百师联盟2020届高三冲刺卷（三）全国I卷数学（文）试卷 Word版含解析 24页

www.ks5u.com 百师联盟2020届高三冲刺考（三）全国卷 文科数学试卷 注意事项：‎ ‎1、答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上.‎ ‎2.回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号.回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效.‎ ‎3.考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回.‎ 考试时间为120分钟，满分150分 一、选择题：本题共12小题，每小题5分，共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1.已知复数是纯虚数，则实数的值为（ ）‎ A. 1 B. C. 0 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 将复数化简为的形式，若复数为纯虚数，则，且，可解得的值.‎ ‎【详解】，‎ 因为复数是纯虚数，故，，‎ 解得.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查复数的分母实数化运算和纯虚数的定义，考查了学生的运算求解能力和理解辨析能力，是基础题.‎ ‎2.已知集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ - 24 -‎ ‎【分析】‎ 通过解一元二次不等式和对数不等式，分别得出集合和集合，再利用交集的定义求解即可.‎ ‎【详解】集合，‎ 集合，‎ 所以.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查集合交集的运算，考查了学生的运算求解能力，是基础题.‎ ‎3.在平面直角坐标系中，轴负半轴上有6个点，轴负半轴上有2个点，将轴负半轴上这6个点和轴负半轴上这2个点连成12条线段，这12条线段在第三象限内的交点最多有（ ）‎ A. 10个 B. 12个 C. 15个 D. 18个 ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 以轴上的两点和轴上的两点为顶点做四边形，连接对角线，对角线的交点即为所要找的点.‎ ‎【详解】易知轴上任意两个点和轴上任意两个点可以构成一个四边形，则这个四边形唯一的对角线交点，即在第三象限，适合题意，而轴上6个点的组合共有种，则这样的四边形共有15个，于是最多有15个交点.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查统计交点个数，考查了学生数据处理的能力，是基础题.‎ ‎4.若实数，满足，则的最大值为（ ）‎ A. 1 B. 4 C. D. 5‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 通过去绝对值列出不等式组，找出可行域，求目标函数的最值.‎ - 24 -‎ ‎【详解】通过去绝对值可得不等式组：，，，，如图，作出的可行域，‎ 则表示的几何意义为可行域内的点到原点距离的平方，‎ 则易知点)或点满足题意，‎ 此时.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查线性规划问题，通过几何法求最值，考查学生数形结合的数学思想和求解运算的能力，是中档题.‎ ‎5.设，若，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分段函数，从内到外逐个代入相应解析式求待定系数.‎ - 24 -‎ ‎【详解】因为，所以，‎ ‎①当，即时，‎ ‎（舍）；‎ ‎②当，即时，，满足题意，‎ 综上所述.‎ 故选：C.‎ ‎【点睛】本题考查分段函数的求值问题，分段函数求值时，一定要根据自变量的值代入相对应的解析式，考查学生运算求解的能力，是基础题.‎ ‎6.某几何体的三视图如图所示，图中每个小正方形的边长为1，侧视图为圆及其内接正方形，那么这个几何体的体积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用三视图还原出空间几何体，利用体积公式计算空间几何体体积.