2020_2021学年新教材高中数学第二章直线和圆的方程2 25页

2.5.1 　直线与圆的位置关系 激趣诱思 知识点拨 海上日出是非常壮丽的美景 . 在海天交于一线的天际 , 一轮红日慢慢升起 , 先是探出半个圆圆的小脑袋 , 然后冉冉上升 , 和天际线相连 , 再跃出海面 , 越来越高 , 展现着斑斓的霞光和迷人的风采 . 这个过程中 , 太阳看作一个圆 , 海天交线看作一条直线 , 日出的过程中也体现了直线与圆的三种位置关系 : 相交、相切和相离 . 激趣诱思 知识点拨 直线与圆的位置关系的判断方法 直线 Ax+By+C= 0( A , B 不同时为 0) 与圆 ( x-a ) 2 + ( y-b ) 2 =r 2 ( r> 0) 的位置关系及判断 激趣诱思 知识点拨 名师点析 几何法更为简洁和常用 . 激趣诱思 知识点拨 微练习 直线 3 x+ 4 y= 5 与圆 x 2 +y 2 = 16 的位置关系是 ( 　　 ) A. 相交 B. 相切 C. 相离 D. 相切或相交 答案 : A 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 判断直线与圆的位置关系 例 1 已知直线方程 mx-y-m- 1 = 0, 圆的方程 x 2 +y 2 - 4 x- 2 y+ 1 = 0 . 当 m 为何值时 , 直线与圆 (1) 有两个公共点 ; (2) 只有一个公共点 ; (3) 没有公共点 ? 思路分析 : 可联立方程组 , 由方程组解的个数判断 , 也可求出圆心到直线的距离 , 通过与半径比较大小判断 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 解 : ( 方法 1) 将直线 mx-y-m- 1 = 0 代入圆的方程 , 化简、整理 , 得 (1 +m 2 ) x 2 - 2( m 2 + 2 m+ 2) x+m 2 + 4 m+ 4 = 0 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 直线与圆的位置关系的判断方法 直线与圆的位置关系反映在三个方面 : 一是点到直线的距离与半径大小的关系 ; 二是直线与圆的公共点的个数 ; 三是两方程组成的方程组解的个数 . 因此 , 若给出图形 , 可根据公共点的个数判断 ; 若给出直线与圆的方程 , 可选择用几何法或代数法 , 几何法计算量小 , 代数法可一同求出交点 . 解题时可根据条件作出恰当的选择 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 直线与圆相切 例 2 过点 A (4, - 3) 作圆 C :( x- 3) 2 + ( y- 1) 2 = 1 的切线 , 求此切线的方程 . 思路分析 : 利用圆心到切线的距离等于圆的半径求出切线斜率 , 进而求出切线方程 . 解 : 因为 (4 - 3) 2 + ( - 3 - 1) 2 = 17 > 1, 所以点 A 在圆外 . (1) 若所求切线的斜率存在 , 设切线斜率为 k , 则切线方程为 y+ 3 =k ( x- 4) . 因为圆心 C (3,1) 到切线的距离等于半径 , 半径为 1, 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 (2) 若直线斜率不存在 , 圆心 C (3,1) 到直线 x= 4 的距离也为 1, 这时直线与圆也相切 , 所以另一条切线方程是 x= 4 . 综上 , 所求切线方程为 15 x+ 8 y- 36 = 0 或 x= 4 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 切线方程的求法 1 . 求过圆上一点 P ( x 0 , y 0 ) 的圆的切线方程 : 先求切点与圆心连线的斜率 k , 则由垂直关系 , 切线斜率为 - , 由点斜式方程可求得切线方程 . 若 k= 0 或斜率不存在 , 则由图形可直接得切线方程为 y=b 或 x=a. 2 . 求过圆外一点 P ( x 0 , y 0 ) 的圆的切线时 , 常用几何方法求解 设切线方程为 y-y 0 =k ( x-x 0 ), 即 kx-y-kx 0 +y 0 = 0, 由圆心到直线的距离等于半径 , 可求得 k , 进而切线方程即可求出 . 