【数学】2020届一轮复习北师大版推理与证明课时作业 5页

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2021-06-30 发布

【数学】2020届一轮复习北师大版推理与证明课时作业

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一、选择题 ‎1．用分析法证明：欲使①A>B，只需②C－成立的过程如下：‎ 证明：要证－1>－，‎ 只要证＋>＋1，即证7＋2＋5>11＋2＋1，‎ 即证>，即证35>11.‎ 因为35>11显然成立，所以原不等式成立．‎ 以上证明过程应用了(　　)‎ A．综合法 B．分析法 C．综合法与分析法的综合使用 D．间接证法 ‎[答案]　B ‎3．a>0，b>0，则下列不等式中不成立的是(　　)‎ A．a＋b＋≥2 B．(a＋b)≥4‎ C．≥a＋b D．≥ ‎[答案]　D ‎[解析]　∵a>0，b>0，∴a＋b≥2，∴≤1，∴≤.‎ ‎4．设a、b∈R，且a≠b，a＋b＝2，则必有(　　)‎ A．1≤ab≤　　　 B．ab<1< C．ab<<1 D．<1‎2a＋b－2.‎ ‎[证明]　∵(a－1)2＋(b－)2＋c2≥0，‎ ‎∴a2－‎2a＋1＋b2－b＋＋c2≥0，‎ ‎∴a2＋b2＋c2≥‎2a＋b－，‎ ‎∵‎2a＋b－>‎2a＋b－2.‎ ‎∴a2＋b2＋c2>‎2a＋b－2.‎ ‎10．在锐角三角形中，比较sinA＋sinB＋sinC与cosA＋cosB＋cosC的大小．‎ ‎[解析]　在锐角三角形中，∵A＋B>，∴A>－B．‎ ‎∴0<－Bsin(－B)＝cosB，‎ 即sinA>cosB．①‎ 同理sinB>cosC，②‎ sinC>cosA．③‎ 由①＋②＋③，得 sinA＋sinB＋sinC>cosA＋cosB＋cosC．‎ 一、选择题 ‎11．在R上定义运算⊙a⊙b＝ab＋‎2a＋b，则满足x⊙(x－2)<0的实数x的取值范围为(　　)‎ A．(0,2) B．(－2,1)‎ C．(－∞，－2)∪(1＋∞) D．(－1,2)‎ ‎[答案]　C ‎[解析]　x⊙(x－2)＝x(x－2)＋2x＋x－2<0⇒x2＋x－2<0⇒－20，y>0，＋＝1，∴x＋＝(x＋)(＋)＝2＋＋≥2＋2＝4，等号在y＝4x，即x＝2，y＝8时成立，∴x＋的最小值为4，要使不等式m2－‎3m>x＋有解，应有m2－‎3m>4，∴‎ m<－1或m>4，故选B．‎ ‎13．(2018·陕西文，10)设f(x)＝ln x,0＜a＜b，若p＝f()，q＝f，r＝(f(a)＋f(b))，则下列关系式中正确的是(　　)‎ A．q＝r＜p B．q＝r＞p C．p＝r＜q D．p＝r＞q ‎[答案]　C ‎[解析]　p＝f()＝ln ＝ln ab；q＝f()＝ln ；r＝(f(a)＋f(b))＝ln ab，因为＞，‎ 由f(x)＝ln x是个递增函数，f()＞f()，‎ 所以q＞p＝r，故答案选C． ‎ ‎14．(2014·广东梅县东山中学期中)在f(m，n)中，m、n、f(m，n)∈N*，且对任意m，n都有：‎ ‎(1)f(1,1)＝1，(2)f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，(3)f(m＋1,1)＝‎2f(m,1)；给出下列三个结论：‎ ‎①f(1,5)＝9；②f(5,1)＝16；③f(5,6)＝26；‎ 其中正确的结论个数是(　　)个．(　　)‎ A．3　　　 B．‎2　‎　　‎ C．1　　　 D．0‎ ‎[答案]　A ‎[解析]　∵f(m，n＋1)＝f(m，n)＋2，∴f(m，n)组成首项为f(m,1)，公差为2的等差数列，‎ ‎∴f(m，n)＝f(m,1)＋2(n－1)．‎ 又f(1,1)＝1，∴f(1,5)＝f(1,1)＋2×(5－1)＝9，‎ 又∵f(m＋1,1)＝‎2f(m,1)，∴f(m,1)构成首项为f(1,1)，公比为2的等比数列，∴f(m,1)＝f(1,1)·‎2m－1＝‎2m－1，∴f(5,1)＝25－1＝16，∴f(5,6)＝f(5,1)＋2×(6－1)＝16＋10＝26，∴①②③都正确，故选A．‎ 二、填空题 ‎15．若sinα＋sinβ＋sinγ＝0，cosα＋cosβ＋cosγ＝0，则 cos(α－β)＝________.‎ ‎[答案]　－ ‎[解析]　由题意sinα＋sinβ＝－sinγ ①‎ cosα＋cosβ＝－cosγ ②‎ ‎①，②两边同时平方相加得 ‎2＋2sinαsinβ＋2cosαcosβ＝1‎ ‎2cos(α－β)＝－1，cos(α－β)＝－.‎ ‎16．已知a>0，b>0，m＝lg，n＝lg，则m与n的大小关系为________.‎ ‎[答案]　m>n ‎[解析]　因为(＋)2＝a＋b＋2>a＋b>0，所以>，所以m>n.‎ 三、解答题 ‎17．(2013·山东肥城二中高二期中)已知a、b、c、d为正实数，试用分析法证明：·≥ac＋bd.‎ ‎[证明]　要证·≥ac＋bd成立，只需证 ‎(a2＋b2)(c2＋d2)≥(ac＋bd)2，‎ 即证b‎2c2＋a2d2≥2abcd，‎ 也就是(bc＋ad)2≥0.‎ ‎∵(bc＋ad)2≥0显然成立，‎ ‎∴·≥ac＋bd.‎ ‎18．若α、β为锐角，且＋＝2.求证：α＋β＝.‎ ‎[证明]　设f(x)＝＋，x∈(0，)，显然f(x)为单调减函数．‎ ‎∵f(α)＝2，f(－β)＝＋＝2，‎ 即f(α)＝f(－β)，又f(x)在x∈(0，)上单调递减，‎ ‎∴α＝－β，∴α＋β＝.‎

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