‎ ‎【详解】易知该几何体由一个正四棱锥和圆柱构成，‎ 因为，，‎ 所以该几何体的体积为.‎ 故选:A.‎ ‎【点睛】本题考查三视图的应用，由三视图还原空间几何体，求锥体和圆柱的体积，考查学生的直观想象能力，是基础题.‎ - 24 -‎ ‎7.刘徽是我国古代伟大数学家，他的《九章算术注》和《海岛算经》被视为我国数学史上的瑰宝，他创立的“割圆术”理论上能把的值计算到任意精度.“割圆术”是指用圆内接正多边形的面积来近似代替圆的面积，如图，从正六边形开始，依次将边数增倍，使误差逐渐减小，当圆内接正三百六十边形时，由“割圆术”可得圆周率的近似值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 圆内接正三百六十边形可以看成由360个顶角为的等腰三角形构成，腰长与圆的半径相等，利用圆内接正三百六十边形的面积与圆的面积近似相等，计算的近似值.‎ ‎【详解】设圆的半径为1，‎ 当圆内接正三百六十边形时，每边端点与圆心连线构成的小三角形均为腰为1，顶角为的等腰三角形，‎ 则圆内接正多边形的面积为，‎ 圆的面积为，用圆内接正多边形的面积来近似代替圆的面积，‎ 即有.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题利用“割圆术”计算圆周率的近似值，需要仔细阅读题干，理解“割圆术”的概念，考查学生的理解辨析能力和运算求解能力，是基础题.‎ ‎8.函数在上的大致图象是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ - 24 -‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 本题可通过排除法找函数图像，先判断原函数是否具有奇偶性，再利用特殊值法可得出正确的选项.‎ ‎【详解】因为，，‎ 所以函数为非奇非偶函数，排除选项B，C；‎ 又因为.‎ 故选：A.‎ ‎【点睛】本题考查函数的奇偶性的应用，若特值法无法选出正确选项，则考查利用导数求函数的单调性判断函数图像，着重考查推理论证和运算求解的能力，是基础题.‎ ‎9.已知点为直线上的一动点，过点作圆的切线，则点在运动的过程中，切线长的最小值为（ ）‎ A. 2 B. C. D. 1‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先判断直线与圆的位置关系，直线与圆相离；可将切线长、点到圆心的距离和圆的半径利用勾股定理联系起来，点到圆心的距离最小则切线长最小.‎ ‎【详解】圆的方程可化为，半径，‎ 圆心到直线的距离，‎ 所以直线和圆相离，当这个点到圆心距离最小时，切线长最小，‎ 最小值为.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查直线与圆的位置关系、切线的性质，将切线长问题转化为点到直线距离的大小问题，考查求解运算能力和转化与化归的思想，是中档题.‎ - 24 -‎ ‎10.已知函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，其一个对称中心为，把的图象向左平移个单位长度得到函数的图象，则函数在的最大值为（ ）‎ A. 1 B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先用邻两条对称轴之间距离求出周期，通过周期求，再用对称中心求，可得的解析式，通过平移变换得出的解析式，利用三角函数的性质在给定区间上求出的最大值.‎ ‎【详解】由函数的图象相邻两条对称轴之间的距离为，‎ 得，‎ 所以，，‎ 又其一个对称中心为，即有，‎ 则，.又，‎ 所以，，‎ 所以，‎ 当时，，‎ 所以.‎ 故选:B.‎ - 24 -‎ ‎【点睛】本题考查用文字描述三角函数图像求解析式，三角函数图像变换，三角函数性质，考查推理论证和运算求解的能力，是中档题.‎ ‎11.若函数在上存在零点，则实数的取值范围为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 分离常数构造新函数，利用导数判断新函数的单调性并求出最值，以此来判断实数的取值范围.