江西省南昌市四校联盟2020届高三第二次联考数学（文）试题 Word版含解析 23页

www.ks5u.com ‎2020届四校联盟高三第二次联考试卷 文科数学 考试时间：120分钟 总分：150分 2020.03.29‎ 一、选择题（本题12小题，每小题5分，共60分）‎ ‎1.集合，集合，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据题意，分析可得集合为函数的值域，集合为函数的定义域，分析可得集合、，进而由交集的定义计算可得答案．‎ ‎【详解】解：根据题意，集合，为函数的值域，则，‎ 集合，为函数的定义域，则，‎ ‎；‎ 故选：C．‎ ‎【点睛】本题考查集合的运算，关键是利用集合的表示法分析求出集合、，属于基础题．‎ ‎2.下列各式的运算结果为纯虚数的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用复数代数形式的乘除运算化简逐一核对四个选项得答案．‎ ‎【详解】解：因为，‎ ‎，，‎ - 23 -‎ 运算结果为纯虚数的是．‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查复数代数形式的乘除运算，考查复数的基本概念，属于基础题．‎ ‎3.“一带一路”是“丝绸之路经济带”和“21世纪海上丝绸之路”的简称，旨在积极发展我国与沿线国家经济合作关系，共同打造政治互信、经济融合、文化包容的命运共同体.自2015年以来，“一带一路”建设成果显著.如图是2015—2019年，我国对“一带一路”沿线国家进出口情况统计图，下列描述错误的是( )‎ A. 这五年，出口总额之和比进口总额之和大 B. 这五年，2015年出口额最少 C. 这五年，2019年进口增速最快 D. 这五年，出口增速前四年逐年下降 ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据统计图中数据的含义进行判断即可.‎ ‎【详解】对A项，由统计图可得，2015年出口额和进口额基本相等，而2016年到2019年出口额都大于进口额，则A正确；‎ 对B项，由统计图可得，2015年出口额最少，则B正确；‎ 对C项，由统计图可得，2019年进口增速都超过其余年份，则C正确；‎ 对D项，由统计图可得，2015年到2016年出口增速是上升的，则D错误；‎ 故选：D ‎【点睛】本题主要考查了根据条形统计图和折线统计图解决实际问题，属于基础题.‎ ‎4.函数的一个单调递减区间是（ ）‎ - 23 -‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用诱导公式化简函数的解析式，再利用余弦函数的单调性，求得的一个减区间．‎ ‎【详解】解：对于函数，‎ 令，，解得，，可得函数的单调递减区间为，，‎ 令，可得选项B正确，‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题主要考查诱导公式、余弦函数的单调性，属于基础题．‎ ‎5.双曲线：的离心率为，则一条渐近线的倾斜角为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 依题意可得，根据同角三角函数的基本关系可得，即可得解；‎ ‎【详解】解：依题意可得 所以 - 23 -‎ 因为双曲线的渐近线为，‎ 故其中一条渐近线的倾斜角为，‎ 故选：C ‎【点睛】本题考查双曲线的简单性质，考查同角三角函数基本关系式的应用，属于基础题．‎ ‎6.在中，已知、、成等比数列，且，，则（ ）‎ A. B. C. 3 D. -3‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 先求的平方，利用、、成等比数列，结合余弦定理，求解的值，然后求解．‎ ‎【详解】解：因为，所以，‎ 又、、成等比数列：，‎ 由余弦定理：，‎ 又因为，‎ 解得，‎ 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查平面向量数量积的运算，等比数列的性质，余弦定理，考查学生分析问题解决问题的能力，属于基础题．