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  • 2021-06-30 发布

高中数学第二章数列2-3等差数列的前n项和第1课时数列的前n项和与等差数列的前n项和达标检测含解析新人教A版必修5

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数列的前n项和与等差数列的前n项和 A级 基础巩固 一、选择题 ‎1.在等差数列{an}中,已知a4+a5=12,则S8等于(  )‎ A.12 B.24 C.36 D.48‎ 解析:由于a4+a5=12,故a1+a8=12,‎ 又S8=,所以S8==48.‎ 答案:D ‎2.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,则公差d为(  )‎ A.1 B. C.2 D.3‎ 解析:因为S3==6,而a3=4,所以a1=0,所以d==2.‎ 答案:C ‎3.现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为(  )‎ A.9 B.10 C.19 D.29‎ 解析:钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列,最上面一层钢管数为1,逐层增加1个.‎ 所以钢管总数为:1+2+3+…+n=.‎ 当n=19时,S19=190.当n=20时,S20=210>200.‎ 所以n=19时,剩余钢管根数最少,为10根.‎ 答案:B ‎4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,则n=(  )‎ A.12 B.14 C.16 D.18‎ 解析:因为Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80,S4=a1+a2+a3+a4=40,所以4(a1+an)=120,a1+an=30,由Sn==210,得n=14.‎ 答案:B ‎5.(多选)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且=,则使得 - 5 -‎ 为整数的正整数n的值为(  )‎ A.2 B.3‎ C.4 D.14‎ 解析:由题意得===,则====3+,‎ 由于为整数,则n+1为15的正约数,则n+1的可能取值有3、5、15,‎ 因此,正整数n的可能取值有2、4、14.‎ 答案:ACD 二、填空题 ‎6.已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+a=-3,S5=10,则a9的值是________.‎ 解析:设等差数列{an}公差为d,由题意可得:‎ 解得 则a9=a1+8d=-4+8×3=20.‎ 答案:20‎ ‎7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=6,S4=12,则S6=________.‎ 解析:设数列{an}的公差为d,S3=6,S4=12,‎ 所以 解得 所以S6=6a1+d=30.‎ 答案:30‎ 8. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=2a3,S5=15,则 a2 019=________.‎ 解析:在等差数列{an}中,由S3=2a3知3a2=2a3,‎ 而S5=15,则a3=3,于是a2=2,从而其公差为1,首项为1,因此an=n,故a2 019=‎ - 5 -‎ ‎2 019.‎ 答案:2 019‎ 三、解答题 ‎9.等差数列{an}中,a10=30,a20=50.‎ ‎(1)求数列的通项公式;‎ ‎(2)若Sn=242,求n.‎ 解:(1)设数列{an}的首项为a1,公差为d.‎ 则解得 所以an=a1+(n-1)d=12+(n-1)×2=10+2n.‎ ‎(2)由Sn=na1+ d以及a1=12,d=2,Sn=242,得方程242=12n+·2,‎ 即n2+11n-242=0,‎ 解得n=11或n=-22(舍去).故n=11.‎ ‎10.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.‎ ‎(1)求a及k的值;‎ ‎(2)设数列{bn}的通项公式为bn=,证明:数列{bn}是等差数列,并求其前n项和Tn.‎ ‎(1)解:设该等差数列为{an},则a1=a,a2=4,a3=3a,‎ 由已知有a+3a=8,得a1=a=2,‎ 公差d=4-2=2,‎ 所以Sk=ka1+·d=2k+×2=k2+k.‎ 由Sk=110,得k2+k-110=0,‎ 解得k=10或k=-11(舍去),‎ 故a=2,k=10.‎ ‎(2)证明:由(1)得Sn==n(n+1),‎ 则bn==n+1,‎ 故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,‎ 又b1=S1=2,‎ 即数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列,‎ 所以Tn==.‎ - 5 -‎ B级 能力提升 ‎1.(多选)已知数列{an}的前n项和Sn(Sn≠0),且满足an+4Sn-1Sn=0(n≥2),a1=,则下列说法错误的是(  )‎ A.数列{an}的前n项和为Sn=4n B.数列{an}的通项公式为an= C.数列{an}为递增数列 D.数列 解析:数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0),且满足an+4Sn-1Sn=0(n≥2),a1=,‎ 所以Sn-Sn-1+4Sn-1Sn=0,化为:-=4,‎ 所以数列是等差数列,公差为4,‎ 所以=4+4(n-1)=4n,可得Sn=,‎ 所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=-,‎ 所以an= 对选项逐一进行分析可得,A、B、C三个选项错误,D选项正确.‎ 答案:ABC ‎2.(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3=5,a7=13,则S10=________.‎ 答案:100‎ ‎3.设数列{an}的前n项和为Sn,点(n∈N*)均在函数y=3x-2的图象上.‎ ‎(1)求数列{an}的通项公式;‎ ‎(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.‎ 解:(1)依题意,得=3n-2,‎ 即Sn=3n2-2n.‎ 当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5;‎ 当n=1时,a1=1也适合.‎ - 5 -‎ 即an=6n-5.‎ ‎(2)由(1)得 bn===,‎ 故Tn=b1+b2+…+bn=[++…+]==.‎ - 5 -‎