高考数学复习练习第3部分 专题二 保温训练卷（一～四） 23页

保温训练卷(一)‎ 一、选择题 ‎1．若复数z满足z(2－i)＝11＋7i(i为虚数单位)，则z为(　　)‎ A．3＋5i　　　　　　　　 B．3－5i C．－3＋5i D．－3－5i 解析：选A　由z(2－i)＝11＋7i，得z＝＝＝＝3＋5i.‎ ‎2．函数f(x)＝x－x的零点有(　　)‎ A．0个 B．1个 C．2个 D．3个 解析：选B　画出函数y1＝x，y2＝x的图像(图略)，可知函数f(x)＝x－x有且仅有一个零点．‎ ‎3．已知向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则k的取值范围是(　　)‎ A．(－2，＋∞) B.∪ C．(－∞，－2) D．(－2,2)‎ 解析：选B　向量a＝(2,1)，b＝(1，k)，且a与b的夹角为锐角，则⇒⇒k∈∪.‎ ‎4．执行如图所示的程序框图，输入正整数n＝8，m＝4，那么输出的p为(　　)‎ A．1 680 B．210‎ C．8 400 D．630‎ 解析：选A　由题意得，k＝1，p＝5；k＝2，p＝30；k＝3，p＝210；k＝4，p＝1 680，k＝4＝m，循环结束，故输出的p为1 680.‎ ‎5．已知某几何体的正视图和侧视图均为如图1所示的图形，则在图2的四个图中可以作为该几何体的俯视图的是(　　)‎ A．(1)(3) B．(1)(3)(4)‎ C．(1)(2)(3) D．(1)(2)(3)(4)‎ 解析：选A　上半部分是球，下半部分是正方体时，俯视图是(1)；上半部分是球，下半部分是圆柱时，俯视图是(3)；(2)中的正视图和侧视图不是轴对称图形；(4)作为俯视图的情况不存在．‎ ‎6．函数f(x)＝ax2＋bx与g(x)＝ax＋b(a≠0，b≠0)的图像画在同一坐标系中，只可能是 ‎(　　)‎ ‎ ‎ A　　　　　　B　　　 　　C　　　　　D 解析：选B　若a>0，选项A错误；若a<0，选项D错误；函数f(x)＝ax2＋bx图像必过原点，选项C错误．‎ ‎7．已知函数f(x)＝2sin(ω>0)的最小正周期为π，则f(x)的单调递增区间是(　　)‎ A.(k∈Z)‎ B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z)‎ D.(k∈Z)‎ 解析：选D　因为T＝＝π，所以ω＝2，所以函数为f(x)＝2sin.由－＋2kπ≤2x－≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ，即函数的单调递增区间是(k∈Z)．‎ ‎8．设变量x，y满足约束条件则目标函数z＝2y－3x的最大值为(　　)‎ A．2 B．3‎ C．4 D．5‎ 解析：选C　不等式组所表示的平面区域如图，目标函数z＝2y－3x的最大值即y＝x＋的纵截距的最大值，由图可知，当目标函数过点(0,2)时z取得最大值，zmax＝4.‎ 二、填空题 ‎9．若n的展开式中二项式系数之和是1 024，常数项为180，则实数a的值是________．‎ 解析：依题意，2n＝1 024，n＝10，通项公式为Tr＋1＝C(－a)rx，令5－r＝0，得r＝2，所以C(－a)2＝180，解得a＝±2.‎ 答案：±2‎ ‎10．挑选空军飞行员可以说是万里挑一，要想通过需要过五关：目测、初检、复检、文考(文化考试)、政审，若某校甲、乙、丙三位同学都顺利通过了前两关，根据分析甲、乙、丙三位同学能通过复检的概率分别是0.5，0.6,0.7，则甲、乙、丙三位同学中恰好有一人通过复检的概率为________．‎ 解析：由题意知，所求概率P＝0.5×(1－0.6)×(1－0.7)＋(1－0.5)×0.6×(1－0.7)＋(1－0.5)×(1－0.6)×0.7＝0.29.‎ 答案：0.29‎ ‎11．由直线y＝x＋1上的一点向圆(x－3)2＋y2＝1引切线，则切线长的最小值为________．‎ 解析：显然圆心到直线的距离最小时，切线长也最小．圆心(3,0)到直线的距离d＝＝2，所以切线长的最小值为＝.‎ 答案： 三、解答题 ‎12．设△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c，且有2sin Bcos A＝sin Acos C＋cos Asin C.