高科数学专题复习课件：9_1　直线的方程 62页

§9.1 　直线的方程 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 (1) 定义：当直线 l 与 x 轴相交时，取 x 轴作为基准， x 轴正向与直线 l 之间 所成的角叫做直线 l 的倾斜角 . 当直线 l 与 x 轴 时 ，规定它的倾斜角为 0°. (2) 范围：直线 l 倾斜角的范围 是 . 1. 直线的倾斜角 知识梳理 平行或重合 向上 方向 [0° ， 180°) 2. 斜率公式 (1) 若直线 l 的倾斜角 α ≠ 90° ，则斜率 k ＝ . tan α 几何画板展示 3. 直线方程的五种形式 名称 方程 适用范围 点斜式 不含直线 x ＝ x 0 斜截式 不含垂直于 x 轴的直线 两点式 ____________ 不含直线 x ＝ x 1 ( x 1 ≠ x 2 ) 和直线 y ＝ y 1 ( y 1 ≠ y 2 ) 截距式 不含垂直于坐标轴和过原点的直线 一般式 _______________________ 平面直角坐标系内的直线都适用 y － y 0 ＝ k ( x － x 0 ) y ＝ kx ＋ b Ax ＋ By ＋ C ＝ 0( A 2 ＋ B 2 ≠ 0) 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 根据直线的倾斜角的大小不能确定直线的位置 .( 　　 ) (2) 坐标平面内的任何一条直线均有倾斜角与斜率 .( 　　 ) (3) 直线的倾斜角越大，其斜率就越大 .( 　　 ) (4) 直线的斜率为 tan α ，则其倾斜角为 α .( 　　 ) (5) 斜率相等的两直线的倾斜角不一定相等 .( 　　 ) (6) 经过任意两个不同的点 P 1 ( x 1 ， y 1 ) ， P 2 ( x 2 ， y 2 ) 的直线都可以用方程 ( y － y 1 )( x 2 － x 1 ) ＝ ( x － x 1 )( y 2 － y 1 ) 表示 .( 　　 ) 思考辨析 √ × × × × √ 几何画板展示 1.(2016· 天津模拟 ) 过点 M ( － 2 ， m ) ， N ( m, 4) 的直线的斜率等于 1 ，则 m 的值 为 A.1 B.4 C.1 或 3 D.1 或 4 考点自测 答案 解析 2.(2016· 合肥一六八中学检测 ) 直线 x ＋ ( a 2 ＋ 1) y ＋ 1 ＝ 0 的倾斜角的取值范围 是 答案 解析 几何画板展示 3. 如果 A · C <0 且 B · C <0 ，那么直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 不 通过 A . 第一象限 B . 第二象限 C. 第三象限 D . 第四象限 答案 解析 由已知得直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 在 x 轴上的 截距 > 0 ，在 y 轴上的 截距 > 0 ，故直线经过第一、二、四象限，不经过第三象限 . 4.( 教材改编 ) 直线 l ： ax ＋ y － 2 － a ＝ 0 在 x 轴和 y 轴上的截距相等，则实数 a ＝ . 答案 解析 1 或－ 2 令 x ＝ 0 ，得直线 l 在 y 轴上的截距为 2 ＋ a ； 5. 过点 A (2 ，－ 3) 且在两坐标轴上的截距互为相反数的直线方程为 . 答案 解析 3 x ＋ 2 y ＝ 0 或 x － y － 5 ＝ 0 ② 当直线不过原点时，设直线方程 为 ＝ 1 ，即 x － y ＝ a ，将点 A (2 ，－ 3) 代入，得 a ＝ 5 ，即直线方程为 x － y － 5 ＝ 0. 故所求直线的方程为 3 x ＋ 2 y ＝ 0 或 x － y － 5 ＝ 0. 题型分类　深度剖析 题型一　直线的倾斜角与斜率 例 1 　 (1)(2016· 北京东城区期末 ) 已知直线 l 的倾斜角为 α ，斜率为 k ， 那么 的 A. 充分不必要条件 B. 