浙江省2021届高考数学一轮复习第五章三角函数解三角形第5节三角函数的化简与求值含解析 16页

第5节　三角函数的化简与求值 考试要求　掌握简单的三角函数式的化简、求值及恒等式证明.‎ 知 识 梳 理 ‎1.三角变换 三角变换是重要的代数式变形，变形过程中，不仅需要熟练把握各种三角公式，还需要有一种处理复杂代数式的能力，更需要有一种化归的意识.‎ ‎2.三角恒等变换中常用的方法技巧 ‎(1)角的变换：在化简、求值、证明中，表达式中往往会出现较多的相异角，可根据角与角之间的和差、倍半、互补、互余的关系，运用角的变换，缩小条件与结构中角的差异，使问题获解，此时需熟悉倍角与半角的相对性及角的拆并，变换的技巧，如是 的半角，是的二倍角，2α＝(α＋β)＋(α－β)，α＝(α＋β)－β等.‎ ‎(2)函数名称的变换：在三角函数中，正弦函数、余弦函数是基础，在变形中，通常化切为弦，变异名为同名.‎ ‎(3)常数代换：在三角函数的运算、求值、证明中，有时需要将常数转化为三角函数和或积等形式，例如常数“1”的代换变形为：1＝sin2α＋cos2α＝tan 45°＝sin 90°.‎ ‎(4)幂的变换：升幂和降幂是三角变换中常用的方法，对于次数较高的三角函数式，一般采用降幂处理的方法.‎ ‎(5)公式变形：三角公式是变换的依据，应熟练掌握三角公 式及其逆用和变形应用.例如sin αcos α＝sin 2α，tan A＋tan B＝tan(A＋B)(1－tan Atan B)等.‎ ‎[常用结论与易错提醒]‎ ‎(1)辅助角公式：asin θ＋bcos θ＝sin(θ＋φ)，其中角φ所在象限由a，b的符号确定，且tan φ＝.‎ ‎(2)(选用)万能公式：sin θ＝，cos θ＝，tan θ＝.‎ ‎(3)(选用)三倍角公式：sin 3θ＝3sin θ－4sin3θ，cos 3θ＝4cos3θ－3cos θ，tan 3θ＝.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列说法的正误.‎ ‎(1)＝tan.(　　)‎ ‎(2)在半角公式：sin ＝±，cos ＝±，tan ＝±中，符号由所在象限决定.(　　)‎ ‎(3)tan ＝＝.(　　)‎ ‎(4)cos α＋sin α＝cos(60°＋α).(　　)‎ 解析　cos α＋sin α＝cos 60°cos α＋sin 60°sin α＝cos(60°－α)，(4)不正确.‎ 答案　(1)√　(2)√　(3)√　(4)×‎ ‎2.的值是(　　)‎ A.sin 40° B.cos 40°‎ C.cos 130° D.±cos 50°‎ 解析　原式＝＝|cos 130°|＝cos 50°＝sin 40°.‎ 答案　A ‎3.若cos α＝，且α∈[0，π]，则cos ＋sin 的值是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　∵α∈[0，π]，cos α＝，∴sin α＝＝，则＝1＋sin α＝1＋，检验知B符合上式.‎ 答案　B ‎4.若sin＝，则tan2x＝________.‎ 解析　∵sin＝，∴－cos 2x＝，即cos 2x＝－，∴tan2x＝＝＝＝4.‎ 答案　4‎ ‎5.方程sin x＋cos x＝1在区间[0，2π]上的所有解的和等于________.‎ 解析　sin x＋cos x＝2sin＝1，x∈[0，2π]，解得x1＝，x2＝2π－，∴x1＋x2＝.‎ 答案　 ‎6.定义运算a⊕b＝ab2＋a2b，则sin 15°⊕cos 15°＝________.‎ 解析　由定义运算知sin 15°⊕cos 15°＝sin 15°cos215°＋sin215°cos 15°＝sin 15°cos 15°(cos 15°＋sin 15°)＝×2sin 15°cos 15°sin(45°＋15°)＝.‎ 答案　 考点一　三角函数式的化简 ‎【例1】 化简.‎ 解　原式＝＝＝＝tan θ.‎ 规律方法　三角函数式的化简要遵循“三看”原则：一看角之间的差别与联系，把角进行合理的拆分，正确使用公式；二看函数名称之间的差异，确定使用的公式，常见的有“切化弦”；三看结构特征，找到变形的方向，常见的有“遇到分式要通分”、“遇到根式一般要升幂”等.