‎ ‎(1)求角A的大小；‎ ‎(2)若b＝2，c＝1，D为BC的中点，求AD的长．‎ 解：(1)由A＋C＝π－B，且A，B∈(0，π)，可得sin(A＋C)＝sin B>0，‎ ‎∴2sin Bcos A＝sin Acos C＋cos Asin C＝sin(A＋C)＝sin B，‎ ‎∴cos A＝，即A＝.‎ ‎(2)由余弦定理，可得a2＝b2＋c2－2bccos A，‎ ‎∵A＝，b＝2，c＝1，‎ ‎∴a＝，于是b2＝a2＋c2，即B＝.‎ 在Rt△ABD中，‎ AD＝＝ ＝.‎ ‎13．已知各项均不相等的等差数列{an}的前5项和为S5＝35，a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比数列．‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设Tn为数列的前n项和，问是否存在常数m，使Tn＝m，若存在，求m的值；若不存在，说明理由．‎ 解：(1)设数列{an}的公差为d，由S5＝35，可得a3＝7，即a1＋2d＝7.‎ 又a1＋1，a3＋1，a7＋1成等比数列，‎ 所以82＝(8－2d)(8＋4d)，‎ 解得a1＝3，d＝2，所以an＝2n＋1.‎ ‎(2)Sn＝n(n＋2)，＝＝.‎ 所以Tn＝－‎ ‎＝＝，故存在常数m＝使等式成立．‎ ‎14．已知函数f(x)＝ln x－ax2－2x.‎ ‎(1)若函数f(x)在x＝2处取得极值，求实数a的值；‎ ‎(2)若函数f(x)在定义域内单调递增，求实数a的取值范围；‎ ‎(3)当a＝－时，关于x的方程f(x)＝－x＋b在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，求实数b的取值范围．‎ 解：(1)f′(x)＝－(x>0)，‎ 因为x＝2时，f(x)取得极值，‎ 所以f′(2)＝0，解得a＝－，经检验符合题意．‎ ‎(2)函数f(x)定义域为(0，＋∞)，依题意f′(x)≥0在x>0时恒成立，即ax2＋2x－1≤0在x>0时恒成立．‎ 则a≤＝2－1在x>0时恒成立，‎ 即a≤min(x>0)，‎ 当x＝1时，2－1取最小值－1.‎ 故a的取值范围是(－∞，－1]．‎ ‎(3)a＝－，f(x)＝－x＋b，即x2－x＋ln x－b＝0.‎ 设g(x)＝x2－x＋ln x－b(x>0)．‎ 则g′(x)＝.‎ g′(x)，g(x)随x的变化情况如下表：‎ x ‎(0,1)‎ ‎1‎ ‎(1,2)‎ ‎2‎ ‎(2,4)‎ g′(x)‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ g(x)‎  极大值  极小值  ‎∴g(x)极小值＝g(2)＝ln 2－b－2，g(x)极大值＝g(1)＝－b－，又g(4)＝2ln 2－b－2.‎ ‎∵方程g(x)＝0在[1,4]上恰有两个不相等的实数根，‎ 则得ln 2－23.841.因此，在犯错误的概率不超过0.050的前提下认为“对激素敏感与性别有关”．即有95%以上的把握认为“对激素敏感与性别有关”．‎ ‎3．已知实数a>1，命题p：函数y＝log(x2＋2x＋a)的定义域为R，命题q：x2<1是x1时，y＝log(x2＋2x＋a)的真数恒大于零，故定义域是R，p是真命题；当a>1时，x2<1的解集是x，1＋＋>1,1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>2,1＋＋＋…＋>，…，由此猜想第n个不等式为________．‎ 解析：1>，1＋＋>，1＋＋＋…＋>，1＋＋＋…＋>，…，可猜想第n个不等式为1＋＋＋…＋>.‎ 答案：1＋＋＋…＋> ‎11．直线l1与l2相交于点A，动点B，C分别在直线l1与l2上且异于点A，若与的夹角为60°，||＝2，则△ABC的外接圆的面积为________．‎ 解析：由题意，在△ABC中，∠BAC＝60°，BC＝2，由正弦定理可知＝＝2R，其中R为△ABC外接圆的半径，由此得R＝2，故所求面积S＝πR2＝4π.‎ 答案：4π 三、解答题 ‎12．