‎ - 23 -‎ ‎7.已知，则在数列的前40项中最大项和最小项分别是（ ）‎ A. ， B. ， C. ， D. ，‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 把给出的数列的通项公式变形，把看作的函数，分析其单调性，即可得出结论．‎ ‎【详解】解：，‎ 故当时，，且单调递减，‎ 当时，，且单调递减，‎ ‎．‎ 这个数列的前40项中的最大项和最小项分别是，．‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题主要考查数列的函数特性，属于基础题．‎ ‎8.已知函数与，则它们所有交点的横坐标之和为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 作函数图像，由图可知所有交点的横坐标之和为，选C.‎ - 23 -‎ 点睛：(1)图象法研究函数零点的关键是正确画出函数的图象．在画函数的图象时，常利用函数的性质，如周期性、对称性等，同时还要注意函数定义域的限制．(2)对于一般函数零点个数的判断问题，不仅要判断区间[a，b]上是否有f(a)·f(b)<0，还需考虑函数的单调性．‎ ‎9.若点的坐标满足，则点的轨迹图象大致是 A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 根据函数的定义域，可排除C、D选项，再根据对数函数的运算性质，可排除A选项，得道答案.‎ ‎【详解】由题意，满足，可排除选项C、D；‎ 又因为，所以 ，即 且，排除选项A，‎ 故选B.‎ ‎【点睛】本题主要考查了函数图象的识别，其中解答中熟练应用对数函数的基本性质，利用排除法求解是解答的关键，着重考查了推理与运算能力，属于基础题.‎ ‎10.棱长为2的正方体中，为棱中点，过点且与平面平行的正方体的截面面积为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B - 23 -‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 取中点，中点，连结、、、、，，则，，从而过点，且与平面平行的正方体的截面为四边形，由此能求出过点，且与平面平行的正方体的截面面积．‎ ‎【详解】解：取中点，中点，连结、、、、，，‎ 棱长为2的正方体中，为棱中点，‎ ‎，，‎ 又，，、平面，、平面，‎ 过点，且与平面平行的正方体的截面为四边形，‎ ‎，‎ ‎，‎ ‎，‎ 过点，且与平面平行的正方体的截面面积为：‎ ‎．‎ 故选：B．‎ ‎【点睛】本题考查截面面积的求法，考查空间中线线、线面、面面间的位置关系等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于中档题．‎ ‎11.过直线：上的点作圆：的切线，若在直线上存在点 - 23 -‎ ‎，使得过点的圆的切线，（，为切点）满足，则的取值范围是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由切线的对称性和圆的知识将问题转化为到直线的距离小于或等于，再由点到直线的距离公式得到关于的不等式求解．‎ ‎【详解】解：圆，圆心为：，半径为1，‎ 在直线上存在一点，使得过的圆的切线，，为切点）满足，‎ 在直线上存在一点，使得到的距离等于，‎ 只需到直线的距离小于或等于，‎ 故，解得，即 故选：A．‎ ‎【点睛】本题考查直线和圆的位置关系，由题意得到圆心到直线的距离小于或等于是解决问题的关键，属于中档题．‎ ‎12.若关于的不等式有正整数解，则实数的最小值为（ ）‎ A. 9 B. 10 C. 11 D. 12‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ 分析】‎ 原不等式转化为，令，利用导数和函数的单调性即可求出．