高科数学专题复习课件：第九章 9_9 第2课时圆锥曲线的综合问题 71页

§9.9 　 圆锥曲线的综合问题 第 2 课时　范围、最值问题 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 题型分类　深度剖析 例 1 　 (2015· 天津 ) 已知 椭圆 ＝ 1( a ＞ b ＞ 0) 的左焦点为 F ( － c, 0) ，离心率 为 ， 点 M 在椭圆上且位于第一象限，直线 FM 被圆 x 2 ＋ y 2 ＝ 截 得的线段的长为 c ， | FM | ＝ . 题型一　范围问题 解答 (1) 求直线 FM 的斜率； 几何画板展示 又由 a 2 ＝ b 2 ＋ c 2 ，可得 a 2 ＝ 3 c 2 ， b 2 ＝ 2 c 2 . 设直线 FM 的斜率为 k ( k ＞ 0) ， F ( － c, 0) ，则直线 FM 的方程为 y ＝ k ( x ＋ c ). (2) 求椭圆的方程； 解答 几何画板展示 (3) 设动点 P 在椭圆上，若直线 FP 的斜率 大于 ， 求直线 OP ( O 为原点 ) 的斜率的取值范围 . 解答 几何画板展示 设点 P 的坐标为 ( x ， y ) ，直线 FP 的斜率为 t ， ② 当 x ∈ ( － 1,0) 时，有 y ＝ t ( x ＋ 1) ＞ 0. 思维 升华 解决圆锥曲线中的取值范围问题应考虑的五个方面 (1) 利用圆锥曲线的几何性质或判别式构造不等关系，从而确定参数的取值范围； (2) 利用已知参数的范围，求新参数的范围，解这类问题的核心是建立两个参数之间的等量关系； (3) 利用隐含的不等关系建立不等式，从而求出参数的取值范围； (4) 利用已知的不等关系构造不等式，从而求出参数的取值范围； (5) 利用求函数的值域的方法将待求量表示为其他变量的函数，求其值域，从而确定参数的取值范围 . 跟踪训练 1 　 (2016· 黄冈模拟 ) 已知椭圆 C ： ＝ 1( a > b >0) 与 双曲线 － y 2 ＝ 1 的离心率互为倒数，且直线 x － y － 2 ＝ 0 经过椭圆的右顶点 . (1) 求椭圆 C 的标准方程； 解答 又 ∵ 直线 x － y － 2 ＝ 0 经过椭圆的右顶点， (2) 设不过原点 O 的直线与椭圆 C 交于 M ， N 两点，且直线 OM ， MN ， ON 的斜率依次成等比数列，求 △ OMN 面积的取值范围 . 解答 由题意可设直线的方程为 y ＝ kx ＋ m ( k ≠ 0 ， m ≠ 0) ， M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ). 消去 y ，并整理得 (1 ＋ 4 k 2 ) x 2 ＋ 8 kmx ＋ 4( m 2 － 1) ＝ 0 ， 于是 y 1 y 2 ＝ ( kx 1 ＋ m )( kx 2 ＋ m ) ＝ k 2 x 1 x 2 ＋ km ( x 1 ＋ x 2 ) ＋ m 2 . 又直线 OM ， MN ， ON 的斜率依次成等比数列， 又由 Δ ＝ 64 k 2 m 2 － 16(1 ＋ 4 k 2 )( m 2 － 1) ＝ 16(4 k 2 － m 2 ＋ 1)>0 ，得 0< m 2 <2 ， 显然 m 2 ≠ 1( 否则 x 1 x 2 ＝ 0 ， x 1 ， x 2 中至少有一个为 0 ，直线 OM ， ON 中至少有一个斜率不存在，与已知矛盾 ). 设原点 O 到直线的距离为 d ， 故由 m 的取值范围可得 △ OMN 面积的取值范围为 (0,1). 题型二　最值问题 例 2 　 (2016· 锦州模拟 ) 过抛物线 y 2 ＝ 4 x 的焦点 F 的直线交抛物线于 A ， B 两点，点 O 是坐标原点，则 | AF |·| BF | 的最小值是 命题点 1 　利用三角函数有界性求最值 答案 解析 几何画板展示 例 3 　 (2015· 江苏 ) 在平面直角坐标系 xOy 中， P 为双曲线 x 2 － y 2 ＝ 1 右支上的一个动点 . 若点 P 到直线 x － y ＋ 1 ＝ 0 的距离大于 c 恒成立，则实数 c 的最大值为 ____. 命题点 2 　数形结合利用几何性质求最值 答案 解析 几何画板展示 例 4 　 (2016· 山东 ) 如图， 已知 椭圆 C ： ＝ 1 ( a ＞ b ＞ 0) 的长轴长为 4 ，焦距为 2 . 命题点 3 　转化为函数利用基本不等式或二次函数求最值 解答 (1) 求椭圆 C 的方程； 设椭圆的半焦距为 c . 