高考数学专题复习练习：6-1 专项基础训练 5页

‎ A组　专项基础训练 ‎(时间：35分钟)‎ ‎1．(2016·湖北部分重点中学第一次联考)函数f(x)由下表定义：‎ x ‎2‎ ‎5‎ ‎3‎ ‎1‎ ‎4‎ f(x)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ 若a0＝5，an＋1＝f(an)(n∈N)，则a2 016的值为(　　)‎ A．1　　　　　　　　　　　B．2‎ C．4 D．5‎ ‎【解析】 ∵a0＝5，an＋1＝f(an)，‎ ‎∴a1＝f(a0)＝f(5)＝2，a2＝f(a1)＝f(2)＝1，a3＝f(a2)＝f(1)＝4，a4＝f(a3)＝f(4)＝5，a5＝f(a4)＝f(5)＝2，…，‎ ‎∴a1＝a5.∴{an}是以4为周期的周期数列．∴a2 016＝a0＝5.‎ ‎【答案】 D ‎2．若数列{an}的通项公式是an＝(－1)n(3n－2)，则a1＋a2＋…＋a10等于(　　)‎ A．15 B．12‎ C．－12 D．－15‎ ‎【解析】 由题意知，a1＋a2＋…＋a10‎ ‎＝－1＋4－7＋10－…＋(－1)10×(3×10－2)‎ ‎＝(－1＋4)＋(－7＋10)＋…＋[(－1)9×(3×9－2)＋(－1)10×(3×10－2)]＝3×5＝15.‎ ‎【答案】 A ‎3．(2016·天津一中模拟)已知数列{an}的前n项和Sn＝2an－1，则满足≤2的正整数n的集合为(　　)‎ A．{1，2} B．{1，2，3，4}‎ C．{1，2，3} D．{1，2，4}‎ ‎【解析】 因为Sn＝2an－1，所以当n≥2时，Sn－1＝2an－1－1，两式相减，得an＝2an－2an－1，整理得an＝2an－1.又因为a1＝2a1－1，解得a1＝1，所以{an}是以1为首项，2为公比的等比数列，故{an}的通项公式为an＝2n－1.由≤2，得2n－1≤2n，所以有n＝1，2，3，4.‎ ‎【答案】 B ‎4．(2016·北京海淀区期末)若数列{an}满足：a1＝19，an＋1＝an－3(n∈N*)，则数列{an}的前n项和数值最大时，n的值为(　　)‎ A．6 B．7‎ C．8 D．9‎ ‎【解析】 ∵a1＝19，an＋1－an＝－3，‎ ‎∴数列{an}是以19为首项，－3为公差的等差数列，‎ ‎∴an＝19＋(n－1)×(－3)＝22－3n.‎ 设{an}的前k项和数值最大，‎ 则有k∈N*，∴ ‎∴≤k≤，‎ ‎∵k∈N*，∴k＝7.∴满足条件的n的值为7.‎ ‎【答案】 B ‎5．(2016·山东日照实验中学月考)如果数列{an}满足a1＝2，a2＝1，且＝(n≥2)，则这个数列的第10项等于(　　)‎ A. B. C. D. ‎【解析】 ∵＝，‎ ‎∴1－＝－1，＋＝2，‎ ‎∴＋＝，故是等差数列．‎ 又d＝－＝，∴＝＋9×＝5，‎ 故a10＝.‎ ‎【答案】 C ‎6．(2016·山东部分重点中学第二次联考)传说古希腊毕达哥拉斯学派的数学家经常在沙滩上面画点或用小石子表示数．他们研究过如图所示的三角形数：‎ 将三角形数1，3，6，10，…记为数列{an}，则数列{an}的通项公式为________．‎ ‎【解析】 由图可知，an＋1－an＝n＋1，a1＝1，由累加法可得an＝.‎ ‎【答案】 an＝ ‎7．(2016·河南洛阳模拟)已知数列{an}满足a1＝1，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)，则an＝________．‎ ‎【解析】 ∵a1＝1，an＋1＝an＋2n－1(n∈N*)，∴an＝(an－an－1)＋(an－1－an－2)＋…＋(a2－a1)＋a1＝(2n－3)＋(2n－5)＋…＋1＋1＝＋1＝n2－2n＋2.‎ ‎【答案】 n2－2n＋2‎ ‎8．(2016·安徽江淮十校第一次联考)在数列{an}中，a1＝2，an＝3an－1＋2(n≥2，n∈N*)，则通项an＝________．‎ ‎【解析】 由an＝3an－1＋2，得an＋1＝3(an－1＋1)(n≥2)．∵a1＝2，∴a1＋1＝3≠0，∴数列{an＋1}是以3为首项，3为公比的等比数列．∴an＋1＝3·3n－1＝3n，∴an＝3n－1.‎ ‎【答案】 3n－1‎ ‎9．数列{an}的通项公式是an＝n2－7n＋6.‎ ‎(1)这个数列的第4项是多少？‎ ‎(2)150是不是这个数列的项？若是这个数列的项，它是第几项？‎ ‎(3)该数列从第几项开始各项都是正数？‎ ‎【解析】 (1)当n＝4时，a4＝42－4×7＋6＝－6.