‎ - 23 -‎ ‎【详解】解：，，‎ 不等式有正整数解，‎ ‎，，‎ 令，则，‎ 当时，，函数单调递增；‎ 当时，，函数单调递减，‎ ‎，，‎ ‎，只需，‎ 即，，即实数的最小值为12，‎ 故选：D．‎ ‎【点睛】本题考查了导数和函数的单调性的最值的关系，考查了转化与化归思想，属于中档题．‎ 二、填空题（本题4小题，每小题5分，共20分）‎ ‎13.已知函数的一条切线为，则______.‎ ‎【答案】0‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设切点为，利用导数的几何意义可得，与联立即可求得的值．‎ ‎【详解】解：设切点为，‎ 则①‎ 又②，‎ - 23 -‎ 由①②得：，．‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查利用导数研究曲线上某点切线方程，考查运算能力，属于基础题．‎ ‎14.已知数列是等差数列，其前项和有最大值，且，则使得的的最大值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用等差数列的通项公式求和公式及其性质即可判断出结论．‎ ‎【详解】解：由题意知，因为 所以，，‎ 因此，‎ ‎，‎ 故使得的的最大值为 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列的通项公式求和公式及其性质、不等式的性质，考查了推理能力与计算能力，属于中档题．‎ ‎15.已知向量，且，若，其中、且，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由平面向量的数量积求出，再利用基本不等式求出的最小值，即可得到的最小值；‎ ‎【详解】解：因为，且，且，‎ - 23 -‎ 又、且 ‎，当且仅当时取等号，‎ 的最小值为，‎ 故答案为：‎ ‎【点睛】本题考查平面向量的数量积及基本不等式的应用，属于中档题.‎ ‎16.如图，已知抛物线顶点在坐标原点，焦点在轴上，且过点，圆：，过圆心的直线与抛物线和圆分别交于，，，，则的最小值为______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 设抛物线的标准方程，将点代入抛物线方程，求得抛物线方程，由抛物线的焦点弦性质，求得，根据抛物线的性质及基本不等式，即可求得答案．‎ ‎【详解】解：设抛物线的方程：，‎ 则，则，‎ 抛物线的标准方程：，焦点坐标，准线方程为，‎ - 23 -‎ 圆的圆心为，半径为1，由直线过抛物线的焦点，可设，，‎ 由，可得．‎ 当且仅当时取等号，‎ 故答案为：．‎ ‎【点睛】本题考查抛物线的标准方程，直线与抛物线的位置关系，抛物线的焦点弦的性质及基本不等式的应用，考查转化思想，属于中档题．‎ 三、解答题（共70分，第17-21题为必考题，第22-23题为选考题）‎ ‎（一）必考题：共60分 ‎17.如图，在中，，角的平分线交于点，设.（1）求；（2）若，求的长.‎ ‎【答案】（1）（2）‎ - 23 -‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（1）由α为三角形BAD中的角，根据sinα的值，利用同角三角函数间的基本关系求出cosα的值，进而利用二倍角的正弦函数公式求出sin∠BAC与cos∠BAC的值，即为sin2α与cos2α的值，sinC变形为，利用诱导公式，以及两角和与差的正弦函数公式化简后，将各自的值代入计算即可求出sinC的值；‎ ‎（2）利用正弦定理列出关系式，将sinC与sin∠BAC的值代入得出，利用平面向量的数量积运算法则化简已知等式左边，将表示出的AB代入求出BC的长，再利用正弦定理即可求出AC的长．‎ 试题解析：‎ 解：（1）∵，，‎ ‎∴，‎ 则，‎ ‎∴，‎ ‎∴．‎ ‎（2）由正弦定理，得，即，∴，‎ 又，∴，由上两式解得，‎ 又由得，∴．‎ - 23 -‎ ‎18.