必要不充分条件 C. 充要条件 D. 既不充分也不必要条件 答案 解析 (2) 直线 l 过点 P (1,0) ，且与以 A (2,1) ， B (0 ， ) 为端点的线段有公共点，则直线 l 斜率的取值范围为 . 答案 解析 如图， 几何画板展示 引申 探究 1. 若 将 本例 ( 2) 中 P (1,0) 改为 P ( － 1,0) ，其他条件不变，求直线 l 斜率的取值范围 . 解答 2. 若 将 本例 ( 2) 中的 B 点坐标改为 (2 ，－ 1) ，其他条件不变，求直线 l 倾斜角的范围 . 解答 如图，直线 PA 的倾斜角为 45° ， 直线 PB 的倾斜角为 135° ， 由图象知 l 的倾斜角的范围 为 [ 0° ， 45°] ∪ [135° ， 180°). 思维 升华 跟踪训练 1 　 ( 2017· 南昌 月考 ) 已知过定点 P (2,0) 的直线 l 与曲线 y ＝ 相交 于 A ， B 两点， O 为坐标原点，当 △ AOB 的面积取到最大值时，直线 l 的倾斜角 为 A.150° B.135 ° C.120° D. 不存在 答案 解析 几何画板展示 显然直线 l 的斜率存在， 设过点 P (2,0) 的直线 l 为 y ＝ k ( x － 2) ， 当且仅当 (2 k ) 2 ＝ 2 － 2 k 2 ，即 k 2 ＝ 时 等号成立， 题型二　求直线的方程 解答 由题设知，该直线的斜率存在，故可采用点斜式 . 即 x ＋ 3 y ＋ 4 ＝ 0 或 x － 3 y ＋ 4 ＝ 0. (2) 经过点 P (4,1) ，且在两坐标轴上的截距相等； 解答 设直线 l 在 x ， y 轴上的截距均为 a . 若 a ＝ 0 ，即 l 过点 (0,0) 及 (4,1) ， ∴ a ＝ 5 ， ∴ l 的方程为 x ＋ y － 5 ＝ 0. 综上可知，直线 l 的方程为 x － 4 y ＝ 0 或 x ＋ y － 5 ＝ 0. (3) 直线过点 (5,10) ，到原点的距离为 5. 解答 当斜率不存在时，所求直线方程为 x － 5 ＝ 0 ； 当斜率存在时，设其为 k ， 则所求直线方程为 y － 10 ＝ k ( x － 5) ， 即 kx － y ＋ (10 － 5 k ) ＝ 0. 故所求直线方程为 3 x － 4 y ＋ 25 ＝ 0. 综上知，所求直线方程为 x － 5 ＝ 0 或 3 x － 4 y ＋ 25 ＝ 0. 思维 升华 在求直线方程时，应先选择适当的直线方程的形式，并注意各种形式的适用条件 . 用斜截式及点斜式时，直线的斜率必须存在，而两点式不能表示与坐标轴垂直的直线，截距式不能表示与坐标轴垂直或经过原点的直线 . 故在解题时，若采用截距式，应注意分类讨论，判断截距是否为零；若采用点斜式，应先考虑斜率不存在的情况 . 跟踪训练 2 　 求适合下列条件的直线方程： (1) 经过点 P (3,2) 且在两坐标轴上的截距相等； 解答 设直线 l 在 x ， y 轴上的截距均为 a ， 若 a ＝ 0 ，即 l 过点 (0,0) 和 (3,2) ， ∴ a ＝ 5 ， ∴ l 的方程为 x ＋ y － 5 ＝ 0 ， 综上可知，直线 l 的方程为 2 x － 3 y ＝ 0 或 x ＋ y － 5 ＝ 0. 解答 又直线经过点 A ( － 1 ，－ 3) ， 即 3 x ＋ 4 y ＋ 15 ＝ 0. 解答 (3) 过点 A (1 ，－ 1) 与已知直线 l 1 ： 2 x ＋ y － 6 ＝ 0 相交于 B 点且 | AB | ＝ 5. 过点 A (1 ，－ 1) 与 y 轴平行的直线为 x ＝ 1. 求得 B 点坐标为 (1,4) ，此时 | AB | ＝ 5 ， 即 x ＝ 1 为所求 . 设过 A (1 ，－ 1) 且与 y 轴不平行的直线 为 y ＋ 1 ＝ k ( x － 1) ， 即 3 x ＋ 4 y ＋ 1 ＝ 0. 综上可知，所求直线方程为 x ＝ 1 或 3 x ＋ 4 y ＋ 1 ＝ 0. 