百师联盟2020届高三月考五（全国卷1）数学（理）试题 Word版含解析 23页

www.ks5u.com 百师联盟2020届高三月考五全国卷Ⅰ理科数学试卷 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知集合，集合，则（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据对数真数为正实数化简集合的表示，根据补集的定义、交集的定义进行求解即可.‎ ‎【详解】，得，则，所以，‎ 即．‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了集合补集和交集的运算，考查了对数型函数的定义域，考查了数学运算能力.‎ ‎2.高一2班有45名学生，学号为01-45，为弘扬中国古诗词文化，现采用随机数表法从该班抽取7名同学参加校园诗词朗诵大赛，从随机数表第5行第15个数开始向右数，随机数表的第5行和第6行，则抽取的第7个同学的学号是( )‎ ‎16 22 77 94 39 49 54 43 54 82 17 37 93 23 78 87 35 20 96 43 84 26 34 91 64‎ ‎84 42 17 53 31 57 24 55 06 88 77 04 74 47 67 21 76 33 50 25 83 92 12 06 76‎ A. 26 B. 35 C. 20 D. 43‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据随机数的读取规则，结合表中数据，即可求得结果.‎ ‎【详解】选取的7名同学的学号依次为43，17，37，23，35，20，26.‎ 所以抽取的第7个同学的学号是26.‎ 故选：A.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查随机数表法的操作，属简单题.‎ ‎3.已知定义在上的奇函数在上单调递增，且满足，则不等式的解集为（ ）．‎ A B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据奇函数的性质先判断奇函数的单调性，再根据单调性和奇函数的性质进行求解即可.‎ ‎【详解】由奇函数图象性质知的图象在上单调递增，，‎ 则，即，所以，解得．‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了奇函数的性质，考查了利用单调性求解不等式解集问题，考查了数学运算能力.‎ ‎4.已知点是双曲线的左焦点，点是该双曲线渐近线上一点，若是等边三角形（其中为坐标原点），则双曲线的离心率为（ ）．‎ A. B. 2 C. 3 D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据等边三角形的性质，结合双曲线渐近线方程、离心率公式、之间的关系进行求解即可.‎ ‎【详解】由在渐近线上且是等边三角形，其中一条渐近线的斜率，所以离心率．‎ - 23 -‎ 故选：B ‎【点睛】本题考查了求双曲线的离心率，考查了等边三角形的性质，考查了数学运算能力.‎ ‎5.希尔伯特在1900年提出了孪生素数猜想，其内容是：在自然数集中，孪生素数对有无穷多个．其中孪生素数就是指相差2的素数对，即若和均是素数，素数对称为孪生素数．从15以内的素数中任取两个，其中能构成孪生素数的概率为（ ）．‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求出15以内的素数，然后再确定素数对，最后根据古典概型计算公式进行求解即可.‎ ‎【详解】依题意，15以内的素数有2，3，5，7，11，13，共有6个，由列举可知．从中选取两个共包含15个基本事件，而孪生素数有，，三对，包含3个基本事件，所以概率为．‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了数学阅读能力，考查了古典概型计算公式，考查了数学运算能力.‎ ‎6.图1中茎叶图是某班英语测试中学号为1至15号同学的成绩，学生成绩的编号依次为，，，…，，则运行图2的程序框图，输出结果为（ ）．‎ ‎ ‎ A. 121 B. 119 C. 10 D. 5‎ ‎【答案】C - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过执行程序框图识别框图的功能，再根据茎叶图统计出相应分数的人的个数即可.‎ ‎【详解】由程序框图可知该框图的功能是统计分数不小于120分的人数．通过茎叶图可知分数不小于120分的人数为10.‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查了程序框图的功能，考查了茎叶图的应用，属于中档题.‎ ‎7.函数的部分图象，如图，则( )‎ A. B. C. 1 D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由函数最值和周期性求得，由五点作图法求得，即可求得函数解析式和函数值.