高科数学专题复习课件：7_3　二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 87页

§7.3 　二元一次不等式 ( 组 ) 与简单 的线性规划问题 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 (1) 一般地，二元一次不等式 Ax ＋ By ＋ C >0 在平面直角坐标系中表示直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 某一侧所有点组成 的 . 我们把直线画成虚线以表示 区域 边界 直线 . 当我们在坐标系中画不等式 Ax ＋ By ＋ C ≥ 0 所表示的平面区域时，此区域 应 边界 直线，则把边界直线画 成 . (2) 由于对直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 同一侧的所有点 ( x ， y ) ，把它的坐标 ( x ， y ) 代入 Ax ＋ By ＋ C ，所得的符号 都 ， 所以只需在此直线的同一侧取一个特殊点 ( x 0 ， y 0 ) 作为测试点，由 Ax 0 ＋ By 0 ＋ C 的 即 可判断 Ax ＋ By ＋ C >0 表示的直线是 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 哪一侧的平面区域 . 1. 二元一次不等式表示的平面区域 知识梳理 平面区域 不包括 实线 包括 符号 相同 2. 线性规划相关概念 名称 意义 约束条件 由变量 x ， y 组成的一次不等式 线性约束条件 由 x ， y 的 不等式 ( 或方程 ) 组成的不等式组 目标函数 欲求 或 的 函数 线性目标函数 关于 x ， y 的 解析 式 一次 最大值 最小值 一次 可行解 满足 的 解 可行域 所有 组成 的集合 最优解 使目标函数 取得 或 的 可行解 线性规划问题 在线性约束条件下求线性目标函数 的 或 问题 线性约束条件 可行解 最大值 最小值 最大值 最小值 画二元一次不等式表示的平面区域的直线定界，特殊点定域： (1) 直线定界：不等式中无等号时直线画成虚线，有等号时直线画成实线； (2) 特殊点定域：若直线不过原点，特殊点常选原点；若直线过原点，则特殊点常选取 (0,1) 或 (1,0) 来验证 . 3. 重要结论 1. 利用 “ 同号上，异号下 ” 判断二元一次不等式表示的平面 区域 对于 Ax ＋ By ＋ C >0 或 Ax ＋ By ＋ C <0 ，则有 (1) 当 B ( Ax ＋ By ＋ C )>0 时，区域为直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的上方； (2) 当 B ( Ax ＋ By ＋ C )<0 时，区域为直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的下方 . 2. 最优解和可行解的 关系 最优解必定是可行解，但可行解不一定是最优解 . 最优解不一定唯一，有时唯一，有时有多个 . 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 二元一次不等式组所表示的平面区域是各个不等式所表示的平面区域的交集 .( 　　 ) (2) 不等式 Ax ＋ By ＋ C >0 表示的平面区域一定在直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 的上方 .( 　　 ) (3) 点 ( x 1 ， y 1 ) ， ( x 2 ， y 2 ) 在直线 Ax ＋ By ＋ C ＝ 0 同侧的充要条件是 ( Ax 1 ＋ By 1 ＋ C )( Ax 2 ＋ By 2 ＋ C )>0 ，异侧的充要条件是 ( Ax 1 ＋ By 1 ＋ C )( Ax 2 ＋ By 2 ＋ C )<0.( 　　 ) 思考辨析 √ × √ (4) 第二、四象限表示的平面区域可以用不等式 xy <0 表示 .( 　　 ) (5) 线性目标函数的最优解是唯一的 .( 　　 ) (6) 最优解指的是使目标函数取得最大值或最小值的可行解 .