‎ ‎【训练1】 化简＋(sin2α－cos2α).‎ 解　原式＝－cos 2α ‎＝－cos 2α ‎＝·－cos 2α ‎＝sin 2α－cos 2α＝2sin.‎ 考点二　三角函数式的求值　 多维探究 角度1　给角求值 ‎【例2－1】 求值：[2cos 40°＋sin 10°(1＋tan 10°)].‎ 解　原式＝cos 10°· ‎＝cos 10°· ‎＝2(cos 40°cos 10°＋sin 10°sin 40°)‎ ‎＝2cos 30°‎ ‎＝.‎ 角度2　给值求值 ‎【例2－2】 已知α，β都是锐角，cos α＝，cos(α＋β)＝－，求cos β的值.‎ 解　∵α，β都是锐角，cos α＝，∴sin α＝＝，又0<α＋β<π，cos(α＋β)＝－，‎ ‎∴sin(α＋β)＝＝，‎ 故cos β＝cos[(α＋β)－α]‎ ‎＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α＝－×＋×＝.‎ 角度3　给出关系式求值 ‎【例2－3】 已知sin4θ＋cos4θ＝，求sin 2θ的值.‎ 解　sin4θ＋cos4θ＝(sin2θ＋cos2θ)2－2sin2θcos2θ＝1－2sin2θcos2θ＝，‎ ‎∴2sin2θcos2θ＝，∴sin θcos θ＝±，sin 2θ＝2sin θcos θ＝±.‎ 角度4　给值求角 ‎【例2－4】 若sin 2α＝，sin(β－α)＝，且α∈，β∈，求α＋β的值.‎ 解　∵sin 2α＝，α∈，2α∈，‎ ‎∴cos 2α＝－且α∈，‎ 又∵sin(β－α)＝，β∈，‎ ‎∴cos(β－α)＝－，‎ ‎∴cos(α＋β)＝cos[(β－α)＋2α]‎ ‎＝cos(β－α)cos 2α－sin(β－α)sin 2α ‎＝×－×＝，‎ 又α＋β∈，∴α＋β＝.‎ 规律方法　(1)给角求值时，往往出现特殊角、出现正负项相消、分子分母出现公因式，注意观察化简、求值；‎ ‎(2)给值求值要寻找已知函数值的角与欲求函数值角之间的关系；‎ ‎(3)给出关系式求值，需要对已知关系式灵活变形、化简；‎ ‎(4)给值求角注意先求角的范围，然后再求出在此范围上一种单调函数的角的三角函数值.‎ ‎【训练2】 (1)(角度1)计算：－tan 20°.‎ ‎(2)(角度2)已知α是第一象限角，sin α＝，求tan 的值.‎ ‎(3)(角度3)已知2sin θ＝1－cos θ，求tan θ的值.‎ ‎(4)(角度4)(一题多解)设cos α＝－，tan β＝，π<α<，0<β<，求α－β的值.‎ 解　(1)－tan 20°‎ ‎＝－ ‎＝－ ‎＝－ ‎＝－ ‎＝.‎ ‎(2)因为α是第一象限角，sin α＝，所以cos α＝＝＝ ‎，所以tan α＝＝，tan α＝＝，整理得12tan2＋7tan －12＝0，解得tan ＝或tan ＝－(舍去)，故tan ＝.‎ ‎(3)因为2sin θ＝1－cos θ，‎ 所以4sin cos ＝1－＝2sin2，‎ 解得sin ＝0或2cos ＝sin ，tan ＝0或2，‎ 又tan θ＝，‎ 当tan ＝0时，tan θ＝0；当tan ＝2时，tan θ＝－.‎ ‎(4)法一　由cos α＝－，π<α<，得sin α＝－，‎ tan α＝2，又tan β＝，‎ 于是tan(α－β)＝＝＝1.‎ 又由π<α<，‎ ‎0<β<可得－<－β<0，<α－β<，‎ 因此α－β＝.‎ 法二　由cos α＝－，π<α<得sin α＝－.‎ 由tan β＝，0<β<得sin β＝，cos β＝.‎ 所以sin(α－β)＝sin αcos β－cos αsin β＝‎ －＝－.‎ 又由π<α<，0<β<可得 ‎－<－β<0，<α－β<，因此α－β＝.‎ 考点三　三角函数恒等式的证明 ‎【例3】 证明：－2cos(α＋β)＝.‎ 证明　左端＝ ‎＝ ‎＝＝＝右端.