2021版高考数学一轮复习第四章三角函数、解三角形4-1任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数课件理北师大版 25页

第四章　三角函数、解三角形　　　 第一节　任意角的概念与弧度制、任意角的三角函数 　　　　　 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 【教材 · 知识梳理】 1. 任意角 (1) 角的概念 : 角可以看成平面内一条射线绕着 _____ 从一个位置旋转到另一个位 置所成的图形 . (2) 角的分类 : 按旋转方向分为 ___ 角、 ___ 角、 ___ 角 ; 按终边位置分为 _____ 角、 _____ 角 . (3) 与角 α 终边相同的角的集合 :S={β|β= _______________}. 端点 正 负 零 象限 轴线 α+k · 360°,k∈Z 2. 弧度制 (1) 弧度角 : 把长度等于 _____ 长的弧所对的圆心角称为 __________ . (2) 度与弧度的换算 :180°= ___ rad, (3) 扇形的弧长和面积公式 设扇形的半径为 R, 弧长为 l , 面积为 S, 圆心角为 α(0<α<2π), 则 l = ____ , S= . 半径 1 弧度的角 π Rα 3. 任意角的三角函数 (1) 终边与单位圆交点 P(x,y),sin α= __ ;cos α= __ ,tan α= (x≠0). (2) 任意角的三角函数的定义 ( 推广 ) 设 P(x,y) 是角 α 终边上异于原点的任一点 , 它到原点的距离为 r(r>0), 那么 : sin α= ,cos α= ,tan α= (x≠0). y x 【知识点辨析】 ( 正确的打 “ √ ” , 错误的打 “ × ” ) (1) 小于 90° 的角是锐角 . ( 　　 ) (2) 锐角是第一象限角 , 反之亦然 . ( 　　 ) (3) 将表的分针拨快 5 分钟 , 则分针转过的角度是 30°. ( 　　 ) (4) 相等的角终边一定相同 , 终边相同的角也一定相等 . ( 　　 ) 提示 : (1)×. 锐角的取值范围是 . (2)×. 第一象限角不一定是锐角 . (3)×. 顺时针旋转得到的角是负角 . (4)×. 终边相同的角不一定相等 . 【易错点索引】 序号 易错警示 典题索引 1 结果要表示成集合形式 考点一、 T2 2 在弧长公式中 , 注意角的大小用弧度制 , 不是角度制 考点二、 T1 3 用定义求三角函数值 , 注意判断符号 考点三、角度 3T2 【教材 · 基础自测】 1.( 必修 4P23A 组 T3 改编 ) 已知角 α 的终边过点 P(-8m,-6sin 30°)(m≠0), 且 cos α= , 则 m 的值为 ( 　　 ) 【解析】 选 B. 由 P(-8m,-3)(m≠0) 知点 P 位于第三或第四象限 , 又因为 cos α= <0, 故 α 是第三象限角 , 因此 m>0, 又因为 cos α= = , 所以 m= . 2.( 必修 4P23A 组 T2 改编 ) 若 tan α>0, 则 ( 　　 ) A.sin α>0 　 B.cos α>0 　 C.sin 2α>0 　 D.cos 2α>0 【解析】 选 C. 由 tan α>0 可得 :kπ<α0. 3.( 必修 4P8 习题 1-2T3 改编 ) 在 -720° ～ 0° 范围内 , 所有与角 α=45° 终边相同的角 β 构成的集合为 　　　　 .  【解析】 所有与角 α 终边相同的角可表示为 :β=45°+k×360°(k∈Z), 则令 -720°≤45°+k×360°<0°(k∈Z), 得 -765°≤k×360°<-45°(k∈Z). 解得 k=-2 或 k=-1, 所以 β=-675° 或 β=-315°. 答案 : {-675°,-315°} 核心素养　数学建模 —— 利用圆的特殊性建立模型　 【典例】 如图 , 某大型水上乐园内有一块矩形场地 ABCD,AB=120 米 ,AD=80 米 , 以 AD,BC 为 直径的半圆 O 1 和半圆 O 2 ( 半圆在矩形 ABCD 内部 ) 为两个半圆形水上主题乐 园 ,BC,CD,DA 都建有围墙 , 游客只能从线段 AB 处进出该主题乐园 . 为了进一步提 高经济效益 , 水上乐园管理部门决定沿着 修建不锈钢护栏 , 沿着线段 EF 修 建该主题乐园大门并设置检票口 , 其中 E,F 分别为 上的动点 ,EF∥AB, 且线段 EF 与线段 AB 在圆心 O 1 和 O 2 连线的同侧 . 已知弧线部分的修建费用为 200 元 / 米 , 直线部分的平均修建费用为 400 元 / 米 . (1) 若 EF=80 米 , 则检票等候区域 ( 其中阴影部分 ) 面积为多少平方米 ? (2) 试确定点 E 的位置 , 使得修建费用最低 . 【解析】 (1) 如图 , 设直线 EF 与矩形 ABCD 交于 M,N 两点 , 连 O 1 E,O 2 F, 则 ME=20 米 ,O 1 M=20 米 . 梯形 O 1 O 2 FE 的面积为 ×(120+80)×20 =2 000 ( 平方米 ), 矩形 AO 1 O 2 B 的面积为 120×40=4 800 平方米 , 由 ∠AO 1 E= , 得扇形 O 1 AE 和扇形 O 2 FB 的面积均为 × ×1 600= 平方米 , 故阴影部分面积为 4 800-2 000 - 平方米 . (2) 设 ∠AO 1 E=θ,θ∈ , 则 =40θ, 所以 EF=120-2×40sinθ=120-80sinθ, 修建费用 f(θ)=200×80θ+400×(120-80sinθ)=16 000(θ+3-2sinθ), 所以 f′(θ)=16 000(1-2cosθ), 令 f′(θ)=0, 得 θ= , 当 θ 变化时 ,f′(θ) 、 f(θ) 的变化情况如下表 : 由上表可得当 θ= , 即 ∠AO 1 E= 时 ,f(θ) 有极小值 , 也为最小值 . 故当 ∠AO 1 E 为 时 , 修建费用最低 . θ f′(θ) - 0 + f(θ) ↘ 极小值 ↗ 【技法点拨】 数学建模就是根据实际问题来建立数学模型 , 对数学模型来进行求解 , 然后根据结果去解决实际问题 . 选择恰当的参数建立模型是解题的关键 . 【迁移应用】 　在一块顶角为 120° 、腰长为 2 的等腰三角形厚钢板废料 OAB 中用电焊切割成 扇形 , 现有如图所示两种方案 , 既要充分利用废料 , 又要切割时间最短 , 问哪一 种方案最优 ? 【解析】 因为 △AOB 是顶角为 120° 、腰长为 2 的等腰三角形 , 所以 A=B=30°= ,AM=BN=1,AD=2, 所以方案一中扇形的弧长 =2× = ; 方案二中扇形的弧长 =1× = ; 方案一中扇形的面积 = ×2×2× = , 方案二中扇形的面积 = ×1×1× = . 由此可见 : 两种方案中利用废料面积相等 , 方案一中切割时间短 . 因此方案一最 优 .