( 　　 ) (7) 目标函数 z ＝ ax ＋ by ( b ≠ 0) 中， z 的几何意义是直线 ax ＋ by － z ＝ 0 在 y 轴上的截距 .( 　　 ) √ × √ × 1. 下列各点中，不在 x ＋ y － 1 ≤ 0 表示的平面区域内的 是 A .(0,0) B.( － 1,1) C.( － 1,3) D .(2 ，－ 3) 考点自测 答案 解析 把各点的坐标代入可得 ( － 1,3) 不适合，故选 C. 答案 解析 用特殊点代入，比如 (0,0) ，容易判断为 C. A.0 B.3 C.4 D.5 答案 解析 不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示 . 令 z ＝ 2 x ＋ y ，则 y ＝－ 2 x ＋ z ，作直线 2 x ＋ y ＝ 0 并平移，当直线过点 A 时，截距最大，即 z 取得最大值， 几何画板展示 答案 解析 0 画出可行域为阴影部分 . z ＝－ 3 x ＋ y ，即 y ＝ 3 x ＋ z 过交点 A 时， z 最小 . 几何画板展示 5.( 教材改编 ) 投资生产 A 产品时，每生产 100 吨需要资金 200 万元，需场地 200 平方米；投资生产 B 产品时，每生产 100 吨需要资金 300 万元，需场地 100 平方米 . 现某单位可使用资金 1 400 万元，场地 900 平方米，则 上 述 要求可用不等式组表示为 __________________( 用 x ， y 分别表示 生产 A ， B 产品的吨数， x 和 y 的单位是百吨 ). 答案 解析 用表格列出各数据   A B 总数 产品吨数 x y   资金 200 x 300 y 1 400 场地 200 x 100 y 900 所以不难看出， x ≥ 0 ， y ≥ 0,200 x ＋ 300 y ≤ 1 400,200 x ＋ 100 y ≤ 900. 题型分类　深度剖析 例 1 　 (1) 不等式 ( x － 2 y ＋ 1)( x ＋ y － 3) ≤ 0 在坐标平面内表示的区域 ( 用阴影部分表示 ) ，应是下列图形中的 题型一　二元一次不等式 ( 组 ) 表示的平面区域 命题点 1 　不含参数的平面区域问题 答案 解析 答案 解析 命题点 2 　含参数的平面区域问题 答案 解析 又 ∵ 当 m ＝－ 3 时，不满足题意，应舍去， ∴ m ＝ 1. 答案 解析 几何画板展示 不等式组表示的平面区域如图所示 . 思维 升华 (1) 求平面区域的面积： ① 首先画出不等式组表示的平面区域，若不能直接画出，应利用题目的已知条件转化为不等式组问题，从而再作出平面区域； ② 对平面区域进行分析，若为三角形应确定底与高，若为规则的四边形 ( 如平行四边形或梯形 ) ，可利用面积公式直接求解，若为不规则四边形，可分割成几个三角形分别求解再求和即可 . (2) 利用几何意义求解的平面区域问题，也应作出平面图形，利用数形结合的方法去求解 . 答案 解析 几何画板展示 由图可知，当 m ≤ 1 时， 函数 y ＝ 2 x 的图象上存在点 ( x ， y ) 满足约束条件， 故 m 的最大值为 1. A.1 B. － 1 C.0 D. － 2 答案 解析 由于 x ＝ 1 与 x ＋ y － 4 ＝ 0 不可能垂直，所以只可能 x ＋ y － 4 ＝ 0 与 kx － y ＝ 0 垂直或 x ＝ 1 与 kx － y ＝ 0 垂直 . ① 当 x ＋ y － 4 ＝ 0 与 kx － y ＝ 0 垂直时， k ＝ 1 ，检验知三角形区域面积为 1 ，即符合要求 . ② 当 x ＝ 1 与 kx － y ＝ 0 垂直时， k ＝ 0 ，检验不符合要求 . 题型二　求目标函数的最值问题 命题点 1 　求线性目标函数的最值 答案 解析 命题点 2 　求非线性目标函数的最值 解答 几何画板展示 如图中阴影部分所示 . ∴ z 的取值范围是 [2 ，＋ ∞ ). (2) 若 z ＝ x 2 ＋ y 2 ，求 z 的最大值与最小值，并求 z 的取值范围 . 解答 z ＝ x 2 ＋ y 2 表示可行域内的任意一点与坐标原点之间距离的平方 . 因此 x 2 ＋ y 2 的最小值为 OA 2 ，最大值为 OB 2 . ∴ z 的取值范围是 [1,5]. 