‎ ‎【详解】因为函数在上存在零点，‎ 即方程在上有解，令，‎ 则，‎ 所以当时，，当时，，‎ 所以函数在上单调递增，在上单调递减，‎ 所以在处取最大值，‎ 所以的值域为，所以的取值范围是.‎ 故选：B.‎ ‎【点睛】本题考查函数的零点与方程根的应用，利用导数判断函数的单调性，考查转化与化归的思想和求解运算的能力，是中档题.‎ ‎12.已知，曲折：与直线：（且）交于，两点，则的周长的最小值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ - 24 -‎ 化简曲线的方程，可利用抛物线定义将长度进行转化，得出的周长的最小值.‎ ‎【详解】易知曲线是由两抛物线和构成，‎ 如图，设与轴交于点，抛物线的焦点为，‎ 连接，，则，‎ 的周长，‎ 当，，的三点共线时取等号.‎ 故选:B.‎ ‎【点睛】本题考查直线与抛物线的综合问题，抛物线的性质，考查数形结合和求解运算的能力，是中档题.‎ 二、填空题：本题共4小题.每小题5分，共20分.‎ ‎13.已知向量，，若，则__________.‎ ‎【答案】2‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用两向量垂直数量积等于0得出的坐标，再计算出的坐标，最后利用坐标计算.‎ ‎【详解】因为，所以，‎ - 24 -‎ ‎，‎ 所以.‎ 故答案为：2.‎ ‎【点睛】本题考查了向量数量积的坐标运算和向量的模的坐标运算，考察了学生的求解运算能力，是基础题.‎ ‎14.设：，当成立时，的取值范围是__________；：，若是的充分不必要条件，则实数的取值范围是__________.‎ ‎【答案】 (1). ； (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解绝对值不等式得出命题中中的取值范围，是的充分不必要条件，则，推导不出，可得出实数的取值范围.‎ ‎【详解】由得；‎ 因为是的充分不必要条件，则.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查命题的充分性和必要性， 是基础题.‎ ‎15.已知三棱锥的体积为，且，，平面，则三棱锥外接球的体积为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 解三角形可得底面面积，通过锥体体积计算公式可得高的长度，将三棱锥补为三棱柱，找到球心位置，利用勾股定理求球体半径，最后可得球体体积.‎ ‎【详解】因为，，所以由余弦定理，‎ ‎，‎ - 24 -‎ 则，‎ 将三棱锥补成三棱柱，可的球心的三棱柱的中心，‎ 球心到底面的距离等于三棱柱的高的一半，即，‎ 外接圆的半径，‎ 所以三棱锥外接球的半径，‎ 则其体积.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查与球有关的组合体问题，求几何体外接球体积需先求出球体半径，考查直观想象和求解运算的能力,是中档题.‎ ‎16.在中，角，，所对应的边分别为，，，若且，则面积的最大值为__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用正弦定理将角的正弦值的等量关系转化为边的等量关系，结合余弦定理得出角C余弦值的取值范围；为定值，则最大的面积最大.‎ ‎【详解】因为，‎ 由正弦定理得，即，‎ 由余弦定理，‎ 当且仅当时取等号，‎ 所以，，‎ 则，‎ - 24 -‎ 所以面积的最大值.‎ 故答案为:.‎ ‎【点睛】本题考查用弦定理边角转化，用余弦定理三边求角，三角形面积的表示，考查运算求解的能力，是中档题.‎ 三、解答题：共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.第17~21题为必考题，每个试题考生都必须作答.第22、23题为选考题.考生根据要求作答.‎ ‎（一）必考题：60分.‎ ‎17.在中，角，，所对的边分别是，，，且.‎ ‎（1）求的值；‎ ‎（2）若，求面积的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）先利用同角三角函数基本关系式求出，再用降幂公式和正弦倍角化简结果，最后 代入求值；‎ ‎（2）利用余弦定理列出边的等量关系，再用基本不等式得出的最大值.