高科数学专题复习课件：第二章 2_5指数与指数函数 61页

§2.5 　 指数与指数函数 基础知识 　 自主学习 课时作业 题型分 类　 深度剖析 内容索引 基础知识　自主学习 (1) 我们规定正数的正分数指数幂的意义是 ＝ ( a >0 ， m ， n ∈ N * ，且 n >1). 于是，在条件 a >0 ， m ， n ∈ N * ，且 n >1 下，根式都可以写成分数指数幂的形式 . 正数的负分数指数幂的意义与负整数指数幂的意义相仿 ， 我们 规定 ＝ ( a >0 ， m ， n ∈ N * ，且 n >1).0 的正分数指数幂 等于 ； 0 的 负分数指数 幂 . (2) 有理数指数幂的运算性质： a r a s ＝ ， ( a r ) s ＝ ， ( ab ) r ＝ ， 其中 a >0 ， b >0 ， r ， s ∈ Q . 1. 分数指数幂 知识梳理 0 没有意义 a r ＋ s a rs a r b r 2. 指数函数的图象与性质 y ＝ a x a >1 0< a <1 图象 定义域 ( 1) 值域 (2 ) R (0 ，＋ ∞ ) 几何画板展示 性质 (3) 过 定点 (4) 当 x >0 时 ， ； 当 x <0 时 ， (5) 当 x >0 时 ， ； 当 x <0 时 ， (6) 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上 是 ______ (7) 在 ( － ∞ ，＋ ∞ ) 上 是 ________ (0,1) y >1 0< y <1 0< y <1 y >1 增函数 减函数 1. 指数函数图象画法的三个关键点 画指数函数 y ＝ a x ( a >0 ，且 a ≠ 1) 的图象，应抓住三个关键点： (1 ， a ) ， (0,1) ， ( － 1 ， ). 2. 指数函数的图象与底数大小的比较 如图是指数函数 (1) y ＝ a x ， (2) y ＝ b x ， (3) y ＝ c x ， ( 4) y ＝ d x 的图象，底数 a ， b ， c ， d 与 1 之间的大小关系为 c > d >1> a > b . 由此我们可得到以下规律：在第一 象限内， 指数函数 y ＝ a x ( a >0 ，且 a ≠ 1) 的图象越高，底数越大 . 知识 拓展 判断下列结论是否正确 ( 请在括号中打 “√” 或 “×” ) 思考辨析 × (2) 分数指数幂 可以 理解 为 个 a 相乘 .( 　　 ) × (3) ( 　　 ) × (4) 函数 y ＝ a － x 是 R 上的增函数 .( 　　 ) (5) 函数 ( a >1) 的值域是 (0 ，＋ ∞ ).( 　　 ) (6) 函数 y ＝ 2 x － 1 是指数函数 .( 　　 ) × × × 1.( 教材改编 ) 若函数 f ( x ) ＝ a x ( a >0 ， 且 a ≠ 1) 的图象经过点 P (2 ， ) ，则 f ( － 1) 等于 考点自测 答案 解析 2.( 2017· 青岛 调研 ) 已知函数 f ( x ) ＝ a x － 2 ＋ 2 的图象恒过定点 A ，则 A 的坐标为 A.(0,1) B.( 2,3) C .(3,2) D .(2,2) 答案 解析 由 a 0 ＝ 1 知，当 x － 2 ＝ 0 ，即 x ＝ 2 时， f (2) ＝ 3 ，即图象必过定点 (2,3). 3. 已知 则 a ， b ， c 的大小关系 是 A. c < a < b B. a < b < c C. b < a < c D. c < b < a 答案 解析 即 a > b >1 ， 又 ∴ c < b < a . 4. 计算 ： ＝ ________. 答案 解析 2 原式＝ 5. 函数 y ＝ 8 － 2 3 － x ( x ≥ 0) 的值域是 ________. 答案 解析 [0,8) ∵ x ≥ 0 ， ∴ － x ≤ 0 ， ∴ 3 － x ≤ 3 ， ∴ 0<2 3 － x ≤ 2 3 ＝ 8 ， ∴ 0 ≤ 8 － 2 3 － x <8 ， ∴ 函数 y ＝ 8 － 2 3 － x 的值域为 [0,8). 