证明 设 P ( x 0 ， y 0 )( x 0 ＞ 0 ， y 0 ＞ 0). 由 M (0 ， m ) ，可得 P ( x 0, 2 m ) ， Q ( x 0 ，－ 2 m ). 解答 ② 求直线 AB 的斜率的最小值 . 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ). 直线 PA 的方程为 y ＝ kx ＋ m . 直线 QB 的方程为 y ＝－ 3 kx ＋ m . 整理得 (2 k 2 ＋ 1) x 2 ＋ 4 mkx ＋ 2 m 2 － 4 ＝ 0 ， 由 m ＞ 0 ， x 0 ＞ 0 ，可知 k ＞ 0 ， 思维 升华 处理圆锥曲线最值问题的求解方法 圆锥曲线中的最值问题类型较多，解法灵活多变，但总体上主要有两种方法：一是利用几何法，即通过利用曲线的定义、几何性质以及平面几何中的定理、性质等进行求解；二是利用代数法，即把要求最值的几何量或代数表达式表示为某个 ( 些 ) 参数的函数 ( 解析式 ) ，然后利用函数方法、不等式方法等进行求解 . 跟踪训练 2 　 (2017· 开封 月考 ) 已知圆 ( x － a ) 2 ＋ ( y ＋ 1 － r ) 2 ＝ r 2 ( r >0) 过点 F (0,1) ，圆心 M 的轨迹为 C . (1) 求轨迹 C 的方程； 解答 依题意，由圆过定点 F 可知轨迹 C 的方程为 x 2 ＝ 4 y . 几何画板展示 (2) 设 P 为直线 l ： x － y － 2 ＝ 0 上的点，过点 P 作曲线 C 的两条切线 PA ， PB ，当点 P ( x 0 ， y 0 ) 为直线 l 上的定点时，求直线 AB 的方程； 解答 几何画板展示 同理可得切线 PB 的方程为 x 2 x － 2 y － 2 y 2 ＝ 0. 因为切线 PA ， PB 均过点 P ( x 0 ， y 0 ) ， 所以 x 1 x 0 － 2 y 0 － 2 y 1 ＝ 0 ， x 2 x 0 － 2 y 0 － 2 y 2 ＝ 0 ， 所以 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) 为方程 x 0 x － 2 y 0 － 2 y ＝ 0 的两组解 . 所以直线 AB 的方程为 x 0 x － 2 y － 2 y 0 ＝ 0. (3) 当点 P 在直线 l 上移动时，求 | AF |·| BF | 的最小值 . 解答 由抛物线定义可知 | AF | ＝ y 1 ＋ 1 ， | BF | ＝ y 2 ＋ 1 ， 所以 | AF |·| BF | ＝ ( y 1 ＋ 1)( y 2 ＋ 1) ＝ y 1 y 2 ＋ ( y 1 ＋ y 2 ) ＋ 1 ， 又点 P ( x 0 ， y 0 ) 在直线 l 上，所以 x 0 ＝ y 0 ＋ 2 ， 课时作业 1.(2016· 昆明两区七校调研 ) 过抛物线 y 2 ＝ x 的焦点 F 的直线 l 交抛物线于 A ， B 两点，且直线 l 的倾斜角 θ ≥ ， 点 A 在 x 轴上方，则 | FA | 的取值范围是 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 根据勾股定理，求 | MP | 的最小值可以转化为求 | OP | 的最小值，当 | OP | 取得最小值时，点 P 的位置为双曲线的顶点 (±3,0) ，而双曲线的渐近线为 4 x ±3 y ＝ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 3. 已知 F 1 ， F 2 分别是 双曲线 ＝ 1( a >0 ， b >0) 的左，右焦点，对于左支上任意一点 P 都有 | PF 2 | 2 ＝ 8 a | PF 1 |( a 为实半轴长 ) ，则此双曲线的离心率 e 的取值范围是 √ 答案 解析 A.(1 ，＋ ∞ ) B .( 2,3] C .(1,3] D.(1,2] 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由 P 是双曲线左支上任意一点及双曲线的定义， 所以 | PF 1 | ＝ 2 a ， | PF 2 | ＝ 4 a ， 在 △ PF 1 F 2 中， | PF 1 | ＋ | PF 2 | ≥ | F 1 F 2 | ， 又 e >1 ，所以 1< e ≤ 3. 