‎ ‎(2)令an＝150，即n2－7n＋6＝150，‎ 解得n＝16或n＝－9(舍去)，‎ 即150是这个数列的第16项．‎ ‎(3)令an＝n2－7n＋6＞0，解得n＞6或n＜1(舍去)．‎ 所以从第7项起各项都是正数．‎ ‎10．(2016·天水一模)已知数列{an}中，a1＝1，且an＋an＋1＝2n.求数列{an}的通项公式．‎ ‎【解析】 ∵an＋an＋1＝2n，①‎ ‎∴an＋1＋an＋2＝2n＋1，②‎ ‎②－①，得an＋2－an＝2n，‎ 由a1＝1，a1＋a2＝2，得a2＝1.‎ 当n为奇数时，‎ an＝(an－an－2)＋(an－2－an－4)＋…＋(a3－a1)＋a1‎ ‎＝2n－2＋2n－4＋…＋2＋1‎ ‎＝×2n＋；‎ 当n为偶数时，‎ an＝(an－an－2)＋(an－2－an－4)＋…＋(a4－a2)＋a2‎ ‎＝2n－2＋2n－4＋…＋22＋1‎ ‎＝×2n－.‎ 故an＝ B组　专项能力提升 ‎(时间：20分钟)‎ ‎11．(2016·大庆质量检测)已知数列{an}满足an＋1＝an－an－1(n≥2)，a1＝1，a2＝3，记Sn＝a1＋a2＋…＋an，则下列结论正确的是(　　)‎ A．a2 017＝1，S2 017＝3　　 　B．a2 017＝2，S2 017＝1‎ C．a2 017＝2，S2 017＝3 D．a2 017＝1，S2 017＝1‎ ‎【解析】 由an＋1＝an－an－1(n≥2)，知an＋2＝an＋1－an，则an＋2＝－an－1(n≥2)，an＋3＝－an，…，an＋6＝an，所以数列{an}是周期数列，周期是6.又a1＝1，a2＝3，a3＝2，a4＝－1，a5＝－3，a6＝－2，所以a1＋a2＋a3＋a4＋a5＋a6＝0，所以a2 017＝a1＝1，S2 017＝a1＝1.‎ ‎【答案】 D ‎12．(2016·河南洛阳模拟)设数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝(n∈N*)，则通项公式是(　　)‎ A．an＝ B．an＝ C．an＝ D．an＝ ‎【解析】 设{2n－1·an}的前n项和为Tn，∵数列{an}满足a1＋2a2＋22a3＋…＋2n－1an＝(n∈N*)，‎ ‎∴Tn＝，∴2n－1an＝Tn－Tn－1＝－＝，‎ ‎∴an＝＝，经验证，n＝1时也成立，故an＝.故选C.‎ ‎【答案】 C ‎13．定义：称为n个正数P1，P2，…，Pn的“均倒数”．若数列{an}的前n项的“均倒数”为，则数列{an}的通项公式为(　　)‎ A．an＝2n－1 B．an＝4n－1‎ C．an＝4n－3 D．an＝4n－5‎ ‎【解析】 ∵＝，‎ ‎∴＝2n－1，‎ ‎∴a1＋a2＋…＋an＝(2n－1)n，‎ a1＋a2＋…＋an－1＝(2n－3)(n－1)(n≥2)，‎ 当n≥2时，an＝(2n－1)n－(2n－3)(n－1)＝4n－3；‎ a1＝1也适合此等式，∴an＝4n－3.‎ ‎【答案】 C ‎14．(2016·云南红河州统一检测)设数列{an}满足a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)(n∈N*)，则通项an＝________．‎ ‎【解析】 数列{nan}的前n项和为a1＋2a2＋3a3＋…＋nan＝n(n＋1)(n＋2)．①‎ 其前n－1项和为a1＋2a2＋3a3＋…＋(n－1)an－1‎ ‎＝(n－1)n(n＋1)．②‎ ‎①－②，得nan＝n(n＋1)[(n＋2)－(n－1)]＝3n(n＋1)，即an＝3n＋3.‎ 当n＝1时也满足上式．故an＝3n＋3.‎ ‎【答案】 3n＋3‎ ‎15．(2016·开封模拟)已知数列{an}中，an＝1＋(n∈N*，a∈R且a≠0)．‎ ‎(1)若a＝－7，求数列{an}中的最大项和最小项的值；‎ ‎(2)若对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，求a的取值范围．‎ ‎【解析】 (1)∵an＝1＋(n∈N*，a∈R，且a≠0)，‎ 又a＝－7，∴an＝1＋(n∈N*)．结合函数f(x)＝1＋的单调性，可知1＞a1＞a2＞a3＞a4，a5＞a6＞a7＞…＞an＞1(n∈N*)．‎ ‎∴数列{an}中的最大项为a5＝2，最小项为a4＝0.‎ ‎(2)an＝1＋＝1＋，‎ 已知对任意的n∈N*，都有an≤a6成立，‎ 结合函数f(x)＝1＋的单调性，‎ 可知5＜＜6，即－10＜a＜－8.‎