题型分类　深度剖析 题型一　指数幂的运算 例 1 　 化简下列各式： 解 答 原式＝ 原式＝ 解 答 思维 升华 (1) 指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，还应注意 ： ① 必须同底数幂相乘，指数才能相加 ； ② 运算的先后顺序 . (2) 当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数 . (3) 运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数 . 跟踪训练 1 　化简 ＝ ________. 答案 解析 原式＝ 题型二　指数函数的图象及应用 例 2 　 (1) 已知实数 a ， b 满足等式 2 017 a ＝ 2 018 b ，下列五个关系式 ： ① 0< b < a ； ② a < b <0 ； ③ 0< a < b ； ④ b < a <0 ； ⑤ a ＝ b . 其中不可能成立的关系式有 A.1 个 B.2 个 C.3 个 D.4 个 答案 解析 如图，观察易知， a ， b 的关系为 a < b <0 或 0< b < a 或 a ＝ b ＝ 0. (2) 已知函数 f ( x ) ＝ |2 x － 1| ， a < b < c 且 f ( a )> f ( c )> f ( b ) ，则下列结论中，一定成立的 是 A. a <0 ， b <0 ， c <0 B. a <0 ， b ≥ 0 ， c >0 C.2 － a <2 c D.2 a ＋ 2 c <2 答案 解析 几何画板展示 作出函数 f ( x ) ＝ |2 x － 1| 的图象，如图 ， ∵ a < b < c 且 f ( a )> f ( c )> f ( b ) ，结合图象知， 0< f ( a )<1 ， a <0 ， c >0 ， ∴ 0<2 a <1. ∴ f ( a ) ＝ |2 a － 1| ＝ 1 － 2 a <1 ， ∴ f ( c )<1 ， ∴ 0< c <1. ∴ 1<2 c <2 ， ∴ f ( c ) ＝ |2 c － 1| ＝ 2 c － 1 ， 又 ∵ f ( a )> f ( c ) ， ∴ 1 － 2 a >2 c － 1 ， ∴ 2 a ＋ 2 c <2 ，故选 D . 思维 升华 (1) 已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断所给的图象是否过这些点，若不满足则排除 . (2) 对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到 . 特别地，当底数 a 与 1 的大小关系不确定时应注意分类讨论 . (3) 有关指数方程、不等式问题的求解，往往利用相应的指数型函数图象，数形结合求解 . 跟踪训练 2 　 (1) 函数 f ( x ) ＝ a x － b 的图象如图，其中 a ， b 为常数，则下列结论正确的 是 A. a >1 ， b <0 B. a >1 ， b >0 C.0< a <1 ， b >0 D.0< a <1 ， b <0 答案 解析 由 f ( x ) ＝ a x － b 的图象可以观察出 ， 函数 f ( x ) ＝ a x － b 在定义域上单调递减，所以 0< a <1 . 函数 f ( x ) ＝ a x － b 的图象是在 f ( x ) ＝ a x 的基础上向左平移得到的 ， 所以 b <0 ，故选 D. (2)(2016· 衡水模拟 ) 若曲线 | y | ＝ 2 x ＋ 1 与直线 y ＝ b 没有公共点，则 b 的取值范围是 ________. 答案 解析 [ － 1,1] 曲线 | y | ＝ 2 x ＋ 1 与直线 y ＝ b 的图象如图所示， 由图象可知 ： 如果 | y | ＝ 2 x ＋ 1 与直线 y ＝ b 没有公共点 ， 则 b 应满足的条件是 b ∈ [ － 1,1]. 几何画板展示 题型三　指数函数的性质及应用 命题点 1 　指数函数单调性的应用 例 3 　 (1)(2016· 威海模拟 ) 下列各式比较大小正确的 是 A.1.7 2.5 >1.7 3 B.0.6 － 1 >0.6 2 C.0.8 － 0.1 >1.25 0.2 D.1.7 0.3 <0.9 3.1 答案 解析 选项 B 中， ∵ y ＝ 0.6 x 是减函数， ∴ 0.6 － 1 >0.6 2 . 答案 解析 ∴ a > － 3. 