• 4.37 MB
  • 2021-06-30 发布

高科数学专题复习课件:第四章 4_2同角三角函数基本关系及诱导公式

  • 52页
  • 当前文档由用户上传发布,收益归属用户
  1. 1、本文档由用户上传,淘文库整理发布,可阅读全部内容。
  2. 2、本文档内容版权归属内容提供方,所产生的收益全部归内容提供方所有。如果您对本文有版权争议,请立即联系网站客服。
  3. 3、本文档由用户上传,本站不保证质量和数量令人满意,可能有诸多瑕疵,付费之前,请仔细阅读内容确认后进行付费下载。
  4. 网站客服QQ:403074932
§4.2   同角三角函数基本关系及诱导公式 基础知识   自主学习 课时作业 题型分 类  深度剖析 内容索引 基础知识 自主学习 (1) 平方关系 : . 1. 同角三角函数的基本关系 知识梳理 (2) 商数关系 : . sin 2 α + cos 2 α = 1 2. 各角的终边与角 α 的终边的关系 角 2 k π + α ( k ∈ Z ) π + α - α 图示 与角 α 终边的关系 相同 关于原点对称 关于 x 轴对称 角 π - α - α + α 图示 与角 α 终边的关系 _________________   关于 y 轴对称 关于直线 y = x 对称 3. 六组诱导公式 组数 一 二 三 四 五 六 角 2 k π + α ( k ∈ Z ) π + α - α π - α - α + α 正弦 余弦 正切     口诀 函数名不变 符号看象限 函数名改变 符号看象限 sin α - sin α - sin α sin α cos α cos α cos α - cos α cos α - cos α sin α - sin α tan α tan α - tan α - tan α 1. 诱导公式的记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限 . 2. 同角三角函数基本关系式的常用变形: (sin α ±cos α ) 2 = 1±2sin α cos α ; (sin α + cos α ) 2 + (sin α - cos α ) 2 = 2 ; (sin α + cos α ) 2 - (sin α - cos α ) 2 = 4sin α cos α . 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) (1) 若 α , β 为锐角,则 sin 2 α + cos 2 β = 1.(    ) (2) 若 α ∈ R ,则 tan α = 恒 成立 .(    ) (3)sin(π + α ) =- sin α 成立的条件是 α 为锐角 .(    ) (4) 诱导公式的记忆口诀中 “ 奇变偶不变,符号看象限 ” ,其中的奇、偶是 指 的 奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化 .(    ) 思考辨析 × × × √ 1.(2015· 福建 ) 若 sin α = , 且 α 为第四象限角,则 tan α 的值等于 考点自测 答案 解析 2.( 教材改编 ) 已知 sin(π + α ) = , 则 cos α 的值 为 答案 解析 答案 解析 答案 解析 答案 解析 - 1 ∵ f ( f (2 018)) = f (2 018 - 18) = f (2 000) , 题型分类 深度剖析 题型一 同角三角函数关系式的应用 答案 解析 ∴ cos α < 0 , sin α < 0 且 cos α >sin α , ∴ cos α - sin α > 0. (2) 化简: (1 + tan 2 α )(1 - sin 2 α ) = . 答案 解析 1 思维 升华 (1) 利用 sin 2 α + cos 2 α = 1 可以实现角 α 的正弦、余弦的互化, 利用 = tan α 可以实现角 α 的弦切互化 . (2) 应用公式时注意方程思想的应用:对于 sin α + cos α , sin α cos α , sin α - cos α 这三个式子,利用 (sin α ±cos α ) 2 = 1±2sin α cos α ,可以知一求二 . (3) 注意公式逆用及变形应用: 1 = sin 2 α + cos 2 α , sin 2 α = 1 - cos 2 α , cos 2 α = 1 - sin 2 α . 跟踪训练 1  已知 sin α - cos α = , α ∈ (0 , π) ,则 tan α 等于 答案 解析 题型二 诱导公式的应用 答案 解析 - 1 A.{1 ,- 1,2 ,- 2} B .{ - 1,1} C.{2 ,- 2} D .{1 ,- 1,0,2 ,- 2} 答案 解析 ∴ A 的值构成的集合是 {2 ,- 2}. 思维 升华 (1) 诱导公式的两个应用 ① 求值:负化正,大化小,化到锐角为终了 . ② 化简:统一角,统一名,同角名少为终了 . (2) 含 2π 整数倍的诱导公式的应用 由终边相同的角的关系可知,在计算含有 2π 的整数倍的三角函数式中可直接将 2π 的整数倍去掉后再进行运算,如 cos(5π - α ) = cos(π - α ) =- cos α . 答案 解析 - 1 答案 解析 题型三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用 例 3   (1) 已知 α 为锐角,且有 2tan(π - α ) - 3cos ( + β ) + 5 = 0 , tan(π + α ) + 6sin(π + β ) - 1 = 0 ,则 sin α 的值是 答案 解析 2tan(π - α ) - 3cos ( + β ) + 5 = 0 化简为 - 2tan α + 3sin β + 5 = 0 , ① tan(π + α ) + 6sin(π + β ) - 1 = 0 化简为 tan α - 6sin β - 1 = 0 . ② 由 ①② 消去 sin β ,解得 tan α = 3. 