引申 探究 解答 ∴ z 的取值范围是 ( － ∞ ， 0]. 2. 若 z ＝ x 2 ＋ y 2 － 2 x － 2 y ＋ 3. 求 z 的最大值、最小值 . 解答 z ＝ x 2 ＋ y 2 － 2 x － 2 y ＋ 3 ＝ ( x － 1) 2 ＋ ( y － 1) 2 ＋ 1 ， 命题点 3 　求参数值或取值范围 5 答案 解析 显然，当 m <2 时，不等式组表示的平面区域是空集； 当 m ＝ 2 时，不等式组表示的平面区域只包含一个点 A (1,1). 此时 z min ＝ 1 － 1 ＝ 0 ≠ － 1. 显然都不符合题意 . 平面区域为一个三角形区域， 由图可知，当直线 y ＝ x － z 经过点 C 时， z 取得最小值， 答案 解析 作出不等式组表示的可行域，如图 ( 阴影部分 ). 思维 升华 (1) 先准确作出可行域，再借助目标函数的几何意义求目标函数的最值 . (2) 当目标函数是非线性的函数时 ， 常利用目标函数的几何意义来解题， (3) 当目标函数中含有参数时，要根据临界位置确定参数所满足的条件 . 答案 解析 A. － 2 B. － 1 C.1 D.2 对于选项 A ，当 m ＝－ 2 时，可行域如图 ① ，直线 y ＝ 2 x － z 的截距可以无限小， z 不存在最大值，不符合题意，故 A 不正确； 对于选项 B ，当 m ＝－ 1 时， mx － y ≤ 0 等同于 x ＋ y ≥ 0 ，可行域如图 ② ，直线 y ＝ 2 x － z 的截距可以无限小， z 不存在最大值，不符合题意，故 B 不正确 ； 对于 选项 C ，当 m ＝ 1 时，可行域如图 ③ ，当直线 y ＝ 2 x － z 过点 A (2,2) 时截距最小， z 最大为 2 ，满足题意，故 C 正确； 对于选项 D ，当 m ＝ 2 时，可行域如图 ④ ，直线 y ＝ 2 x － z 与直线 OB 平行，截距最小值为 0 ， z 最大为 0 ，不符合题意，故 D 不正确 . 答案 解析 题型三　线性规划的实际应用问题 例 6 　某玩具生产公司每天计划生产卫兵、骑兵、伞兵这三种玩具共 100 个，生产一个卫兵需 5 分钟，生产一个骑兵需 7 分钟，生产一个伞兵需 4 分钟，已知总生产时间不超过 10 小时 . 若生产一个卫兵可获利润 5 元，生产一个骑兵可获利润 6 元，生产一个伞兵可获利润 3 元 . (1) 试用每天生产的卫兵个数 x 与骑兵个数 y 表示每天的利润 ω ( 元 ) ； 解答 依题意每天生产的伞兵个数为 100 － x － y ， 所以利润 ω ＝ 5 x ＋ 6 y ＋ 3(100 － x － y ) ＝ 2 x ＋ 3 y ＋ 300. (2) 怎样分配生产任务才能使每天的利润最大，最大利润是多少？ 解答 目标函数为 ω ＝ 2 x ＋ 3 y ＋ 300 ， 作出可行域，如图所示， 作初始直线 l 0 ： 2 x ＋ 3 y ＝ 0 ，平移 l 0 ，当 l 0 经过点 A 时， ω 有最大值， ∴ 最优解为 A (50,50) ，此时 ω max ＝ 550 元 . 故每天生产卫兵 50 个，骑兵 50 个，伞兵 0 个时利润最大，且最大利润为 550 元 . 思维 升华 解线性规划应用问题的一般步骤 (1) 审题：仔细阅读材料，抓住关键，准确理解题意，明确有哪些限制条件，借助表格或图形理清变量之间的关系 . (2) 设元：设问题中起关键作用 ( 或关联 较多 ) 的量为未知量 x ， y ，并列出相应的不等式组和目标函数 . (3) 作图：准确作出可行域，平移找点 ( 最优解 ). (4) 求解：代入目标函数求解 ( 最大值或最小值 ). (5) 检验：根据结果，检验反馈 . 跟踪训练 3 　某电视机厂计划在下一个生产周期内生产两种型号电视机，每台 A 型或 B 型电视机所得利润分别为 6 和 4 个单位，而生产一台 A 型 和 B 型电视机所耗原料分别为 2 和 3 个单位，所需工时分别为 4 和 2 个单位，如果允许使用的原料为 100 个单位，工时为 120 个单位，且 A 型 和 B 型电视机产量分别不低于 5 台和 10 台，应当生产每种类型电视机多少台，才能使利润最大？ 解答 设生产 A 型电视机 x 台， B 型电视机 y 台， 线性目标函数为 z ＝ 6 x ＋ 4 y . 