‎ ‎【详解】因为的最大值为，最小值为，故可得；‎ 因为的周期，故可得；‎ 由五点作图法即可得：，解得.‎ 故可得，则.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查由三角函数的图像求函数解析式，属基础题.‎ ‎8.已知向量和向量满足，且，则向量与的夹角为（ ）．‎ - 23 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据平面向量模的运算性质，结合平面向量夹角公式进行求解即可.‎ ‎【详解】因为，所以有，‎ 所以化简得：，，‎ ‎，所以．‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了平面向量夹角公式的应用，考查了平面向量模的运算性质，考查了数量积的运算性质，考查了数学运算能力.‎ ‎9.已知函数，则下列能正确表示函数（粗线）及导函数（细线）图象的是( )‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据的奇偶性，以及的大小，即可判断.‎ - 23 -‎ ‎【详解】，故可得，‎ 又，‎ 所以是偶函数，故排除；‎ 因为，故排除；‎ ‎，故排除；‎ 只有满足所有条件.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查原函数与导函数的图像，涉及导函数的求解，属综合基础题.‎ ‎10.在的展开式中的系数为( )‎ A. 20 B. 19 C. 10 D. 9‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据展开式的通项公式，结合的产生，即可求得结果.‎ ‎【详解】二项式展开式的通项公式，，，‎ 则的展开式中的系数为.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查利用二项式定理求指定项的系数，属基础题.‎ ‎11.已知函数，则函数图象与直线的交点个数为（ ）．‎ A. 5 B. 6 C. 4 D. 3‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ 画出函数的图象，问题转化为方程的根的个数，运用换元法，结合函数图象，分类讨论进行求解即可.‎ ‎【详解】如图为函数的图象，函数图象与直线的交点个数即为方程的根的个数，令，则．即寻找直线与图象的交点个数．当时，，得，与的图象1个交点；当时，，解得或（舍），当时，，与图象的2个交点．‎ 综上所述，直线与图象一共4个交点．即满足题意的交点个数为3个．‎ 故选：D ‎【点睛】本题考查了两个函数图象交点个数问题，考查了数形结合思想，考查了数学运算能力.‎ ‎12.已知点，分别是抛物线和圆上的动点，点，则的最小值为( )‎ A. 10 B. 4 C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设出点的坐标，用表示出；根据圆上一点到定点距离的范围，求得的最大值，再利用均值不等式求得目标式的最值.‎ - 23 -‎ ‎【详解】设点，因为点在抛物线上，所以，‎ 因为点，则.‎ 又知点在圆上，圆心为抛物线的焦点，‎ 要使的值最小，则的值应最大，即.‎ 所以 当且仅当时等号成立.‎ 所以的最小值为4.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查抛物线上一点到定点距离的求解，以及圆上一点到定点距离的最值，利用均值不等式求最值，属综合中档题.‎ 二、填空题：本题共4小题，每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知，则__________‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用与之间的关系，利用诱导公式和正弦的倍角公式，即可求得结果.‎ ‎【详解】由题 ‎，‎ - 23 -‎ 即可得.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用诱导公式，正弦的倍角公式化简求值，属基础题.‎ ‎14.在复平面内，复数满足：，则复数对应的点的轨迹方程是__________．‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设对应点，根据复数模的计算公式，结合椭圆的定义进行求解即可.‎ ‎【详解】设对应点，则，设点，，则，所以点在以，为焦点的椭圆上，轨迹方程为．‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查了复数模的计算公式，考查了椭圆的定义，考查了数学运算能力.‎ ‎15.如图在等腰直角三角形中，斜边，为中点，将沿中线折叠得到三棱锥，若，则该三棱锥外接球的表面积为__________.‎ ‎ ‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ 将三棱锥补为三棱柱，求得三棱柱的外接球半径，即可求得结果.