又 a <0 ， ∴ － 3< a <0. ∴ 0 ≤ a <1 ， 综上， a 的取值范围为 ( － 3,1). ( － 3,1) 命题点 2 　复合函数的单调性 例 4 　 (1) 已知函数 f ( x ) ＝ 2 |2 x － m | ( m 为常数 ) ，若 f ( x ) 在区间 [2 ，＋ ∞ ) 上是增函数，则 m 的取值范围是 _________. 答案 解析 ( － ∞ ， 4] 令 t ＝ |2 x － m | ，则 t ＝ |2 x － m | 在区间 [ ，＋ ∞ ) 上单调递增，在区间 ( － ∞ ， ] 上单调递减 . 而 y ＝ 2 t 为 R 上的增函数，所以要使函数 f ( x ) ＝ 2 |2 x － m | 在 [2 ，＋ ∞ ) 上单调递增，则 有 ≤ 2 ，即 m ≤ 4 ， 所以 m 的取值范围是 ( － ∞ ， 4]. 几何画板展示 (2) 函数 的 单调减区间为 _________. 答案 解析 设 u ＝－ x 2 ＋ 2 x ＋ 1 ， ∵ y ＝ 在 R 上为减函数， ∴ 函数 的 减区间即为函数 u ＝－ x 2 ＋ 2 x ＋ 1 的增区间 . 又 u ＝－ x 2 ＋ 2 x ＋ 1 的增区间为 ( － ∞ ， 1] ， ∴ f ( x ) 的减区间为 ( － ∞ ， 1]. ( － ∞ ， 1] 引申探究 函数 f ( x ) ＝ 4 x － 2 x ＋ 1 的单调增区间是 ____ _ _____. 答案 解析 设 t ＝ 2 x ，则 y ＝ t 2 － 2 t 的单调增区间为 [1 ，＋ ∞ ) ， 令 2 x ≥ 1 ，得 x ≥ 0 ， ∴ 函数 f ( x ) ＝ 4 x － 2 x ＋ 1 的单调增区间是 [0 ，＋ ∞ ). [0 ，＋ ∞ ) 命题点 3 　函数的值域 ( 或最值 ) 答案 解析 (2) 如果函数 y ＝ a 2 x ＋ 2 a x － 1( a >0 ， 且 a ≠ 1) 在区间 [ － 1,1] 上的最大值是 14 ，则 a 的值为 ________. 答案 解析 令 a x ＝ t ，则 y ＝ a 2 x ＋ 2 a x － 1 ＝ t 2 ＋ 2 t － 1 ＝ ( t ＋ 1) 2 － 2. 所以 y max ＝ ( a ＋ 1) 2 － 2 ＝ 14 ，解得 a ＝ 3( 负值舍去 ). 思维 升华 (1) 在利用指数函数性质解决相关综合问题时，要特别注意底数 a 的取值范围，并在必要时进行分类讨论 ； ( 2) 与指数函数有关的指数型函数的定义域、值域 ( 最值 ) 、单调性、奇偶性的求解方法，要化归于指数函数来解 . 跟踪训练 3 　 (1) 已知函数 f ( x ) ＝ 的 值域是 [ － 8,1] ，则实数 a 的取值范围 是 A.( － ∞ ，－ 3] B .[ － 3,0) C. [ － 3 ，－ 1] D .{ － 3} 答案 解析 当 0 ≤ x ≤ 4 时， f ( x ) ∈ [ － 8,1] ， 所以实数 a 的取值范围是 [ － 3,0). 几何画板展示 答案 解析 当 x ≥ 0 时， g ( x ) ＝ f ( x ) ＝ 2 x － 为 单调增函数，所以 g ( x ) ≥ g (0) ＝ 0 ； 当 x <0 时， g ( x ) ＝ f ( － x ) ＝ 2 － x － 为 单调减函数， 所以 g ( x )> g (0) ＝ 0 ，所以函数 g ( x ) 的最小值是 0. 0 典例 　 (2016· 日照模拟 ) 已知函数 ( a ， b 为常数，且 a >0 ， a ≠ 1) 在区间 [ ， 0] 上有最大值 3 ， 最小值 ，则 a ， b 的值分别为 ______. 指数函数 底数的讨论 现场纠错系列 2 与指数函数、对数函数的单调性有关的问题，要对底数进行讨论 . 错解展示 现场纠错 纠错心得 解析 　令 t ＝ x 2 ＋ 2 x ＝ ( x ＋ 1) 2 － 1 ， 答案 　 2,2 返回 解析 　令 t ＝ x 2 ＋ 2 x ＝ ( x ＋ 1) 2 － 1 ， ① 若 a >1 ，函数 f ( x ) ＝ a t 在 [ － 1,0] 上为增函数， ② 若 0< a <1 ，函数 f ( x ) ＝ a t 在 [ － 1,0] 上为减函数， 返回 课时作业 1.