如图所示，等腰梯形 的底角 等于，直角梯形 所在的平面垂直于平面，，且.‎ ‎（1）证明：平面平面；‎ ‎（2）若三棱锥 的外接球的体积为，求三棱锥 的体积.‎ ‎【答案】（1）详见解析；（2）.‎ ‎【解析】‎ 分析】‎ ‎(1)利用题意首先证得平面，由面面垂直的判断定理可得平面平面.‎ ‎(2)将三棱锥中点A看作顶点，BEF看作底面求得体积为.‎ ‎【详解】(1) 因为平面平面，平面平面平面 ‎，平面，平面，，又.又平面平面，又平面，所以平面平面.‎ ‎ (2)由（1）得，所以三棱锥的外接球的球心为线段 的中点 ‎，解得，‎ - 23 -‎ ‎.‎ ‎19.某市为了调查小区成年居民对环境治理情况满意度（满分按100计），随机对20名六十岁以上的老人和20名十八岁以上六十岁以下的中青年进行了不记名的问卷调查，得到了如下统计结果：‎ 表1：六十岁以上的老人对环境治理情况的满意度与频数分布表 满意度 人数 ‎1‎ ‎5‎ ‎6‎ ‎5‎ ‎3‎ 表2：十八岁以上六十岁以下的中青年人对环境治理情况的满意度与频数分布表 满意度 人数 ‎2‎ ‎4‎ ‎8‎ ‎4‎ ‎2‎ 表3：‎ 满意度小于80‎ 满意度不小于80‎ 合计 六十岁以上老人人数 十八岁以上六十岁以下的中青年人人数 合计 ‎（1）若该小区共有中青年人500人，试估计其中满意度不少于80的人数；‎ ‎（2）完成表3的列联表，并回答能否有的把握认为“小区成年居民对环境治理情况的满意度与年龄有关”？‎ ‎（3）从表3的六十岁以上的老人“满意度小于80”和“满意度不小于80”的人数中用分层抽样的方法抽取一个容量为5的样本，再从中任取3人，求至少有两人满意小于80的概率.‎ 附：，其中.‎ - 23 -‎ ‎0.50‎ ‎0.40‎ ‎0.25‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎0.001‎ ‎0.455‎ ‎0.708‎ ‎1.323‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.84‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎10.83‎ ‎【答案】（1）；（2）没有把握认为“小区成年居民对环境治理情况的满意度与年龄有关”；（3）.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）根据抽样比例求得抽取满意度不少于80的人数；‎ ‎（2）填写列联表，计算观测值，对照临界值得出结论；‎ ‎（3）利用分层抽样方法抽取样本，利用列举法求出基本事件数，计算所求的概率值．‎ ‎【详解】解：（1）根据表中数据知，20人中满意度不少于80的人数为6人，‎ 该小区中青年人500人中，满意度不少于80的人数为；‎ ‎（2）完成表3的列联表如下，‎ 满意度小于80‎ 满意度不小于80‎ 合计 六十岁以上老人人数 ‎12‎ ‎8‎ ‎20‎ 十八岁以上六十岁以下的中青年人人数 ‎14‎ ‎6‎ ‎20‎ 合计 ‎26‎ ‎14‎ ‎40‎ 由表中数据，计算；‎ 没有的把握认为“小区成年居民对环境治理情况的满意度与年龄有关”；‎ ‎（3）从表3知，用分层抽样方法抽取一个容量为5的样本，满意度小于80的抽取3人，记为、、，‎ 满意度不小于80的抽取2人，记为、；‎ 从这5人中任取3人，基本事件是、、、、、、、‎ - 23 -‎ ‎、、共10种；‎ 至少有两人满意小于80的是、、、、、、共7种；‎ 故所求的概率是．‎ ‎【点睛】本题考查了独立性检验与列举法求古典概型的概率问题，属于中档题．‎ ‎20.已知定直线，定点，以坐标轴为对称轴的椭圆过点且与相切.‎ ‎（Ⅰ）求椭圆的标准方程；‎ ‎（Ⅱ）椭圆的弦的中点分别为，若平行于，则斜率之和是否为定值？ 若是定值，请求出该定值；若不是定值请说明理由.‎ ‎【答案】（Ⅰ）（Ⅱ）斜率之和为定值 ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）设椭圆的标准方程为，由题意构建关于的方程组，即可得椭圆方程．