题型三　直线方程的综合应用 命题点 1 　与基本不等式相结合求最值问题 例 3 　 已知直线 l 过点 P (3,2) ，且与 x 轴、 y 轴的正半轴分别交于 A 、 B 两点，如图所示，求 △ ABO 的面积的最小值及此时直线 l 的方程 . 解 答 方法二 　依题意知，直线 l 的斜率 k 存在且 k <0. 则直线 l 的方程为 y － 2 ＝ k ( x － 3)( k <0) ， 即 △ ABO 的面积的最小值为 12. 故所求直线的方程为 2 x ＋ 3 y － 12 ＝ 0. 例 4 　已知直线 l 1 ： ax － 2 y ＝ 2 a － 4 ， l 2 ： 2 x ＋ a 2 y ＝ 2 a 2 ＋ 4 ，当 0 ＜ a ＜ 2 时，直线 l 1 ， l 2 与两坐标轴围成一个四边形，当四边形的面积最小时，求实数 a 的值 . 命题点 2 　由直线方程解决参数问题 解答 由题意知直线 l 1 ， l 2 恒过定点 P (2,2) ，直线 l 1 在 y 轴上的截距为 2 － a ，直线 l 2 在 x 轴上的截距为 a 2 ＋ 2 ， 思维 升华 与直线方程有关问题的常见类型及解题策略 (1) 求解与直线方程有关的最值问题 . 先设出直线方程，建立目标函数，再利用基本不等式求解最值 . (2) 求直线方程 . 弄清确定直线的两个条件，由直线方程的几种特殊形式直接写出方程 . (3) 求参数值或范围 . 注意点在直线上，则点的坐标适合直线的方程，再结合函数的单调性或基本不等式求解 . 跟踪训练 3 　 (2016· 潍坊模拟 ) 直线 l 过点 P (1,4) ，分别交 x 轴的正半轴和 y 轴的正半轴于 A ， B 两点， O 为坐标原点，当 | OA | ＋ | OB | 最小时，求直线 l 的方程 . 解答 依题意，直线 l 的斜率存在且斜率为负， 设直线 l 的斜率为 k ，则 直线 l 的方程为 y － 4 ＝ k ( x － 1)( k <0). 令 x ＝ 0 ，可得 B (0,4 － k ). 即 k ＝－ 2 时， | OA | ＋ | OB | 取最小值 . 这时直线 l 的方程为 2 x ＋ y － 6 ＝ 0. 典例 　设直线 l 的方程为 ( a ＋ 1) x ＋ y ＋ 2 － a ＝ 0( a ∈ R ). (1) 若 l 在两坐标轴上的截距相等，求直线 l 的方程； (2) 若 l 在两坐标轴上的截距互为相反数，求 a . 求 与截距有关的直线方程 现场纠错系列 11 在求与截距有关的直线方程时，注意对直线的截距是否为零进行分类讨论，防止忽视截距为零的情形，导致产生漏解 . 错解展示 现场纠错 纠错心得 返回 解 　 (1) 当直线过原点时，该直线在 x 轴和 y 轴上的截距为零， ∴ a ＝ 2 ，方程即为 3 x ＋ y ＝ 0. 当直线不经过原点时，截距存在且均不为 0. ∴ a ＝ 0 ，方程即为 x ＋ y ＋ 2 ＝ 0. 综上，直线 l 的方程为 3 x ＋ y ＝ 0 或 x ＋ y ＋ 2 ＝ 0. ∴ a ＝ 2 或 a ＝－ 2. 返回 课时作业 1.(2016· 北京顺义区检测 ) 若直线 y ＝－ 2 x ＋ 3 k ＋ 14 与直线 x － 4 y ＝－ 3 k － 2 的交点位于第四象限，则实数 k 的取值范围 是 A. － 6< k < － 2 B . － 5< k < － 3 C. k < － 6 D. k > － 2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 因为直线 y ＝－ 2 x ＋ 3 k ＋ 14 与直线 x － 4 y ＝－ 3 k － 2 的交点位于第四象限， 所以 k ＋ 6>0 且 k ＋ 2<0 ，所以－ 6< k < － 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2.