，B，D三点共线，求k的值．‎ ‎(1)证明　因为＝6e1＋23e2，＝4e1－8e2，‎ 所以＝＋＝10e1＋15e2.‎ 又因为＝2e1＋3e2，得＝5，即∥，‎ 又因为，有公共点B，所以A，B，D三点共线．‎ ‎(2)解　D＝－＝e1＋3e2－2e1＋e2＝4e2－e1，‎ ＝2e1＋ke2，‎ 若A，B，D共线，则∥D，‎ 设D＝λ，所以⇒k＝－8.‎ ‎13． 如图所示，在△ABC中，在AC上取一点N，使得AN＝AC，在AB上取一点M，使得AM＝AB，在BN的延长线上取点P，使得NP＝BN，在CM的延长线上取点Q，使得＝λ时，＝，试确定λ的值．‎ 解　∵＝－＝(－)＝(＋)＝，＝－＝＋λ，‎ 又∵＝，∴＋λ＝，‎ 即λ＝，∴λ＝.‎ ‎14．已知O，A，B三点不共线，且＝m＋n，(m，n∈R)．‎ ‎(1)若m＋n＝1，求证：A，P，B三点共线；‎ ‎(2)若A，P，B三点共线，求证：m＋n＝1.‎ 证明　(1)m，n∈R，且m＋n＝1，‎ ‎∴＝m＋n＝m＋(1－m)，‎ 即－＝m(－)．‎ ‎∴＝m，而≠0，且m∈R.‎ 故与共线，又，有公共点B.‎ ‎∴A，P，B三点共线．‎ ‎(2)若A，P，B三点共线，则与共线，故存在实数λ，使＝λ，∴－＝λ(－)．‎ 即＝λ＋(1－λ).‎ 由＝m＋n.‎ 故m＋n＝λ＋(1－λ).‎ 又O，A，B不共线，∴，不共线．‎ 由平面向量基本定理得 ‎∴m＋n＝1.‎