设A，B是治疗同一种疾病的两种药，用若干试验组进行对比试验．每个试验组由4只小白鼠组成，其中2只服用A，另2只服用B，然后观察疗效．若在一个试验组中，服用A有效的小白鼠的只数比服用B有效的只数多，就称该试验组为甲类组．设每只小白鼠服用A有效的概率为，服用B有效的概率为.‎ ‎(1)求一个试验组为甲类组的概率；‎ ‎(2)观察三个试验组，用X表示这三个试验组中甲类组的个数，求X的分布列和数学期望．‎ 解：(1)设Ai表示事件“一个试验组中，服用A有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2；Bi表示事件“一个试验组中，服用B有效的小白鼠有i只”，i＝0,1,2.依题意，有 P(A1)＝2××＝，P(A2)＝×＝，‎ P(B0)＝×＝，P(B1)＝2××＝.‎ 故所求的概率为P＝P(B‎0A1)＋P(B‎0A2)＋P(B‎1A2)＝×＋×＋×＝.‎ ‎(2)由题意知X的可能值为0,1,2,3，故有 P(X＝0)＝3＝，‎ P(X＝1)＝C××2＝，‎ P(X＝2)＝C×2×＝，‎ P(X＝3)＝3＝.‎ 从而，X的分布列为 X ‎0‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎3‎ P 数学期望E(X)＝0×＋1×＋2×＋3×＝.‎ ‎13．如图，在三棱柱ABCA1B‎1C1中，侧面AA‎1C1C⊥底面ABC，AA1＝A‎1C＝AC＝2，AB＝BC，AB⊥BC，O为AC的中点．‎ ‎(1)证明：A1O⊥平面ABC；‎ ‎(2)求直线A‎1C与平面A1AB所成的角的正弦值；‎ ‎(3)在BC1上是否存在一点E，使得OE∥平面A1AB？若存在，确定点E的位置；若不存在，说明理由．‎ 解：(1)证明：∵AA1＝A‎1C＝AC＝2，且O为AC的中点，∴A1O⊥AC.‎ ‎∵侧面AA‎1C1C⊥底面ABC，交线为AC，A1O⊂平面A‎1AC，∴A1O⊥平面ABC.‎ ‎(2)连接OB，如图，以O为原点，分别以OB、OC、OA1所在直线为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系，则由题可知B(1,0,0)，C(0,1,0)，A1(0，0，)，A(0，－1,0)．‎ ‎∴＝(0,1，－)．‎ 令平面A1AB的法向量为n＝(x，y，z)，则n·＝n·＝0，而＝(0,1，)，＝(1,1,0)，可求得一个法向量n＝(3，－3，)，‎ ‎∴|cos〈，n〉|＝＝＝，故直线A‎1C与平面A1AB所成角的正弦值为.‎ ‎(3)存在点E，且E为线段BC1的中点．‎ 连接B‎1C交BC1于点M，连接AB1、OM，则M为B‎1C的中点，从而OM是△CAB1的一条中位线，即OM∥AB1，又AB1⊂平面A1AB，OM⊄平面A1AB，∴OM∥平面A1AB，故BC1的中点M即为所求的E点．‎ ‎14．椭圆C：＋＝1(a>b>0)的两个焦点为F1，F2，点P在椭圆C上，满足PF1⊥F‎1F2，|PF1|＝，|PF2|＝.‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)若直线l过圆M：x2＋y2＋4x－2y＝0的圆心，交椭圆C于A，B两点，且点A，B关于点M对称，求直线l的方程．‎ 解：(1)因为点P在椭圆C上，所以‎2a＝|PF1|＋|PF2|＝6，a＝3.‎ 在Rt△PF‎1F2中，|F‎1F2|＝＝2，‎ 故椭圆的半焦距c＝，从而b2＝a2－c2＝4，‎ 所以椭圆C的方程为＋＝1.‎ ‎(2)设点A，B的坐标分别为(x1，y1)，(x2，y2)．‎ 已知圆的方程为(x＋2)2＋(y－1)2＝5，‎ 所以圆心M的坐标为(－2,1)．‎ 易知垂直于x轴且过点M的直线l不满足条件，从而可设直线l的方程为y＝k(x＋2)＋1，‎ 代入椭圆C的方程得(4＋9k2)x2＋(36k2＋18k)x＋36k2＋36k－27＝0，因为点A，B关于点M对称，所以＝－＝－2，解得k＝.‎ 所以直线l的方程为y＝(x＋2)＋1，‎ 即8x－9y＋25＝0.‎ 保温训练卷(三)‎ 一、选择题 ‎1．已知集合A＝{1,2,3,4,5}，B＝{t|t＝x＋y，x∈A，y∈A}，则B中所含元素的和为(　　)‎ A．