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- 2021-06-30 发布
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§4.2
同角三角函数基本关系及诱导公式
基础知识
自主学习
课时作业
题型分
类
深度剖析
内容索引
基础知识 自主学习
(1)
平方关系
:
.
1.
同角三角函数的基本关系
知识梳理
(2)
商数关系
:
.
sin
2
α
+
cos
2
α
=
1
2.
各角的终边与角
α
的终边的关系
角
2
k
π
+
α
(
k
∈
Z
)
π
+
α
-
α
图示
与角
α
终边的关系
相同
关于原点对称
关于
x
轴对称
角
π
-
α
-
α
+
α
图示
与角
α
终边的关系
_________________
关于
y
轴对称
关于直线
y
=
x
对称
3.
六组诱导公式
组数
一
二
三
四
五
六
角
2
k
π
+
α
(
k
∈
Z
)
π
+
α
-
α
π
-
α
-
α
+
α
正弦
余弦
正切
口诀
函数名不变
符号看象限
函数名改变
符号看象限
sin
α
-
sin
α
-
sin
α
sin
α
cos
α
cos
α
cos
α
-
cos
α
cos
α
-
cos
α
sin
α
-
sin
α
tan
α
tan
α
-
tan
α
-
tan
α
1.
诱导公式的记忆口诀:奇变偶不变,符号看象限
.
2.
同角三角函数基本关系式的常用变形:
(sin
α
±cos
α
)
2
=
1±2sin
α
cos
α
;
(sin
α
+
cos
α
)
2
+
(sin
α
-
cos
α
)
2
=
2
;
(sin
α
+
cos
α
)
2
-
(sin
α
-
cos
α
)
2
=
4sin
α
cos
α
.
知识
拓展
判断下列结论是否正确
(
请在括号中打
“√”
或
“×”
)
(1)
若
α
,
β
为锐角,则
sin
2
α
+
cos
2
β
=
1.(
)
(2)
若
α
∈
R
,则
tan
α
=
恒
成立
.(
)
(3)sin(π
+
α
)
=-
sin
α
成立的条件是
α
为锐角
.(
)
(4)
诱导公式的记忆口诀中
“
奇变偶不变,符号看象限
”
,其中的奇、偶是
指
的
奇数倍和偶数倍,变与不变指函数名称的变化
.(
)
思考辨析
×
×
×
√
1.(2015·
福建
)
若
sin
α
=
,
且
α
为第四象限角,则
tan
α
的值等于
考点自测
答案
解析
2.(
教材改编
)
已知
sin(π
+
α
)
=
,
则
cos
α
的值
为
答案
解析
答案
解析
答案
解析
答案
解析
-
1
∵
f
(
f
(2 018))
=
f
(2 018
-
18)
=
f
(2 000)
,
题型分类 深度剖析
题型一 同角三角函数关系式的应用
答案
解析
∴
cos
α
<
0
,
sin
α
<
0
且
cos
α
>sin
α
,
∴
cos
α
-
sin
α
>
0.
(2)
化简:
(1
+
tan
2
α
)(1
-
sin
2
α
)
=
.
答案
解析
1
思维
升华
(1)
利用
sin
2
α
+
cos
2
α
=
1
可以实现角
α
的正弦、余弦的互化,
利用
=
tan
α
可以实现角
α
的弦切互化
.
(2)
应用公式时注意方程思想的应用:对于
sin
α
+
cos
α
,
sin
α
cos
α
,
sin
α
-
cos
α
这三个式子,利用
(sin
α
±cos
α
)
2
=
1±2sin
α
cos
α
,可以知一求二
.
(3)
注意公式逆用及变形应用:
1
=
sin
2
α
+
cos
2
α
,
sin
2
α
=
1
-
cos
2
α
,
cos
2
α
=
1
-
sin
2
α
.
跟踪训练
1
已知
sin
α
-
cos
α
=
,
α
∈
(0
,
π)
,则
tan
α
等于
答案
解析
题型二 诱导公式的应用
答案
解析
-
1
A.{1
,-
1,2
,-
2}
B
.{
-
1,1}
C.{2
,-
2}
D
.{1
,-
1,0,2
,-
2}
答案
解析
∴
A
的值构成的集合是
{2
,-
2}.
思维
升华
(1)
诱导公式的两个应用
①
求值:负化正,大化小,化到锐角为终了
.
②
化简:统一角,统一名,同角名少为终了
.
(2)
含
2π
整数倍的诱导公式的应用
由终边相同的角的关系可知,在计算含有
2π
的整数倍的三角函数式中可直接将
2π
的整数倍去掉后再进行运算,如
cos(5π
-
α
)
=
cos(π
-
α
)
=-
cos
α
.