(2016· 昆明模拟 ) 设 2 x ＝ 8 y ＋ 1 ,9 y ＝ 3 x － 9 ，则 x ＋ y 的值为 A.18 B.21 C.24 D.27 √ 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 答案 解析 ∵ 2 x ＝ 8 y ＋ 1 ＝ 2 3( y ＋ 1) ， ∴ x ＝ 3 y ＋ 3 ， ∵ 9 y ＝ 3 x － 9 ＝ 3 2 y ， ∴ x － 9 ＝ 2 y ， 解得 x ＝ 21 ， y ＝ 6 ， ∴ x ＋ y ＝ 27. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 2. 函数 f ( x ) ＝ 2 | x － 1| 的图象是 答案 解析 √ ∵ | x － 1| ≥ 0 ， ∴ f ( x ) ≥ 1 ，排除 C 、 D. 又 x ＝ 1 时， | f ( x )| min ＝ 1 ，排除 A. 故选 B. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 3. 已知 a ＝ 4 0.2 ， b ＝ 0.4 0.2 ， c ＝ 0.4 0.8 ，则 A. a > b > c B. a > c > b C. c > a > b D. b > c > a √ 答案 解析 由 0.2<0.8 ，底数 0.4<1 知， y ＝ 0.4 x 在 R 上为减函数 ， 所以 0.4 0.2 >0.4 0.8 ，即 b > c . 又 a ＝ 4 0.2 >4 0 ＝ 1 ， b ＝ 0.4 0.2 <1 ， 所以 a > b . 综上， a > b > c . 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 4. 已知 f ( x ) ＝ 3 x － b (2 ≤ x ≤ 4 ， b 为常数 ) 的图象经过点 (2,1) ，则 f ( x ) 的值域为 A. [9,81] B. [ 3,9] C . [1,9] D.[1 ，＋ ∞ ) √ 答案 解析 由 f ( x ) 过定点 (2,1) 可知 b ＝ 2 ， 因为 f ( x ) ＝ 3 x － 2 在 [2,4] 上是增函数， 所以 f ( x ) min ＝ f (2) ＝ 1 ， f ( x ) max ＝ f (4) ＝ 9. 故选 C. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 5.(2015· 山东 ) 若函数 f ( x ) ＝ 是 奇函数，则使 f ( x ) ＞ 3 成立的 x 的取值范围为 A.( － ∞ ，－ 1) B .( － 1,0) C.(0,1) D.( 1 ，＋ ∞ ) √ 答案 解析 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ∵ f ( x ) 为奇函数， ∴ f ( － x ) ＝－ f ( x ) ， 当 x >0 时， 2 x － 1>0 ， ∴ 2 x ＋ 1>3·2 x － 3 ，解得 0< x <1 ； 当 x <0 时， 2 x － 1<0 ， ∴ 2 x ＋ 1<3·2 x － 3 ，无解 . ∴ x 的取值范围为 (0,1). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 *6.(2016· 六安综合训练 ) 已知函数 F ( x ) ＝ e x 满足 F ( x ) ＝ g ( x ) ＋ h ( x ) ，且 g ( x ) ， h ( x ) 分别是 R 上的偶函数和奇函数，若 ∀ x ∈ (0,2] 使得不等式 g (2 x ) － ah ( x ) ≥ 0 恒成立，则实数 a 的取值范围 是 √ 答案 解析 因为 F ( x ) ＝ g ( x ) ＋ h ( x ), 且 g ( x ) ， h ( x ) 分别是 R 上的偶函数和奇函数， 所以 g ( x ) ＋ h ( x ) ＝ e x ， g ( － x ) ＋ h ( － x ) ＝ e － x ，即 g ( x ) － h ( x ) ＝ e － x ， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 设 t ＝ e x － e － x ，则函数 t ＝ e x － e － x 在区间 (0,2] 上单调递增， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 7.