又 α 为锐角,根据 sin 2 α + cos 2 α = 1 ,解得 sin α = . (2) 已知- π< x <0 , sin(π + x ) - cos x = . ① 求 sin x - cos x 的值; 解 答 由- π< x <0 ,知 sin x <0 , 又 sin x + cos x >0 , ∴ cos x >0 , sin x - cos x <0 , 解答 引申探究 本 例 ( 2) 中若将条件 “ - π< x <0 ” 改为 “ 0< x <π ” ,求 sin x - cos x 的值 . 解 答 ∴ sin x >0 , cos x <0 , 思维 升华 (1) 利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形 . (2) 注意角的范围对三角函数符号的影响 . 答案 解析 (1) 在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时,要根据角的范围对开方结果进行讨论 . (2) 利用诱导公式化简时要对题中整数 k 是奇数或偶数进行讨论 . 分类 讨论思想在三角函数中的应用 思想与方法系列 7 思想方法指 导 答案 解析 - 1 (2) 当 k = 2 n ( n ∈ Z ) 时, 当 k = 2 n + 1( n ∈ Z ) 时, 综上,原式=- 1. 课时作业 1.(2016· 西安模拟 ) 已知 cos α = , α ∈ (0 , π) ,则 tan α 的值等于 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 √ ∵ α ∈ (0 , π) , √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 A.3 B . - 3 C.1 D . - 1 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 √ 答案 解析 由角 α 的终边落在第三象限 ,得 sin α < 0 , cos α < 0 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 若 sin(π - α ) =- 2sin ( + α ) ,则 sin α ·cos α 的值等于 √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5. 已知函数 f ( x ) = a sin(π x + α ) + b cos(π x + β ) ,且 f (4) = 3 ,则 f (2 017) 的值为 A. - 1 B.1 C.3 D . - 3 √ 答案 解析 ∵ f (4) = a sin(4π + α ) + b cos(4π + β ) = a sin α + b cos β = 3 , ∴ f (2 017) = a sin(2 017π + α ) + b cos(2 017π + β ) = a sin(π + α ) + b cos(π + β ) =- a sin α - b cos β =- 3 . *6.(2016· 揭阳模拟 ) 若 sin θ , cos θ 是方程 4 x 2 + 2 mx + m = 0 的两根,则 m 的值为 √ 答案 解析 又 (sin θ + cos θ ) 2 = 1 + 2sin θ cos θ , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 若 f (cos x ) = cos 2 x ,则 f (sin 15°) = . 答案 解析 f (sin 15°) = f (cos 75°) = cos 150° = cos(180° - 30°) =- cos 30° = . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 9. 已知角 θ 的顶点在坐标原点,始边与 x 轴正半轴重合,终边在直线 2 x 答案 解析 - y = 0 上,则 2 由题意可得 tan θ = 2 , 答案 解析 0 因为 α 是第二象限角,所以 sin α >0 , cos α <0 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 由已知得 sin α = 2cos α . 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 12. 已知在 △ ABC 中, sin A + cos A = . (1) 求 sin A cos A 的值; 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 判断 △ ABC 是锐角三角形还是钝角三角形; 解答 ∵ sin A cos A <0 , 又 0< A <π , ∴ cos A <0 , ∴ A 为钝角, ∴△ ABC 为钝角三角形 . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3) 求 tan A 的值 . 解答 *13. 已知关于 x 的方程 2 x 2 - ( + 1) x + m = 0 的两 根 为 sin θ 和 cos θ , θ ∈ (0,2π). 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) m 的值; 解 答 由 sin 2 θ + 2sin θ cos θ + cos 2 θ = 1 + 2sin θ cos θ = (sin θ + cos θ ) 2 , 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (3) 方程的两根及此时 θ 的值 . 解答