‎ 规律方法　(1)三角函数恒等式的证明要从“角、名、形”进行分析消除两端的差异；‎ ‎(2)常从繁杂一边推出简单的一边，或者两边同时推出一个共同式子，有时需对要证等式先进行等价变换，进而证明其等价命题(等式).‎ ‎【训练3】 证明：cos 4α＋4cos 2α＋3＝8cos4α.‎ 证明　左边＝cos 4α＋4cos 2α＋3‎ ‎＝2cos22α－1＋4cos 2α＋3‎ ‎＝2(cos22α＋2cos 2α＋1)＝2(cos 2α＋1)2‎ ‎＝2(2cos2α－1＋1)2＝2(2cos2α)2＝8cos4α＝右边.‎ 三角函数求值 ‎【例题】 (满分14分)(2018·浙江卷)已知角α的顶点与原点O重合，始边与x轴的非负半轴重合，它的终边过点P.‎ ‎(1)求sin(α＋π)的值；‎ ‎(2)若角β满足sin(α＋β)＝，求cos β的值.‎ 审题路线图 — 满分解答 解　(1)由角α的终边过点P得sin α＝－，2分 所以sin(α＋π)＝－sin α＝.5分 ‎(2)由角α的终边过点P得cos α＝－，7分 由sin(α＋β)＝得cos(α＋β)＝±.10分 由β＝(α＋β)－α得cos β＝cos(α＋β)cos α＋sin(α＋β)sin α，‎ 所以cos β＝－或cos β＝.14分 ‎[构建模板]‎ ‎……利用三角函数定义求三角函数 ‎　 ‎ ‎……诱导公式计算 ‎　 ‎ ‎……平方关系计算 ‎　 ‎ ‎……角的变换 ‎　 ‎ ‎……利用两角差的余弦公式，分类计算 ‎　 ‎ ‎……明确规范的表述结论 ‎【训练】 (2018·江苏卷)已知α，β为锐角，tan α＝，cos(α＋β)＝－.‎ ‎(1)求cos 2α的值；‎ ‎(2)求tan(α－β)的值.‎ 解　(1)因为tan α＝，tan α＝，所以sin α＝cos α.‎ 因为sin2α＋cos2α＝1，所以cos2α＝，‎ 因此cos 2α＝2cos2α－1＝－.‎ ‎(2)因为α，β为锐角，所以α＋β∈(0，π).‎ 又因为cos(α＋β)＝－，所以sin(α＋β)＝＝，因此tan(α＋β)＝－2.‎ 因为tan α＝，所以tan 2α＝＝－，‎ 因此tan(α－β)＝tan[2α－(α＋β)]＝＝－.‎ 基础巩固题组 一、选择题 ‎1.若cos＝，则sin 2α＝(　　)‎ A. B. ‎ C.－ D.－ 解析　∵cos＝，∴sin 2α＝cos ‎＝cos ＝2cos2－1‎ ‎＝2×－1＝－.‎ 答案　D ‎2.若sin＝，则cos＝(　　)‎ A.－ B.－ ‎ C. D. 解析　∵＋＝，∴cos＝sin＝，∴cos＝cos ＝2cos2－1＝2×－1＝－.‎ 答案　A ‎3.计算＝(　　)‎ A.－ B.－ ‎ C. D. 解析　原式＝ ‎＝ ‎＝＝sin 30°＝.‎ 答案　D ‎4.式子tan 11°＋tan 19°＋tan 11°tan 19°的值是(　　)‎ A. B. ‎ C.0 D.1‎ 解析　∵tan 30°＝tan(11°＋19°)＝，‎ ‎∴tan 11°＋tan 19°‎ ‎＝(1－tan 11°tan 19°)，‎ ‎∴原式＝(tan 11°＋tan 19°)＋tan 11°tan 19°‎ ‎＝×(1－tan 11°tan 19°)＋tan 11°tan 19°‎ ‎＝1.‎ 答案　D ‎5.若α∈，且3cos 2α＝sin，则sin 2α的值为(　　)‎ A.－ B. ‎ C.－ D. 解析　由3cos 2α＝sin，‎ 可得3(cos2α－sin2α)＝(cos α－sin α)，‎ 于是3(cos α＋sin α)＝，‎ 所以1＋2sin αcos α＝，‎ 所以sin 2α＝－，故选C.‎ 答案　C ‎6.已知sin α＝，sin(α－β)＝－，α，β均为锐角，则角β＝(　　)‎ A. B. ‎ C. D. 解析　因为α，β均为锐角，所以－<α－β<.‎ 又sin(α－β)＝－，所以cos(α－β)＝.‎ 又sin α＝，所以cos α＝，‎ 所以sin β＝sin[α－(α－β)]‎ ‎＝sin αcos(α－β)－cos αsin(α－β)‎ ‎＝×－×＝.‎ 所以β＝.‎ 答案　C 二、填空题 ‎7.已知sin－cos α＝，则sin＝________.