故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 4.(2016· 成都质检 ) 若点 O 和点 F 分别为 椭圆 ＝ 1 的中点和左焦点，点 P 为椭圆上的任意一点， 则 的 最小值为 _____. 答案 解析 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 ∴ 由条件知 m ＋ 2 ＋ n ＝ m － n ，则 n ＝－ 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 6. 已知双曲线 C 的两个焦点分别为 F 1 ( － 2 ， 0) ， F 2 (2,0) ，双曲线 C 上一点 P 到 F 1 ， F 2 的距离差的绝对值等于 2. (1) 求双曲线 C 的标准方程； 解答 依题意，得双曲线 C 的实半轴长为 a ＝ 1 ， 又其焦点在 x 轴上，所以双曲线 C 的标准方程为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2) 经过点 M (2,1) 作直线 l 交双曲线 C 的右支于 A ， B 两点，且 M 为 AB 的中点，求直线 l 的方程； 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 设 A ， B 的坐标分别为 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) ， 两式相减，得 3( x 1 － x 2 )( x 1 ＋ x 2 ) － ( y 1 － y 2 )( y 1 ＋ y 2 ) ＝ 0. 因为 M (2,1) 为 AB 的中点， 所以 12( x 1 － x 2 ) － 2( y 1 － y 2 ) ＝ 0 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 故 AB 所在直线 l 的方程为 y － 1 ＝ 6( x － 2) ， 即 6 x － y － 11 ＝ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (3) 已知定点 G (1,2) ，点 D 是双曲线 C 右支上的动点，求 | DF 1 | ＋ | DG | 的最小值 . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 由已知，得 | DF 1 | － | DF 2 | ＝ 2 ， 即 | DF 1 | ＝ | DF 2 | ＋ 2 ， 所以 | DF 1 | ＋ | DG | ＝ | DF 2 | ＋ | DG | ＋ 2 ≥ | GF 2 | ＋ 2 ， 当且仅当 G ， D ， F 2 三点共线时取等号， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 7. 已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为 (2,0) ，右顶点为 ( ， 0). (1) 求双曲线 C 的方程； 解答 又 a 2 ＋ b 2 ＝ c 2 ，得 b 2 ＝ 1 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2) 若直线： y ＝ kx ＋ m ( k ≠ 0 ， m ≠ 0) 与双曲线 C 交于不同的两点 M ， N ，且线段 MN 的垂直平分线过点 A (0 ，－ 1) ，求实数 m 的取值范围 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解答 整理得 (1 － 3 k 2 ) x 2 － 6 kmx － 3 m 2 － 3 ＝ 0. ∵ 直线与双曲线有两个不同的交点， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 设 M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ) ， MN 的中点为 B ( x 0 ， y 0 ) ， 由题意， AB ⊥ MN ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 整理得 3 k 2 ＝ 4 m ＋ 1 ， ② 将 ② 代入 ① ，得 m 2 － 4 m >0 ， ∴ m <0 或 m >4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (1) 求椭圆 C 1 的方程； 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2) 设点 P 在抛物线 C 2 ： y ＝ x 2 ＋ h ( h ∈ R ) 上， C 2 在点 P 处的切线与 C 1 交于点 M ， N . 