‎ ‎【详解】（1）因为，所以，‎ ‎；‎ ‎（2）由余弦定理知，，‎ 所以，‎ - 24 -‎ 当且仅当时取“=”，‎ 则的面积，‎ 即面积的最大值为.‎ ‎【点睛】本题考查三角恒等变换，余弦定理解三角形，考查运算求解的能力，是基础题.‎ ‎18.如图，直四棱柱中，，，点，分别，中点.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求点到平面的距离.‎ ‎【答案】（1）见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）构造平行四边形证明线线平行，利用线线平行证明线面平行；‎ ‎（2）利用线面垂直的判定方法证明线面垂直，再利用等面积法求垂线段的长度.‎ ‎【详解】（1）证明：如图 - 24 -‎ 取中点，连接，，‎ 因为点，为中点，‎ 所以，且，‎ 因为点为中点，‎ 所以，‎ 即，，‎ 所以四边形为平行四边形，‎ 所以，‎ 因为平面，平面，‎ 所以平面 ‎（2）如图，‎ - 24 -‎ 过点作于点，‎ 因为平面，平面，‎ 所以，‎ 因为，‎ 所以平面，‎ 则即为点到平面的距离，‎ 在中，，‎ ‎，‎ 即为点到平面的距离为.‎ ‎【点睛】本题考查线面平行的判定，线面垂直的判定，等面积法求高，正确作出辅助线是解题的关键，考查直观想象和推理论证的能力，是中档题.‎ ‎19.已知点在椭圆：上，且椭圆的离心率为.‎ ‎（1）求椭圆的方程；‎ ‎（2）设为坐标原点，若椭圆的某条弦的中点为，试问的值是否为定值？若是，求出该定值；若不是，请说明理由.‎ ‎【答案】（1）；（2）是定值，.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据已知条件列出关于，，的等量关系式求椭圆的方程；‎ ‎（2）先用点差法求出弦的方程，再联立方程用韦达定理求出两根之积，最后用数量积的坐标运算得出的值.‎ - 24 -‎ ‎【详解】（1）由条件知，，‎ 且，‎ 解得，，‎ 所以椭圆的方程为；‎ ‎（2）的值为定值，‎ 证明如下：‎ 设点，的坐标为，，‎ 易知中点线段上，‎ 因为点，所以，‎ 又，，‎ 两式相减得，，‎ 易知，，‎ 所以，即.‎ 设方程为，‎ 代入并整理得，‎ 所以，，则，‎ - 24 -‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查求椭圆方程的标准方程，点差法设而不求算中点弦方程，联立方程利用韦达定理解决综合问题，考查求解运算能力，是中档题.‎ ‎20.2020年春节即将来临，某市一商家为了在春节期间更好地推销商品，随机抽取了去年春节期间在该商家消费总额不超过2500元的200名老顾客进行了消费额统计，得到所示频率分布直方图：‎ 若去年春节期间在该商家消费总额超过1.5千元的顾客称为“VIP顾客”，消费总额不超过1.5千元的顾客称为“非VIP顾客”.‎ ‎（1）若抽取的“非VIP顾客”中男性占40人，请根据条件完成上面的列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“VIP顾客”与性别有关.‎ VIP顾客 非VIP顾客 总计 男性顾客 ‎40‎ ‎80‎ 女性顾客 ‎120‎ 总计 ‎200‎ ‎（2）该商家为了进一步了解这200人的消费体验和购买意愿，采用分层抽样的方法在“VIP顾客”和“非VIP顾客”中抽取20人.若需从这20人中随机选取2人进行问卷调查，求恰有1人是“VIP顾客”的概率.‎ 参考公式：，其中.‎ 临界值表：‎ ‎0.100‎ ‎0.050‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.001‎ - 24 -‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎10.828‎ ‎【答案】（1）能在犯错误的概率不超过0.001的前提下认为“VIP顾客”与性别有关；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用频率分布直方图完成列联表，把数据带入公式计算，通过与表格数据对比判断得出所要结果；‎ ‎（2）用分层抽样分别得出“VIP顾客”和“非VIP顾客”的人数，按要求的计算出事件总数和特殊事件个数求事件的概率.