(2016· 威海模拟 ) 过点 (2,1) 且倾斜角比直线 y ＝－ x － 1 的倾斜角 小 的 直线方程 是 A. x ＝ 2 B. y ＝ 1 C. x ＝ 1 D. y ＝ 2 √ 答案 解析 ∴ 斜率不存在， ∴ 过点 (2,1) 的所求直线方程为 x ＝ 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3.(2016· 合肥检测 ) 已知点 A 在直线 x ＋ 2 y － 1 ＝ 0 上，点 B 在直线 x ＋ 2 y ＋ 3 ＝ 0 上，线段 AB 的中点为 P ( x 0 ， y 0 ) ，且满足 y 0 > x 0 ＋ 2 ， 则 的 取值范围 为 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∵ AB 的中点为 P ( x 0 ， y 0 ) ， ∴ B (2 x 0 － x 1, 2 y 0 － y 1 ). ∵ A ， B 分别在直线 x ＋ 2 y － 1 ＝ 0 和 x ＋ 2 y ＋ 3 ＝ 0 上， ∴ x 1 ＋ 2 y 1 － 1 ＝ 0,2 x 0 － x 1 ＋ 2(2 y 0 － y 1 ) ＋ 3 ＝ 0 ， ∴ 2 x 0 ＋ 4 y 0 ＋ 2 ＝ 0 ，即 x 0 ＋ 2 y 0 ＋ 1 ＝ 0. 又 y 0 > x 0 ＋ 2 ， ∴ kx 0 > x 0 ＋ 2 ，即 ( k － 1) x 0 >2 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 已知两点 M (2 ，－ 3) ， N ( － 3 ，－ 2) ，直线 l 过点 P (1,1) 且与线段 MN 相交，则直线 l 的斜率 k 的取值范围 是 √ 答案 解析 如图所示， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∴ 要使直线 l 与线段 MN 相交， 当 l 的倾斜角小于 90° 时， k ≥ k PN ； 当 l 的倾斜角大于 90° 时， k ≤ k PM ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 直线 ax ＋ by ＋ c ＝ 0 同时要经过第一、二、四象限，则 a ， b ， c 应 满足 A. ab >0 ， bc <0 B. ab >0 ， bc >0 C. ab <0 ， bc >0 D. ab <0 ， bc <0 √ 答案 解析 由于直线 ax ＋ by ＋ c ＝ 0 经过第一、二、四象限， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 6. 如图中的直线 l 1 ， l 2 ， l 3 的斜率分别为 k 1 ， k 2 ， k 3 ，则 A. k 1 ＜ k 2 ＜ k 3 B. k 3 ＜ k 1 ＜ k 2 C. k 3 ＜ k 2 ＜ k 1 D. k 1 ＜ k 3 ＜ k 2 √ 答案 解析 直线 l 1 的倾斜角 α 1 是钝角，故 k 1 ＜ 0 ，直线 l 2 与 l 3 的倾斜角 α 2 与 α 3 均为锐角且 α 2 ＞ α 3 ，所以 0 ＜ k 3 ＜ k 2 ，因此 k 1 ＜ k 3 ＜ k 2 ，故选 D. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7. 已知 A (3,0) ， B (0,4) ，直线 AB 上一动点 P ( x ， y ) ，则 xy 的最大值是 . 答案 解析 3 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8.(2016· 潍坊模拟 ) 直线 l 过点 ( － 2,2) 且与 x 轴， y 轴分别交于点 ( a, 0) ， (0 ， b ) ，若 | a | ＝ | b | ，则直线 l 的方程为 . 答案 解析 x ＋ y ＝ 0 或 x － y ＋ 4 ＝ 0 若 a ＝ b ＝ 0 ，则直线 l 过点 (0,0) 与 ( － 2,2) ， 直线 l 的斜率 k ＝－ 1 ，直线 l 的方程为 y ＝－ x ，即 x ＋ y ＝ 0. 