答案
解析
-
1
答案
解析
题型三 同角三角函数关系式、诱导公式的综合应用
例
3
(1)
已知
α
为锐角,且有
2tan(π
-
α
)
-
3cos
(
+
β
)
+
5
=
0
,
tan(π
+
α
)
+
6sin(π
+
β
)
-
1
=
0
,则
sin
α
的值是
答案
解析
2tan(π
-
α
)
-
3cos
(
+
β
)
+
5
=
0
化简为
-
2tan
α
+
3sin
β
+
5
=
0
,
①
tan(π
+
α
)
+
6sin(π
+
β
)
-
1
=
0
化简为
tan
α
-
6sin
β
-
1
=
0
.
②
由
①②
消去
sin
β
,解得
tan
α
=
3.
又
α
为锐角,根据
sin
2
α
+
cos
2
α
=
1
,解得
sin
α
=
.
(2)
已知-
π<
x
<0
,
sin(π
+
x
)
-
cos
x
=
.
①
求
sin
x
-
cos
x
的值;
解
答
由-
π<
x
<0
,知
sin
x
<0
,
又
sin
x
+
cos
x
>0
,
∴
cos
x
>0
,
sin
x
-
cos
x
<0
,
解答
引申探究
本
例
(
2)
中若将条件
“
-
π<
x
<0
”
改为
“
0<
x
<π
”
,求
sin
x
-
cos
x
的值
.
解
答
∴
sin
x
>0
,
cos
x
<0
,
思维
升华
(1)
利用同角三角函数关系式和诱导公式求值或化简时,关键是寻求条件、结论间的联系,灵活使用公式进行变形
.
(2)
注意角的范围对三角函数符号的影响
.
答案
解析
(1)
在利用同角三角函数基本关系式中的平方关系时,要根据角的范围对开方结果进行讨论
.
(2)
利用诱导公式化简时要对题中整数
k
是奇数或偶数进行讨论
.
分类
讨论思想在三角函数中的应用
思想与方法系列
7
思想方法指
导
答案
解析
-
1
(2)
当
k
=
2
n
(
n
∈
Z
)
时,
当
k
=
2
n
+
1(
n
∈
Z
)
时,
综上,原式=-
1.
课时作业
1.(2016·
西安模拟
)
已知
cos
α
=
,
α
∈
(0
,
π)
,则
tan
α
的值等于
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
解析
√
∵
α
∈
(0
,
π)
,
√
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
A.3
B
.
-
3 C.1
D
.
-
1
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
√
答案
解析
由角
α
的终边落在第三象限
,得
sin
α
<
0
,
cos
α
<
0
,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
4.
若
sin(π
-
α
)
=-
2sin
(
+
α
)
,则
sin
α
·cos
α
的值等于
√
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
5.
已知函数
f
(
x
)
=
a
sin(π
x
+
α
)
+
b
cos(π
x
+
β
)
,且
f
(4)
=
3
,则
f
(2 017)
的值为
A.
-
1
B.1 C.3
D
.
-
3
√
答案
解析
∵
f
(4)
=
a
sin(4π
+
α
)
+
b
cos(4π
+
β
)
=
a
sin
α
+
b
cos
β
=
3
,
∴
f
(2 017)
=
a
sin(2 017π
+
α
)
+
b
cos(2 017π
+
β
)
=
a
sin(π
+
α
)
+
b
cos(π
+
β
)
=-
a
sin
α
-
b
cos
β
=-
3
.
*6.(2016·
揭阳模拟
)
若
sin
θ
,
cos
θ
是方程
4
x
2
+
2
mx
+
m
=
0
的两根,则
m
的值为
√
答案
解析
又
(sin
θ
+
cos
θ
)
2
=
1
+
2sin
θ
cos
θ
,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
答案
解析
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
8.
若
f
(cos
x
)
=
cos 2
x
,则
f
(sin 15°)
=
.
答案
解析
f
(sin 15°)
=
f
(cos 75°)
=
cos 150°
=
cos(180°
-
30°)
=-
cos 30°
=
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
9.
已知角
θ
的顶点在坐标原点,始边与
x
轴正半轴重合,终边在直线
2
x
答案
解析
-
y
=
0
上,则
2
由题意可得
tan
θ
=
2
,
答案
解析
0
因为
α
是第二象限角,所以
sin
α
>0
,
cos
α
<0
,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
由已知得
sin
α
=
2cos
α
.
解答
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
解答
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
12.
已知在
△
ABC
中,
sin
A
+
cos
A
=
.
(1)
求
sin
A
cos
A
的值;
解答
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(2)
判断
△
ABC
是锐角三角形还是钝角三角形;
解答
∵
sin
A
cos
A
<0
,
又
0<
A
<π
,
∴
cos
A
<0
,
∴
A
为钝角,
∴△
ABC
为钝角三角形
.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(3)
求
tan
A
的值
.
解答
*13.
已知关于
x
的方程
2
x
2
-
(
+
1)
x
+
m
=
0
的两
根
为
sin
θ
和
cos
θ
,
θ
∈
(0,2π).
解答
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(2)
m
的值;
解
答
由
sin
2
θ
+
2sin
θ
cos
θ
+
cos
2
θ
=
1
+
2sin
θ
cos
θ
=
(sin
θ
+
cos
θ
)
2
,
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
(3)
方程的两根及此时
θ
的值
.
解答
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