‎ ‎【详解】(1) ,,‎ ‎ ∴VIP顾客总数为130，非VIP顾客总数70，可得：‎ VIP顾客 非VIP顾客 总计 男性顾客 ‎40‎ ‎40‎ ‎80‎ 女性顾客 ‎90‎ ‎30‎ ‎120‎ 总计 ‎130‎ ‎70‎ ‎200‎ ‎∵‎ ‎∴能在犯错误概率不超过0.001的前提下认为“VIP顾客”与性别有关；‎ ‎（2）∵ ，‎ ‎∴，，‎ ‎∴20人中VIP顾客8人，非VIP顾客12人，‎ - 24 -‎ 又∵，，‎ ‎∴20人中随机选取2人有190种，恰有1人是“VIP顾客”有96种，‎ ‎∴，‎ 即恰有1人是“VIP顾客”的概率为.‎ ‎【点睛】本题考查独立性检验，古典概型概率计算，考查数据处理能力，是基础题.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）若为函数的极值点，求在处的切线方程；‎ ‎（2）对任意，当时，恒成立，求正整数的最大值.‎ ‎【答案】（1）；（2）7.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用导数的几何意义求切线方程；‎ ‎（2）构造新函数讨论让取最大值时对应的的值，再用导数判断函数的单调性，最后用零点存在定理的出得最大值.‎ ‎【详解】（1）∵，，‎ ‎∴，‎ 又∵为函数的极值点，‎ ‎∴，‎ ‎∴，‎ ‎∴，，‎ 由直线的点斜式方程得，‎ 即在处的切线方程为；‎ - 24 -‎ ‎（2）任意，，令，可得 ‎，恒等0，‎ ‎，如图 ‎，即，‎ 当越大，第二个零点的值就越大，即当时，可求的最值，‎ 又，， ‎ ‎∴，‎ ‎∴，得（舍），，‎ ‎，得，，得，‎ ‎∴可取极大值，‎ 且，‎ ‎∴在递减，，‎ 又∵，‎ - 24 -‎ ‎，‎ ‎∴正整数的最大值为7.‎ ‎【点睛】本题考查曲线的切线，函数不等式恒成立问题，需要构造新函数，再以导数为工具讨论新函数的单调性从而得到参数的范围，考查转化与化归思想，数形结合思想，求解运算能力，是难题.‎ ‎（二）选考题：10分.请考生第22、23题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题计分.作答时，请写清题号.‎ ‎22.在平面直角坐标系中，直线的参数方程为（为参数），以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴建立极坐标系，单位长度相同，曲线的极坐标方程为.‎ ‎（1）求直线的直角坐标方程和曲线的参数方程；‎ ‎（2）已知点的极坐标为，直线与曲线交于，两点，求.‎ ‎【答案】(1) ,（为参数）；(2) .‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用代入消参的方法的出线的直角坐标方程，利用公式转化得出曲线的参数方程；‎ ‎（2）点在直线上，可用直线参数方程参数的几何意义计算.‎ ‎【详解】（1）由已知可得 直线的直角坐标方程为，‎ ‎∵，‎ ‎∴，‎ - 24 -‎ ‎∴，‎ ‎∴曲线的直角坐标方程为，‎ ‎∴曲线的参数方程为（为参数）；‎ ‎（2）∵点的极坐标为 ‎∴点的直角坐标为，点在直线上，‎ 设，，‎ 将直线参数方程代入曲线的直角坐标方程得 ‎，‎ ‎∴，‎ 有韦达定理可得，‎ ‎∴.‎ ‎【点睛】本题考查直角坐标方程、参数方程和极坐标方程的相互转化，直线参数方程参数的几何意义，考查求解运算的能力，是中档题.‎ ‎23.已知函数，.‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）当时，若对任意，都存在，使得成立，求实数的取值范围.‎ ‎【答案】（1）；（2）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）利用分类讨论去绝对值的方法解绝对值不等式；‎ - 24 -‎ ‎（2）若对任意，都存在，使得成立，则的值域是的值域的子集，以此求实数的取值范围.‎ ‎【详解】（1）①时 ‎，得，‎ ‎∴，‎ ‎②时 ‎，得，‎ ‎∴无解，‎ ‎③时 ‎，得，‎ ‎∴，‎ 综上所述，原不等式的解集为；‎ ‎（2）∵，‎ ‎，，‎ ‎∴，即，‎ ‎，‎ 若对任意，都存在，使得成立，则有 得，且 ‎∴实数的取值范围.‎ ‎【点睛】本题主要考查了含绝对值不等式的解法，考查了运算求解的能力、转化与化归思想，是中档题.‎ - 24 -‎ - 24 -‎