高中数学人教a版选修1-1学业分层测评2四种命题四种命题间的相互关系word版含解析 6页

学业分层测评 (建议用时：45 分钟) [学业达标] 一、选择题 1．命题“若 m＝10，则 m2＝100”与其逆命题、否命题、逆否 命题这四个命题中，真命题是( ) A．原命题、否命题 B．原命题、逆命题 C．原命题、逆否命题 D．逆命题、否命题 【解析】 因为原命题是真命题，所以逆否命题也是真命题． 【答案】 C 2．有下列四个命题： (1)“若 x2＋y2＝0，则 xy＝0”的否命题； (2)“若 x＞y，则 x2＞y2”的逆否命题； (3)“若 x≤3，则 x2－x－6＞0”的否命题； (4)“对顶角相等”的逆命题． 其中真命题的个数是( ) A．0 B．1 C．2 D．3 【解析】 (1) 假 原命题的否命题与其逆命题有相同的真假性，其逆命 题为“若 xy＝0，则 x2＋y2＝0”，为假命题 (2) 假 原命题与其逆否命题具有相同的真假性．而原命题为 假命题(如 x＝0，y＝－1)，故其逆否命题为假命题 (3) 假 该命题的否命题为“若 x＞3，则 x2－x－6≤0”，很 明显为假命题 (4) 假 该命题的逆命题为“相等的角是对顶角”，显然是假 命题 【答案】 A 3．下列说法中错误的个数是( ) ①命题“余弦函数是周期函数”的否命题是“余弦函数不是周 期函数”； ②命题“若 x＞1，则 x－1＞0”的否命题是“若 x≤1，则 x－ 1≤0”； ③命题“两个正数的和为正数”的否命题是“两个负数的和为 负数”； ④命题“x＝－4 是方程 x2＋3x－4＝0 的根”的否命题是“x＝－ 4 不是方程 x2＋3x－4＝0 的根”． A．1 B．2 C．3 D．4 【解析】 ①错误，否命题是“若一个函数不是余弦函数，则它 不是周期函数”；②正确；③错误，否命题是“若两个数不全为正数， 则它们的和不为正数”；④错误，否命题是“若一个数不是－4，则 它不是方程 x2＋3x－4＝0 的根”． 【答案】 C 4．已知命题 p：若 a＞0，则方程 ax2＋2x＝0 有解，则其原命题、 否命题、逆命题及逆否命题中真命题的个数为( ) A．3 B．2 C．1 D．0 【解析】 易知原命题和逆否命题都是真命题，否命题和逆命题 都是假命题．故选 B. 【答案】 B 5．在下列四个命题中，真命题是( ) A．“x＝3 时，x2＋2x－3＝0”的否命题 B．“若 b＝3，则 b2＝9”的逆命题 C．若 ac>bc，则 a>b D．“相似三角形的对应角相等”的逆否命题 【解析】 A 中命题的否命题为“x≠3 时，x2＋2x－3≠0”，是 假命题；B 中命题的逆命题为“若 b2＝9，则 b＝3”，是假命题；C 中当 c<0 时，为假命题；D 中原命题与逆否命题等价，都是真命题．故 选 D. 【答案】 D 二、填空题 6．“若 x，y 全为零，则 xy＝0”的否命题为________． 【答案】 若 x，y 不全为零，则 xy≠0 7．下列命题中： ①若一个四边形的四条边不相等，则它不是正方形； ②正方形的四条边相等； ③若一个四边形的四条边相等，则它是正方形． 其中互为逆命题的有________；互为否命题的有________；互为 逆否命题的有________．(填序号) 【答案】 ②和③ ①和③ ①和② 8．给出下列命题： ①命题“若 b2－4ac<0，则方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0)无实根”的 否命题； ②命题“△ABC 中，若 AB＝BC＝CA，那么△ABC 为等边三角 形”的逆命题； ③命题“若 a>b>0，则3 a>3 b>0”的逆否命题； ④“若 m>1，则 mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0 的解集为 R”的逆命 题． 其中，真命题的序号为________. 【导学号：26160008】 【解析】 ①否命题：若 b2－4ac≥0，则方程 ax2＋bx＋c＝0(a≠0) 有实根，真命题； ②逆命题：若△ABC 为等边三角形，则 AB＝BC＝CA，真命题； ③因为命题“若 a>b>0，则3 a>3 b>0”是真命题，故其逆否命题 是真命题； ④逆命题：若 mx2－2(m＋1)x＋(m－3)>0 的解集是 R，则 m>1， 假命题． 所以应填①②③. 【答案】 ①②③ 三、解答题 9．写出命题“已知 a，b∈R，若 a2>b2，则 a>b”的逆命题、否 命题和逆否命题，并判断它们的真假． 【解】 逆命题：已知 a，b∈R，若 a>b，则 a2>b2； 否命题：已知 a，b∈R，若 a2≤b2，则 a≤b； 逆否命题：已知 a，b∈R，若 a≤b，则 a2≤b2. 原命题是假命题． 逆否命题也是假命题． 逆命题是假命题． 否命题也是假命题． 10．已知命题 p：“若 ac≥0，则二次方程 ax2＋bx＋c＝0 没有实 根”． (1)写出命题 p 的否命题； (2)判断命题 p 的否命题的真假，并证明你的结论． 【解】 (1)命题 p 的否命题为“若 ac＜0，则二次方程 ax2＋bx ＋c＝0 有实根”． (2)命题 p 的否命题是真命题． 证明如下： ∵ac＜0， ∴－ac＞0⇒Δ＝b2－4ac＞0⇒二次方程 ax2＋bx＋c＝0 有实根． ∴该命题是真命题． [能力提升] 1．(2014·陕西高考)原命题为“若an＋an＋1 2