根据约束条件作出可行域如图中阴影部分整点所示 ， 作直线 l 0 ： 3 x ＋ 2 y ＝ 0 ，当直线 l 0 平移至点 A 时， z 取最大值， 所以生产两种类型电视机各 20 台时，所获利润最大 . 含 参数的线性规划问题 现场纠错系列 8 (1) 含参数的平面区域问题，要结合直线的各种情况进行分析，不能凭直觉解答 . (2) 目标函数含参的线性规划问题，要根据 z 的几何意义确定最优解，切忌搞错符号 . 错 解展示 典例　 (1) 在直角坐标系 xOy 中，若不等式 组 表示 一个三角形区域，则实数 k 的取值范围是 ________. ( 2) 已知 x ， y 满足 约束条件 若 z ＝ ax ＋ y 的最大值为 4 ，则 a ＝ _____. 现场纠错 纠错心得 解析　 (1) 如图，直线 y ＝ k ( x － 1) － 1 过点 (1 ，－ 1) ，作出直线 y ＝ 2 x ，当 k < － 1 或 0< k <2 或 k >2 时，不等式组表示一个三角形区域 . (2) 由不等式组表示的可行域，可知 z ＝ ax ＋ y 在点 A (1,1) 处取到最大值 4 ， ∴ a ＋ 1 ＝ 4 ， ∴ a ＝ 3 . 答案 　 (1)( － ∞ ，－ 1) ∪ (0,2) ∪ (2 ，＋ ∞ ) 　 ( 2)3 返回 解析　 ( 1) 直线 y ＝ k ( x － 1) － 1 过定点 (1 ，－ 1) ，当这条直线的斜率为负值时，该直线与 y 轴的交点必须在坐标原点上方，即直线的斜率为 ( － ∞ ，－ 1) ，只有此时可构成三角形区域 . (2) 作出不等式组表示的可行域如图中阴影部分所示 . z ＝ ax ＋ y 等价于 y ＝－ ax ＋ z ， 因为 z 的最大值为 4 ， 即直线 y ＝－ ax ＋ z 的纵截距最大为 4. 若 z ＝ ax ＋ y 在 A (1,1) 处取得最大值， 则纵截距必小于 2 ， 故只有直线 y ＝－ ax ＋ z 过点 (2,0) 且－ a <0 时符合题意， ∴ 4 ＝ a × 2 ＋ 0 ，即 a ＝ 2. 答案　 (1)( － ∞ ，－ 1) 　 (2)2 返回 课时作业 1. 若点 ( m, 1) 在不等式 2 x ＋ 3 y － 5>0 所表示的平面区域内，则 m 的取值范围 是 A. m ≥ 1 B. m ≤ 1 C. m <1 D. m >1 √ 答案 解析 由 2 m ＋ 3 － 5>0 ，得 m >1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 解析 如图，作出不等式组表示的可行域，当函数 y ＝ log 2 x 的图象过点 (2,1) 时，实数 m 有最大值 1. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 3. 直线 2 x ＋ y － 10 ＝ 0 与不等式 组 表示 的平面区域的公共点有 答案 解析 A.0 个 B.1 个 C.2 个 D . 无数个 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由不等式组画出可行域的平面区域如图 ( 阴影部分 ). 直线 2 x ＋ y － 10 ＝ 0 恰过点 A (5,0) ， 且其斜率 k ＝－ 2< k AB ＝ ， 即 直线 2 x ＋ y － 10 ＝ 0 与平面区域仅有一个公共点 A (5,0 ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 求 A ， B 两点的坐标分别 为 和 (1,0) ，若原不等式组表示的平面区域是一个三角形，则 a 的取值范围是 0 ＜ a ≤ 1 或 a ≥ 不等式 组 表示 的平面区域如图 ( 阴影部分 ) ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 5.(2016· 天津 ) 设变量 x ， y 满足 约束条件 则 目标函数 z ＝ 2 x ＋ 5 y 的最小值 为 答案 解析 A. － 4 B.6 C.10 D.17 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 由约束条件作出可行域如图所示， 平移该直线，易知经过点 A 时 z 最小 . 