45 B．48‎ C．54 D．55‎ 解析：选C　集合B中的元素是由集合A中的任意两个元素相加得到的(元素可以相同)，故集合B＝{2,3,4,5,6,7,8,9,10}，B中所含元素的和为54.‎ ‎2．函数f(x)＝log2x＋x－4的零点所在的区间是(　　)‎ A. B．(1,2)‎ C．(2,3) D．(3,4)‎ 解析：选C　f＝－，f(1)＝－3，f(2)＝－1，f(3)＝log23－1>0，f(4)＝2，根据零点存在性定理，所以函数f(x)在区间(2,3)内有零点．‎ ‎3．设a，b分别为先后抛掷一枚骰子得到的点数，则在先后两次出现的点数中有5的条件下，方程x2＋ax＋b＝0有实根的概率是(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选A　若第1次没有5，则第2次必是5，所以试验发生包含的事件数为6＋5＝11.‎ 方程x2＋ax＋b＝0有实根要满足a2－4b≥0，‎ 当a＝5时，b＝1,2,3,4,5,6；‎ 当b＝5时，a＝6，‎ 则共有6＋1＝7种结果，‎ ‎∴满足条件的概率是.‎ ‎4．如图，三棱柱ABCA1B‎1C1中，侧棱AA1⊥底面A1B‎1C1，△A1B‎1C1是正三角形，E是BC的中点，则下列叙述正确的是(　　)‎ A．CC1与B1E是异面直线 B．AE，B‎1C1为异面直线，且AE⊥B‎1C1‎ C．AC⊥平面ABB‎1A1‎ D．A‎1C1∥平面AB1E 解析：选B　A不正确，因为CC1与B1E在同一个侧面中；B正确，易知AE，B‎1C1是异面直线，且AE⊥BC，BC∥B‎1C1，所以AE⊥B‎1C1；C不正确，取AB的中点M，则CM⊥平面ABB‎1A1；D不正确，因为A‎1C1所在的平面ACC‎1A1与平面AB1E相交，且A‎1C1与交线有公共点，故A‎1C1∥平面AB1E不正确．‎ ‎5．已知函数f(x)＝则满足不等式f(3－x2)成立，则m的最大正整数是________．‎ 解析：设{an}的首项为a1，公差为d，由a3＝3，S6＝21可得解得 ‎∴an＝n，＝，Sn＝1＋＋…＋.‎ 令Tn＝S2n－Sn＝＋＋…＋，‎ 则Tn＋1＝＋＋…＋＋＋，‎ Tn＋1－Tn＝＋－≥＋－＝0，‎ ‎∴Tn＋1>Tn.若对一切n∈N*，恒有S2n－Sn>，则T1＝S2－S1＝>，m<8，故m的最大正整数是7.‎ 答案：7‎ 三、解答题 ‎12．已知函数f(x)＝sin xcos x＋cos2x＋a.‎ ‎(1)求f(x)的最小正周期及单调递减区间；‎ ‎(2)若f(x)在区间上的最大值与最小值的和为，求a的值．‎ 解：(1)因为f(x)＝sin 2x＋＋a＝sin＋a＋，‎ 所以T＝π.‎ 由＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，k∈Z，‎ 得＋kπ≤x≤＋kπ，k∈Z.‎ 故函数f(x)的单调递减区间是(k∈Z)．‎ ‎(2)因为－≤x≤，‎ 所以－≤2x＋≤，－≤sin≤1.‎ 因为函数f(x)在上的最大值与最小值的和为＋＝，所以a＝0.‎ ‎13．已知数列{2n－1·an}的前n项和Sn＝1－.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式；‎ ‎(2)设bn＝，求数列的前n项和．‎ 解：(1)由题意知：Sn－1＝1－(n≥2)，‎ ‎∵2n－1·an＝Sn－Sn－1，‎ ‎∴2n－1·an＝－.‎ ‎∴an＝－＝－2－n(n≥2)．‎ ‎∵21－1·a1＝S1＝1－，‎ ‎∴a1＝，‎ ‎∴an＝ ‎(2)由题意知bn＝＝＝(n≥2)，‎ ‎∴＝n·2n(n≥2)．‎ ‎∵＝＝2，‎ ‎∴＝n·2n(n≥1)．‎ 设的前n项和为S，‎ 则S＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n×2n，‎ ‎2S＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋(n－1)×2n＋n×2n＋1，‎ ‎∴S－2S＝1×2＋22＋23＋…＋2n－n×2n＋1＝2＋22＋…＋2n－n×2n＋1，‎ ‎∴－S＝(1－n)×2n＋1－2，‎ ‎∴S＝(n－1)×2n＋1＋2.