但要注意 , 此时的切线有两条 , 若求出的 k 值只有一个时 , 则另一条切线的斜率一定不存在 , 可通过数形结合求出 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 过点 Q (3,0) 作圆 x 2 +y 2 = 4 的切线 , 求此切线方程 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 直线与圆相交 例 3 求直线 l :3 x+y- 6 = 0 被圆 C : x 2 +y 2 - 2 y- 4 = 0 截得的弦长 . 思路分析 : 解法一求出直线与圆的交点坐标 , 解法二利用弦长公式 , 解法三利用几何法作出直角三角形 , 三种解法都可求得弦长 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 反思感悟 求直线与圆相交时弦长的两种方法 (1) 几何法 : 如图 ① , 直线 l 与圆 C 交于 A , B 两点 , 设弦心距为 d , 圆的半 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 延伸探究 已知直线 l 经过直线 2 x-y- 3 = 0 和 4 x- 3 y- 5 = 0 的交点 , 且与直线 x+y- 2 = 0 垂直 . (1) 求直线 l 的方程 ; (2) 若圆 C 的圆心为点 (3,0), 直线 l 被该圆所截得的弦长为 2 , 求圆 C 的标准方程 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 ∴ 两直线交点为 (2,1) . 设直线 l 的斜率为 k 1 , ∵ l 与 x+y- 2 = 0 垂直 , ∴ k 1 = 1, ∵ l 过点 (2,1), ∴ l 的方程为 y- 1 =x- 2, 即 x-y- 1 = 0; 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 一题多解 —— 直线与圆相切和光的反射 典例 自点 A ( - 3,3) 发出的光线 l 射到 x 轴上 , 被 x 轴反射 , 其反射光线所在直线与圆 x 2 +y 2 - 4 x- 4 y+ 7 = 0 相切 , 求光线 l 所在直线的方程 . 分析 l 过点 A , 欲求其方程需求斜率 k 或与 x 轴的交点 B. 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 ( 方法 2) 已知圆 C : x 2 +y 2 - 4 x- 4 y+ 7 = 0 关于 x 轴对称的圆 为 C 1 :( x- 2) 2 + ( y+ 2) 2 = 1, 其圆心 C 1 的坐标为 (2, - 2), 半径为 1, 由光的反射定律知 , 入射光线所在直线方程与圆 C 1 相切 . 则 l 的方程为 4 x+ 3 y+ 3 = 0 或 3 x+ 4 y- 3 = 0 . ( 方法 3) 设入射光线方程为 y- 3 =k ( x+ 3), 反射光线所在直线方程为 y=-kx+b , 由于二者横截距相等 , 且后者与已知圆相切 , 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 点评 本题是方程思想的典型应用 , 考查的重点在于设置怎样的未知数 , 依怎样的性质列方程 , 方法 1 、方法 2 属常规方法 , 方法 3 设置两个未知数 , 体现了列方程的方法在具体运用时的灵活性 . 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 1 . 直线 3 x+ 4 y+ 12 = 0 与圆 ( x- 1) 2 + ( y+ 1) 2 = 9 的位置关系是 ( 　　 ) A. 过圆心 B. 相切 C. 相离 D . 相交但不过圆心 答案 : D 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 2 . 若直线 x+y+m= 0 与圆 x 2 +y 2 =m 相切 , 则 m 的值是 ( 　　 ) 答案 : B 3 . 经过点 M (2,1) 作圆 x 2 +y 2 = 5 的切线 , 则切线的方程为 　　　　　 .   答案 : 2 x+y- 5 = 0 探究一 探究二 探究三 素养形成 当堂检测 4 . 直线 y=x+ 1 与圆 x 2 +y 2 + 2 y- 3 = 0 交于 A , B 两点 , 则 |AB|= 　　　　　 .