又知点 A 的坐标为 (3,0) ， ∴ z min ＝ 2 × 3 ＋ 5 × 0 ＝ 6. 故选 B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 6. 设 x ， y 满足 约束条件 则 z ＝ 2 x － y 的最大值 为 答案 解析 A.10 B.8 C.3 D.2 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 画出可行域如图所示 . 由 z ＝ 2 x － y ，得 y ＝ 2 x － z ，欲求 z 的最大值， 可将直线 y ＝ 2 x 向下平移， 当经过区域内的点，且满足在 y 轴上的截距－ z 最小时， 即得 z 的最大值，如图，可知当过点 A 时 z 最大， 即 A (5,2) ，则 z max ＝ 2 × 5 － 2 ＝ 8. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 7. 某公司生产甲、乙两种桶装产品 . 已知生产甲产品 1 桶需耗 A 原料 1 千克、 B 原料 2 千克；生产乙产品 1 桶需耗 A 原料 2 千克、 B 原料 1 千克 . 每桶甲产品的利润是 300 元，每桶乙产品的利润是 400 元 . 公司在生产这两种产品的计划中，要求每天消耗 A 、 B 原料都不超过 12 千克 . 通过合理安排 生产计划，从每天生产的甲、乙两种产品中，公司共可获得的最大利润是 A.1 800 元 B.2 400 元 C.2 800 元 D.3 100 元 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设每天生产甲种产品 x 桶，乙种产品 y 桶， 则根据题意得 x 、 y 满足 的约束条件为 设获利 z 元， 则 z ＝ 300 x ＋ 400 y . 画出可行域如图 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 画出直线 l ： 300 x ＋ 400 y ＝ 0 ， 即 3 x ＋ 4 y ＝ 0. 平移直线 l ，从图中可知，当直线过点 M 时， 目标函数取得最大值 . 即 M 的坐标为 (4,4) ， ∴ z max ＝ 300 × 4 ＋ 400 × 4 ＝ 2 800( 元 ). 故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 A. － 2 B.2 C. － 1 D.1 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 作出不等式组对应的平面区域如图 ， 由图象可知当 P 位于点 D (1,0) 时，直线 AP 的斜率最小， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 作出可行域，如图所示 ， 则目标函数 z ＝ x － 2 y 在点 (1,0) 处取得最大值 1 ， 在 点 ( － 1,1) 处取得最小值－ 3 ， ∴ a ＝ 1 ， b ＝－ 3 ， 从而 可知方程 x 2 － kx ＋ 1 ＝ 0 在区间 ( － 3 ， 1) 上有两个不同实数解 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 令 f ( x ) ＝ x 2 － kx ＋ 1 ， 10. 若关于 x ， y 的不等式 组 表示 的平面区域是等腰直角三 角 形 ，则其表示的区域面积为 ________. 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 直线 kx － y ＋ 1 ＝ 0 过点 (0,1) ，要使不等式组表示的区域为直角三角形，只有直线 kx － y ＋ 1 ＝ 0 垂直于 y 轴 ( 如图 (1)) 或与直线 x ＋ y ＝ 0 垂直 ( 如图 (2)) 时才符合题意 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 11. 