此时，直线 l 的方程为 x － y ＋ 4 ＝ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 设点 A ( － 1,0) ， B (1,0) ，直线 2 x ＋ y － b ＝ 0 与线段 AB 相交，则 b 的取值范围是 . 答案 解析 [ － 2,2] b 为直线 y ＝－ 2 x ＋ b 在 y 轴上的截距， 如图，当直线 y ＝－ 2 x ＋ b 过点 A ( － 1,0 ) 和 点 B (1,0) 时 ， b 分别取得最小值和最大值 . ∴ b 的取值范围是 [ － 2,2 ]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10.(2016· 山师大附中模拟 ) 函数 y ＝ a 1 － x ( a >0 ， a ≠ 1) 的图象恒过定点 A ，若点 A 在 mx ＋ ny － 1 ＝ 0( mn >0) 上， 则 的 最小值为 . 答案 解析 ∵ 函数 y ＝ a 1 － x ( a >0 ， a ≠ 1) 的图象恒过定点 A (1,1). ∴ 把 A (1,1) 代入直线方程得 m ＋ n ＝ 1( mn >0). 4 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11.(2016· 太原模拟 ) 已知两点 A ( － 1,2) ， B ( m, 3). (1) 求直线 AB 的方程； 解 答 当 m ＝－ 1 时，直线 AB 的方程为 x ＝－ 1 ， 即 x － ( m ＋ 1) y ＋ 2 m ＋ 3 ＝ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 已知点 P (2 ，－ 1). (1) 求过点 P 且与原点的距离为 2 的直线 l 的方程； 解 答 过点 P 的直线 l 与原点的距离为 2 ，而点 P 的坐标为 (2 ，－ 1) ，显然，过点 P (2 ，－ 1) 且垂直于 x 轴的直线满足条件， 此时直线 l 的斜率不存在，其方程为 x ＝ 2. 若斜率存在，设 l 的方程为 y ＋ 1 ＝ k ( x － 2) ， 即 kx － y － 2 k － 1 ＝ 0. 此时 l 的方程为 3 x － 4 y － 10 ＝ 0. 综上可得直线 l 的方程为 x ＝ 2 或 3 x － 4 y － 10 ＝ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 求过点 P 且与原点的距离最大的直线 l 的方程，最大距离是多少？ 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 作图可得过点 P 与原点 O 的距离最大的直线是过点 P 且与 PO 垂直的直线，如图所示 . 由 l ⊥ OP ，得 k l k OP ＝－ 1 ， 由直线方程的点斜式， 得 y ＋ 1 ＝ 2( x － 2) ， 即 2 x － y － 5 ＝ 0. 所以直线 2 x － y － 5 ＝ 0 是过点 P 且与原点 O 的距离最大的直线，最大距离为 ＝ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3) 是否存在过点 P 且与原点的距离为 6 的直线？若存在，求出方程；若不存在，请说明理由 . 解 答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *13. 如图，射线 OA 、 OB 分别与 x 轴正半轴成 45° 和 30° 角，过点 P (1,0) 作直线 AB 分别交 OA 、 OB 于 A 、 B 两点，当 AB 的中点 C 恰好落在直线 y ＝ x 上时，求直线 AB 的方程 . 解 答 由题意可得 k OA ＝ tan 45° ＝ 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13