( 2017· 合肥 质检 ) 不等式 的 解集为 ______. 答案 解析 ( － 1,4) 原不等式等价为 又函数 y ＝ 2 x 为增函数， ∴ － x 2 ＋ 2 x > － x － 4 ， 即 x 2 － 3 x － 4<0 ， ∴ － 1< x <4. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 8. 若直线 y ＝ 2 a 与函数 y ＝ | a x － 1|( a >0 且 a ≠ 1) 的图象有两个公共点，则 a 的取值范围是 ________. 答案 解析 ( 数形结合法 ) 由图象可知 0<2 a <1 ， ∴ 0< a < . 9.(2016· 武汉模拟 ) 已知 y ＝ f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数且当 x ≥ 0 时， f ( x ) ＝ ， 则此函数的值域为 ________. 答案 解析 ∵ y ＝ f ( x ) 是定义在 R 上的奇函数， 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 10. 当 x ∈ ( － ∞ ，－ 1] 时，不等式 ( m 2 － m )·4 x － 2 x <0 恒成立，则实数 m 的取值范围是 ________. 答案 解析 ( － 1,2) 解得－ 1< m <2. 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 11. 已知函数 f ( x ) ＝ ( ) | x | － a . (1) 求 f ( x ) 的单调区间； 解答 令 t ＝ | x | － a ，则 f ( x ) ＝ ( ) t ， 不论 a 取何值， t 在 ( － ∞ ， 0] 上单调递减， 在 [0 ，＋ ∞ ) 上单调递增， 又 y ＝ ( ) t 是单调递减的， 因此 f ( x ) 的单调递增区间是 ( － ∞ ， 0] ，单调 递减区间是 [0 ，＋ ∞ ). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若 f ( x ) 的最大值 等于 ， 求 a 的值 . 解答 所以 g ( x ) ＝ | x | － a 应该有最小值－ 2 ，即 g (0) ＝－ 2 ， 从而 a ＝ 2. 12. 已知函数 (1) 若 a ＝－ 1 ，求 f ( x ) 的单调区间； 解答 当 a ＝－ 1 时， 令 t ＝－ x 2 － 4 x ＋ 3 ， 由于函数 t ＝－ x 2 － 4 x ＋ 3 在 ( － ∞ ，－ 2) 上单调递增， 在 ( － 2 ，＋ ∞ ) 上单调递减，而 y ＝ 在 R 上单调递减， 所以 f ( x ) 在 ( － ∞ ，－ 2) 上单调递减，在 ( － 2 ，＋ ∞ ) 上单调递增， 即函数 f ( x ) 的单调递增区间是 ( － 2 ，＋ ∞ ) ，单调 递减区间是 ( － ∞ ，－ 2). 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若 f ( x ) 有最大值 3 ，求 a 的值 . 解答 令 g ( x ) ＝ ax 2 － 4 x ＋ 3 ，则 f ( x ) ＝ ， 由于 f ( x ) 有最大值 3 ，所以 g ( x ) 应有最小值－ 1 ， 即当 f ( x ) 有最大值 3 时， a 的值为 1. (1) 若 λ ＝ ， 求函数 f ( x ) 的值域； 解答 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 (2) 若函数 f ( x ) 的最小值是 1 ，求实数 λ 的值 . 解答 不符合舍去； 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 ③ 当 λ >2 时， g ( t ) min ＝ g (2) ＝－ 4 λ ＋ 7 ，