已知变量 x ， y 满足 约束条件 若 目标函数 z ＝ ax ＋ y ( 其中 a >0 ) 仅在点 (3,0) 处取得最大值，则 a 的取值范围是 __________. 答案 解析 画出 x 、 y 满足约束条件的可行域如图所示，要使目标函数 z ＝ ax ＋ y 仅在点 (3,0) 处取得最大值，则直线 y ＝－ ax ＋ z 的斜率应小于直线 x ＋ 2 y － 3 ＝ 0 的斜率，即－ a < ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 [3,11] 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设 z ′ ＝ ， 则 z ′ 的几何意义为动点 P ( x ， y ) 到定点 D ( － 1 ，－ 1) 的斜率 . 画出可行域如图阴影部分所示，则易得 z ′∈ [ k DA ， k DB ] ，易得 z ′∈ [1,5] ， ∴ z ＝ 1 ＋ 2· z ′∈ [3,11]. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 答案 解析 作出图形可知， △ ABF 所围成的区域即为区域 D ，其中 A (0,1) 是 z 在 D 上取得最小值的点， B ， C ， D ， E ， F 是 z 在 D 上取得最大值的点，则 T 中的点共确定 AB ， AC ， AD ， AE ， AF ， BF 共 6 条不同的直线 . 6 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 14. 已知 D 是以点 A (4,1) ， B ( － 1 ，－ 6) ， C ( － 3 ， 2) 为顶点的三角形区域 ( 包括边界与内部 ). 如图所示 . (1) 写出表示区域 D 的不等式 组； 解答 直线 AB ， AC ， BC 的方程分别为 7 x － 5 y － 23 ＝ 0 ， x ＋ 7 y － 11 ＝ 0 , 4 x ＋ y ＋ 10 ＝ 0. 原点 (0,0) 在区域 D 内，故表示区域 D 的不等式组为 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 (2) 设点 B ( － 1 ，－ 6) ， C ( － 3,2) 在直线 4 x － 3 y － a ＝ 0 的异侧，求 a 的取值范围 . 解答 根据题意有 [4×( － 1) － 3×( － 6) － a ][4×( － 3) － 3×2 － a ]<0 ， 即 (14 － a )( － 18 － a )<0 ， 解得－ 18< a <14. 故 a 的取值范围是 ( － 18,14). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 15. 某客运公司用 A 、 B 两种型号的车辆承担甲、乙两地间的长途客运业务， 每 辆 车 每天往返一次 . A 、 B 两种车辆的载客量分别为 36 人和 60 人，从甲地去乙地的营运成本分别为 1 600 元 / 辆和 2 400 元 / 辆，公司拟组建一个不超过 21 辆车的客运车队，并要求 B 型车不多于 A 型车 7 辆 . 若每天运送人数不少于 900 ，且使公司从甲地去乙地的营运成本最小，那么应配备 A 型车、 B 型车各多少辆？ 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 设 A 型、 B 型车辆分别为 x 、 y 辆，相应营运成本为 z 元，则 z ＝ 1 600 x ＋ 2 400 y . 由题意，得 x ， y 满足约束条件 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 15 作 出 可行域 如 图 阴影部分 所 示，可行域的三个顶点坐标分别为 P (5 ， 12) ， Q (7,14) ， R (15,6). 由图可知，当直线 z ＝ 1 600 x ＋ 2 400 y 经过可行域的点 P 时，直线 z ＝ 1 600 x ＋ 2 400 y 在 y 轴上的 截距 最小 ，即 z 取得最小值 . 故应配备 A 型车 5 辆、 B 型车 12 辆，可以满足公司从甲地去乙地的营运成本最小 .