‎ ‎（Ⅱ）设点P（x1，y1），Q（x2，y2），可知PQ∥MN，所以kPQ=kMN=1，‎ 设直线PQ的方程为y=x+t，代入椭圆方程并化简得：3x2+4tx+2t2﹣6=0，利用韦达定理可计算 试题解析：‎ ‎（Ⅰ）设椭圆的标准方程为 椭圆过点，所以①， ‎ - 23 -‎ 将代入椭圆方程化简得：，‎ 因为直线与椭圆相切，所以②， ‎ 解①②可得，，所以椭圆方程为； ‎ ‎（Ⅱ）设点，则有，‎ 由题意可知，所以，设直线的方程为，‎ 代入椭圆方程并化简得：‎ 由题意可知③‎ ‎，‎ 通分后可变形得到 ‎ 将③式代入分子 ‎，‎ 所以斜率之和为定值. ‎ 点睛：定点、定值问题通常是通过设参数或取特殊值来确定“定点”是什么、“定值”是多少，或者将该问题涉及的几何式转化为代数式或三角问题，证明该式是恒定的. 定点、定值问题同证明问题类似，在求定点、定值之前已知该值的结果，因此求解时应设参数，运用推理，到最后必定参数统消，定点、定值显现.‎ ‎21.已知函数.‎ ‎（1）求函数的单调区间；‎ ‎（2）当时，关于的方程有两个不同的实数解，，求证：‎ - 23 -‎ ‎.‎ ‎【答案】（1）当时，在单调递增，在单调递减；‎ 当时，在单调递减．（2）证明见解析；‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间即可；‎ ‎（2）求出函数的导数，通过讨论的范围求出函数的单调区间，结合函数的单调性证明即可．‎ ‎【详解】解：函数的定义域是，‎ ‎，‎ ‎①当，即时，在单调递增，在单调递减，‎ ‎②当，即时，在单调递减．‎ ‎（2）证明：设，‎ 所以，‎ 当时，，函数在区间上单调递增；‎ 当时，，函数在区间上单调递减；‎ 所以在处取得最大值．‎ 当时，方程有两个不同的实数解，‎ 所以函数的两个不同的零点，，一个零点比1小，一个零点比1大．‎ 不妨设，‎ 由，且，得，且，‎ 则，所以，‎ 所以，令，，‎ - 23 -‎ ‎．，，，‎ 所以，‎ 所以函数在区间上单调递增，，‎ 所以，‎ 又因为，所以．‎ ‎【点睛】本题考查了函数的单调性，最值问题，考查导数的应用以及分类讨论思想，转化思想，属于中档题．‎ ‎（二）选做题（共10分，请考生在22，23题中任选一题做答）‎ ‎22.在平面直角坐标系中，将曲线上的每一个点的横坐标保持不变，纵坐标缩短为原来的，得到曲线，以坐标原点为极点，轴的正半轴为极轴，建立极坐标系，的极坐标方程为.‎ ‎(1)求曲线的参数方程；‎ ‎(2)过原点且关于轴对称的两条直线与分别交曲线于和，且点在第一象限，当四边形周长最大时，求直线的普通方程.‎ ‎【答案】（1）(为参数)；（2）‎ ‎【解析】‎ 试题分析：（Ⅰ）首先求得的普通方程，由此可求得的参数方程；（Ⅱ）设四边形的周长为，点，然后得到与的关系式，从而利用辅助角公式求得点的直角坐标点，从而求得的普通方程．‎ 试题解析：（Ⅰ），（为参数）．‎ ‎（Ⅱ）设四边形的周长为，设点，‎ - 23 -‎ ‎ ，‎ 且，，‎ 所以，当（）时，取最大值，‎ 此时，‎ 所以，，，‎ 此时，，的普通方程为．‎ 点睛：将曲线的参数方程化为普通方程的关键是消去其中的参数，此时要注意其中的(它们都是参数的函数)的取值范围，即在消去参数的过程中一定要注意普通方程与参数方程的等价性．‎ ‎23.已知函数．‎ ‎（1）解不等式；‎ ‎（2）若对于，，有，，求证：．‎ ‎【答案】（1）；（2）证明见解析.‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎(1)利用零点分段讨论法解绝对值不等式.‎ ‎(2)利用绝对值三角不等式即可证明结论.‎ ‎【详解】（1）由得，‎ 则或或 解得，或，或，即，‎ 所以不等式的解集为.‎ - 23 -‎ ‎（2）证明：由，，‎ 所以.‎ ‎【点睛】本题考查绝对值不等式的求解与证明，利用零点分段讨论法解绝对值不等式，利用绝对值三角不等式证明不等式.‎ - 23 -‎ - 23 -‎