‎ 解析　∵sin－cos α＝cos α－sin α－cos α＝－sin＝，‎ ‎∴sin＝－.‎ 答案　－ ‎8.求值：tan 10°＋＝________.‎ 解析　原式＝＋ ‎＝＋ ‎＝ ‎＝ ‎＝ ‎＝＝ ‎＝.‎ 答案　 ‎9.已知<β<α<，cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，则sin 2α的值是________.‎ 解析　∵<β<α<，∴－<－β<－，‎ ‎∴0<α－β<，π<α＋β<，‎ ‎∵cos(α－β)＝，sin(α＋β)＝－，‎ ‎∴sin(α－β)＝，cos(α＋β)＝－，‎ ‎∴sin 2α＝sin＝×＋×＝－.‎ 答案　－ ‎10.已知sin(x＋20°)＝cos(x＋10°)＋cos(x－10°)，则tan x的值是________.‎ 解析　∵sin(x＋20°)＝cos(x＋10°)＋cos(x－10°)，‎ ‎∴sin xcos 20°＋cos xsin 20°＝2cos xcos 10°，‎ ‎∴tan x＝＝ ‎＝ ‎＝2cos 30°＝.‎ 答案　 三、解答题 ‎11.求值：cos cos cos cos cos cos cos .‎ 解　原式＝·sin cos cos cos ·cos ·cos cos ·cos ‎＝·sin cos cos cos cos cos · ‎＝·sin cos ·cos cos cos ‎＝·sin ·cos cos ‎＝···sin cos cos ‎＝··sin ··sin cos ‎＝··sin ‎＝··sin ‎＝＝.‎ ‎12.已知cos＝，x 解析　∵x∈，y∈，∴0＝＝＝2cos xtan ，∵函数y＝2cos x在区间上单调递减，∴2cos x∈(，2)，∴tan y＝>2cos xtan >tan ，∴y>，∴cos3θ＋cos5θ，又f(x)＝x3＋x5是R上的增函数，所以sin θ>cos θ，故有2kπ＋<θ<2kπ＋(k∈Z)，又θ∈[0，2π)，∴θ的取值范围是.‎ 答案　 ‎16.已知a为正实数，f(x)＝若存在θ∈，满足f(sin θ)＝f(cos θ)，则实数a的取值范围是________.‎ 解析　由题意得对任意x>0，f(a＋x)＝(a＋x)2－a(a＋x)＋1＝x2＋ax＋1，f(a－x)＝(a－x)2－3a(a－x)＋2a2＋1＝x2＋ax＋1，所以函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，又因为当x≥a时，f(x)＝x2－ax＋1＝＋1－，且a>0，所以函数f(x)在(a，＋∞)上单调递增，则由f(sin θ)＝f(cos θ)得a＝＝sin，又因为θ∈，所以θ＋∈，则a＝sin∈.‎ 答案　 ‎17.已知tan(π＋α)＝－，tan(α＋β)＝.‎ ‎(1)求tan(α＋β)的值；‎ ‎(2)求tan β的值.‎ 解　(1)因为tan(π＋α)＝－，‎ 所以tan α＝－，‎ 从而有tan(α＋β)＝ ‎＝ ‎＝＝.‎ ‎(2)tan β＝tan[(α＋β)－α]＝ ‎＝ ‎＝.‎ ‎18.已知α，β∈，且7sin α＝5sin (α＋2β)，‎ ‎(1)求证：tan(α＋β)＝6tan β；‎ ‎(2)若tan α＝3tan β，求α的值.‎ ‎(1)证明　因为7sin α＝5sin(α＋2β)，‎ ‎7sin[(α＋β)－β]＝5sin[(α＋β)＋β]，‎ 得7[sin(α＋β)cos β－cos(α＋β)sin β]‎ ‎＝5[sin(α＋β)cos β＋cos(α＋β)sin β]，‎ 即sin(α＋β)cos β＝6cos(α＋β)sin β.‎ 又因为α，β∈，‎ 则α＋β∈(0，π)，cos α≠0，cos(α＋β)≠0，‎ 所以tan(α＋β)＝6tan β.‎ ‎(2)解　由上可知tan(α＋β)＝6tan β，即＝6tan β.‎ 又因为tan α＝3tan β，代入得 ＝6·tan α，‎ 解得tan α＝1或tan α＝－1(舍)或tan α＝0(舍)，故α＝.‎