‎ ‎【详解】将该三棱锥补成三棱柱，如下图所示：‎ 又因为是边长为2的等边三角形，‎ 故其外接圆半径；‎ 又棱柱的高；‎ 则该三棱柱的外接球半径.‎ 所以外接球表面积为.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查三棱锥外接球表面积的求解，属中档题.‎ ‎16.在边长为等边中，是中心，直线经过点且与，两边分别交于，两点，则的最大值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设，在中由正弦定理，用表示出，再利用正余弦的和角公式，将表示为的函数，求该函数的最值即可.‎ - 23 -‎ ‎【详解】设中点为，，，如下图所示：‎ 因为是重心，所以.‎ 在中，由正弦定理得，，‎ 所以，‎ 同理在中，由正弦定理得.‎ 所以，‎ ‎，‎ 当时，.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查利用正余弦定理求解三角形中的最值问题，涉及三角函数最值的求解，属综合中档题；本题中，选择角度为变量，是解决问题的关键.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说眀、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题，考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：60分.‎ - 23 -‎ ‎17.已知数列的首项为1，当时，其前项和满足.‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）设，为数列的前项和，求满足的最小的值.‎ ‎【答案】（1）；（2）20‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用之间的关系，将递推公式转化为之间的关系，构造数列，求得，进而求得；‎ ‎（2）由（1）中所求，解得，利用裂项求和法求得，解不等式即可求得结果.‎ ‎【详解】（1）在数列中，，‎ 当时，，即，‎ 所以，化简得.‎ 所以数列是首项为1，公差为1的等差数列，‎ 所以，解得.‎ 当时，.‎ 当时不满足，‎ 所以.‎ - 23 -‎ ‎（2）由（1）知，‎ 所以.‎ ‎.‎ 若，即，解得.‎ 所以满足的最小的值为20.‎ ‎【点睛】本题考查利用求数列的通项公式，裂项求和法求数列的前项和，属综合中档题.‎ ‎18.在三棱柱中，底面是以为斜边的等腰直角三角形，侧面是菱形且与底面垂直，，点是中点，点是上靠近点的三等分点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求二面角的余弦值.‎ ‎【答案】（1）证明见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）连接交交于，连接，通过证明//，即可得证线面平行；‎ ‎（2）以中点，建立空间直角坐标系，求得两个平面的法向量，通过向量法即可求得二面角的余弦值.‎ ‎【详解】（1）连接，交于点，连接.‎ - 23 -‎ 因为，所以,‎ 又因为，所以，所以，‎ 又平面，平面，‎ 所以平面.‎ ‎（2）过作于，‎ 因为，所以是线段的中点.‎ 因为平面平面，平面平面，‎ 所以平面，连接，‎ 因为是等边三角形，是线段的中点，所以.‎ 所以 平面 .‎ 如图，以为原点，，，所在直线 分别为轴，轴，轴建立空间直角坐标，‎ 不妨设，则，，，，，‎ 由，得，‎ - 23 -‎ 则的中点，‎ 从而，.‎ 设平面的法向量为，‎ 则，即，‎ 不妨取，得，即.‎ 易知平面一个法向量为，‎ 则，‎ 所以二面角的余弦值为.‎ ‎【点睛】本题考查由线线平行推证线面平行，以及用向量法求解二面角的大小，属综合中档题；本题的难点在于合理的建系.‎ ‎19.已知点，是椭圆的左、右焦点，点是该椭圆上一点，若当时，面积达到最大，最大值为．‎ ‎（1）求椭圆的标准方程；‎ ‎（2）设为坐标原点，是否存在过左焦点的直线，与椭圆交于，两点，使得的面积为？若存在，求出直线的方程；若不存在，说明理由．‎ ‎【答案】（1）（2）存在，直线方程为或．‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 23 -‎ ‎（1）根据椭圆焦点三角形的性质，结合，进行求解即可；‎ ‎（2）设出直线的方程，与椭圆的方程联立，根据弦长公式，结合一元二次方程根与系数的关系进行求解即可.‎ ‎【详解】（1）由题可知当点在短轴端点时，面积最大，值为①，此时，，所以②，又知③，由上述3个式子解得，，．‎ 所以椭圆的标准方程为．‎ ‎（2）存在，由（1），由题意可知直线与轴不重合，所以设，‎ 与椭圆方程联立得，‎ 则，，，‎ 则，‎ ‎，解得，‎ 即直线方程为或．‎ ‎【点睛】本题考查了椭圆焦点三角形的性质，考查了已知椭圆弦长求直线方程问题，考查了数学运算能力.‎ ‎20.已知函数.‎ ‎（1）当时，求函数的单调区间；‎ ‎（2）若当时，总有，求的最大值.