当线段 AP 的中点与 MN 的中点的横坐标相等时，求 h 的最小值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解答 如图，设 M ( x 1 ， y 1 ) ， N ( x 2 ， y 2 ) ， P ( t ， t 2 ＋ h ) ， 直线 MN 的方程为 y ＝ 2 tx － t 2 ＋ h . 将上式代入椭圆 C 1 的方程中，得 4 x 2 ＋ (2 tx － t 2 ＋ h ) 2 － 4 ＝ 0 ， 即 4(1 ＋ t 2 ) x 2 － 4 t ( t 2 － h ) x ＋ ( t 2 － h ) 2 － 4 ＝ 0 . ① 因为直线 MN 与椭圆 C 1 有两个不同的交点 ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 所以 ① 式中的 Δ 1 ＝ 16 [ － t 4 ＋ 2( h ＋ 2) t 2 － h 2 ＋ 4 ] >0. ② 设线段 MN 的中点的横坐标是 x 3 ， 由题意，得 x 3 ＝ x 4 ， 即 t 2 ＋ (1 ＋ h ) t ＋ 1 ＝ 0 . ③ 由 ③ 式中的 Δ 2 ＝ (1 ＋ h ) 2 － 4 ≥ 0 ，得 h ≥ 1 或 h ≤ － 3 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 当 h ≤ － 3 时， h ＋ 2<0,4 － h 2 <0 ， 则不等式 ② 不成立，所以 h ≥ 1. 当 h ＝ 1 时，代入方程 ③ 得 t ＝－ 1 ， 将 h ＝ 1 ， t ＝－ 1 代入不等式 ② ，检验成立 . 所以， h 的最小值为 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解答 (1) 求 C 1 ， C 2 的方程； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 1 2 3 4 5 6 7 8 9 (2) 过 F 1 作 C 1 的不垂直于 y 轴的弦 AB ， M 为 AB 的中点，当直线 OM 与 C 2 交于 P ， Q 两点时，求四边形 APBQ 面积的最小值 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 解答 因为 AB 不垂直于 y 轴，且过点 F 1 ( － 1,0) ， 故可设直线 AB 的方程为 x ＝ my － 1. 易知此方程的判别式大于 0. 设 A ( x 1 ， y 1 ) ， B ( x 2 ， y 2 ) ， 则 y 1 ， y 2 是上述方程的两个实根， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 即 mx ＋ 2 y ＝ 0. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 设点 A 到直线 PQ 的距离为 d ， 则点 B 到直线 PQ 的距离也为 d ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 因为点 A ， B 在直线 mx ＋ 2 y ＝ 0 的异侧， 所以 ( mx 1 ＋ 2 y 1 )( mx 2 ＋ 2 y 2 )<0 ， 于是 | mx 1 ＋ 2 y 1 | ＋ | mx 2 ＋ 2 y 2 | ＝ | mx 1 ＋ 2 y 1 － mx 2 － 2 y 2 | ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 而 0<2 － m 2 ≤ 2 ，故当 m ＝ 0 时， S 取得最小值 2. 综上所述，四边形 APBQ 面积的最小值为 2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9