‎ ‎14．已知椭圆C：＋＝1(a>b>0)的左，右焦点分别为F1，F2，点A在椭圆C上， ·＝0,3||·||＝－5·，||＝2，过点F2且与坐标轴不垂直的直线交椭圆于P，Q两点．‎ ‎(1)求椭圆C的方程；‎ ‎(2)线段OF2(O为坐标原点)上是否存在点M(m,0)，使得·＝·？若存在，求出实数m的取值范围；若不存在，说明理由．‎ 解：(1)由题意知，∠AF‎1F2＝90°，cos∠F1AF2＝，且||＝2，所以||＝，||＝，‎2a＝||＋||＝4，‎ 所以a＝2，c＝1，b2＝a2－c2＝3，‎ 故所求椭圆的方程为＋＝1.‎ ‎(2)假设存在这样的点M符合题意．‎ 设线段PQ的中点为N，P(x1，y1)，Q(x2，y2)，N(x0，y0)，直线PQ的斜率为k(k≠0)，‎ 且过点F2(1,0)，则直线PQ的方程为y＝k(x－1)，‎ 由得(4k2＋3)x2－8k2x＋4k2－12＝0，‎ 所以x1＋x2＝，故x0＝＝.‎ 又点N在直线PQ上，所以N.‎ 由·＝·，‎ 可得·(＋)＝2·＝0，‎ 即PQ⊥MN，所以kMN＝＝－，‎ 整理得m＝＝∈，‎ 所以线段OF2上存在点M(m,0)符合题意，其中m∈.‎ 保温训练卷(四)‎ 一、选择题 ‎1．命题“∀x∈R，x2－x＋≥‎0”‎的否定是(　　)‎ A．∀x∈R，x2－x＋>0‎ B．∃x0∈R，x－x0＋≥0‎ C．∃x0∈R，x－x0＋<0‎ D．∀x∈R，x2－x＋<0‎ 解析：选C　全称命题的否定是特称命题，结合选项可知选C.‎ ‎2．已知tan(α＋β)＝，tan＝，那么tan＝(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选B　tan＝tan＝＝.‎ ‎3．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线方程是y＝x，则该双曲线的离心率为(　　)‎ A. B. C. D. 解析：选C　依题意，＝，所以b＝a，c＝a.故e＝.‎ ‎4．如图所示的程序框图输出的所有点都在函数(　　)‎ A．y＝x＋1的图像上 B．y＝2x的图像上 C．y＝2x的图像上 D．y＝2x－1的图像上 解析：选D　依题意，运行程序框图，输出的点依次为(1,1)，(2,2)，(3,4)，(4,8)，易知这四个点均在y＝2x－1的图像上．‎ ‎5．把函数y＝sin的图像向左平移个单位后，所得函数的单调递增区间为(　　)‎ A.(k∈Z)‎ B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z)‎ D.(k∈Z)‎ 解析：选B　依题意，把函数y＝sin的图像向左平移个单位后，所得函数为y＝sin，由－＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ，得－＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z)，所以所得函数的单调递增区间为(k∈Z)．‎ ‎6．已知实数a、b满足等式‎2a＝3b，下列五个关系式：①00.‎ ‎(1)若曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋1垂直，求a的值；‎ ‎(2)若函数f(x)在区间[1,2]上的最小值为，求a的值．‎ 解：f′(x)＝＋＝－＝(x>0)．‎ ‎(1)∵曲线y＝f(x)在点(1，f(1))处的切线与直线y＝x＋1垂直，‎ ‎∴f′(1)＝－2，即1－a＝－2，解得a＝3.‎ ‎(2)①当00在[1,2]上恒成立，‎ 这时f(x)在[1,2]上为增函数，‎ ‎∴f(x)min＝f(1)＝a－1，‎ ‎∴a－1＝，a＝，与00，f(x)在(a,2]上为增函数，∴f(x)min＝f(a)＝ln a，‎ ‎∴ln a＝，a＝，满足题设；‎ ‎③当a≥2时，f′(x)<0在(1,2)上恒成立，这时f(x)在[1,2]上为减函数，‎ ‎∴f(x)min＝f(2)＝ln 2＋－1，‎ ‎∴ln 2＋－1＝，a＝3－2ln 2，与a≥2矛盾，舍去；‎ 综上得a＝.‎