‎ ‎【答案】（1）的单调递减区间为，单调递增区间为；（2）5.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导，根据导数的正负即可判断函数的单调性，从而求得函数的单调区间；‎ - 23 -‎ ‎（2）分离参数，构造函数，利用导数求得该函数最小值的范围，即可求得参数的范围.‎ ‎【详解】（1）当时，，定义域为，，‎ 由得，由得，‎ 所以函数在上单调递减，在上单调递增.‎ 即函数的单调递减区间为，单调递增区间为.‎ ‎（2）由题当时，恒成立，‎ 即在时恒成立，‎ 即在时恒成立，‎ 令，则，‎ 令，‎ 则在时恒成立.‎ 所以在上单调递增，又知，，‎ 所以在上存在唯一实数，满足，即，‎ 当时，，即；‎ 当时，，即.‎ 所以函数在上单调递减；在上单调递增.‎ 即.‎ 由在时恒成立，‎ 所以，又知，所以整数的最大值为5.‎ - 23 -‎ ‎【点睛】本题考查利用导数求函数的单调区间，以及利用导数求函数的最值，涉及分离参数法，属综合中档题.‎ ‎21.某工厂生产某款机器零件，因为要求精度比较高，所以需要对生产的一大批零件进行质量检测.首先由专家根据各种系数制定了质量指标值，从生产的大批零件中选取100件作为样本进行评估，根据评估结果作出如图所示的频率分布直方图.‎ ‎（1）（ⅰ）根据直方图求及这100个零件的样本平均数（同一组数据用该组数据区间的中点值表示）；‎ ‎（ⅱ）以样本估计总体，经过专家研究，零件的质量指标值，试估计10000件零件质量指标值在内的件数；‎ ‎（2）设每个零件利润为元，质量指标值为，利润与质量指标值之间满足函数关系.假设同组中的每个数据用该组区间的中点值代替，试估算该批零件的平均利润.（结果四舍五入，保留整数）‎ 参考数据：，则，，‎ ‎【答案】（1）（ⅰ），；（ⅱ）8186；（2）182元.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）（ⅰ）利用频率分布直方图的面积为，求得；再根据频率分布直方图求平均数即可；‎ ‎（ⅱ）根据正态分布的概率计算，结合（1）中所求，即可求得质量指标值在内的概率，进而结合总体数量求得结果；‎ ‎（2）根据题意，结合利润计算的函数关系，即可容易求得.‎ - 23 -‎ ‎【详解】（1）（ⅰ）由，‎ 解得.‎ ‎（ⅱ）由题，‎ 所以.‎ ‎.‎ 所以10000件零件质量指标值在内的件数约为8186.‎ ‎（2）由题意得 该零件的平均利润为182元.‎ ‎【点睛】本题考查频率分布直方图中参数和平均数的求解，正态分布的概率计算，属综合中档题.‎ ‎（二）选考题：10分.请考生在第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时请写清题号.‎ 选修4-4：坐标系与参数方程 ‎22.已知极点与平面直角坐标系的原点重合，极轴与轴的正半轴重合，直线的参数方程为（是参数），曲线的极坐标方程为．‎ ‎（1）求直线的普通方程与曲线的直角坐标方程；‎ ‎（2）设直线与曲线交于，两点，点为曲线上一点，求使面积取得最大值时的点坐标．‎ ‎【答案】（1）；．（2）‎ - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用加减相元法把直线的参数方程化为普通方程，根据极坐标方程与直角方程互化公式把曲线的极坐标方程化成直角坐标方程；‎ ‎（2）由题知线段的长度为定值，若使面积取得最大值，只需点到直线的距离最大．根据椭圆的参数方程表示点的坐标，根据点到直线距离，结合辅助角公式进行求解即可.‎ ‎【详解】（1）直线的参数方程消参，得普通方程为；‎ 将代入曲线的极坐标方程，‎ 得曲线的直角坐标方程为．‎ ‎（2）由题知线段的长度为定值，若使面积取得最大值，只需点到直线的距离最大．‎ 因为点在曲线上，所以设，‎ 则点到直线的距离为 ‎，‎ 其中，．当且仅当时，等号成立．‎ 此时，，即．‎ ‎【点睛】本题考查了参数方程化为普通方程，考查了极坐标方程化为直角坐标方程，考查了椭圆方程参数方程的应用，考查了辅助角公式的应用，考查了数学运算能力.‎ 选修4-5：不等式选讲 ‎23.已知函数．‎ ‎（1）在如图所示的坐标系中作出的图象，并结合图象写出不等式的解集；‎ - 23 -‎ ‎（2）若函数的图象恒在轴的上方，求实数的取值范围．‎ ‎【答案】（1）见解析，（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据绝对值的性质把函数的解析式化简成分段函数的形式，在直角坐标系内画出函数图象，根据图象求出不等式解集即可；‎ ‎（2）问题转化为恒成立，再转化为恒成立，根据函数的最小值进行求解即可.‎ ‎【详解】（1）‎ 结合图象可知，当时，，；‎ 当时，，解得；‎ - 23 -‎ 当时，成立．‎ 综上，不等式的解集为．‎ ‎（2）若函数的图象恒在轴的上方，则恒成立，‎ 即恒成立，只需．‎ 由（1）中图象可知．‎ 所以，解得．‎ ‎【点睛】本题考查了含绝对值函数的图象和最值，考查了已知不等式恒成立求参数问题，考查了数学运算能力.‎ - 23 -‎ - 23 -‎