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- 2021-06-30 发布
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数列的前n项和与等差数列的前n项和
A级 基础巩固
一、选择题
1.在等差数列{an}中,已知a4+a5=12,则S8等于( )
A.12 B.24 C.36 D.48
解析:由于a4+a5=12,故a1+a8=12,
又S8=,所以S8==48.
答案:D
2.等差数列{an}的前n项和为Sn,且S3=6,a3=4,则公差d为( )
A.1 B. C.2 D.3
解析:因为S3==6,而a3=4,所以a1=0,所以d==2.
答案:C
3.现有200根相同的钢管,把它们堆成正三角形垛,要使剩余的钢管尽可能少,那么剩余钢管的根数为( )
A.9 B.10 C.19 D.29
解析:钢管排列方式是从上到下各层钢管数组成了一个等差数列,最上面一层钢管数为1,逐层增加1个.
所以钢管总数为:1+2+3+…+n=.
当n=19时,S19=190.当n=20时,S20=210>200.
所以n=19时,剩余钢管根数最少,为10根.
答案:B
4.已知等差数列{an}的前n项和为Sn,S4=40,Sn=210,Sn-4=130,则n=( )
A.12 B.14 C.16 D.18
解析:因为Sn-Sn-4=an+an-1+an-2+an-3=80,S4=a1+a2+a3+a4=40,所以4(a1+an)=120,a1+an=30,由Sn==210,得n=14.
答案:B
5.(多选)已知两个等差数列{an}和{bn}的前n项和分别为Sn和Tn,且=,则使得
- 5 -
为整数的正整数n的值为( )
A.2 B.3
C.4 D.14
解析:由题意得===,则====3+,
由于为整数,则n+1为15的正约数,则n+1的可能取值有3、5、15,
因此,正整数n的可能取值有2、4、14.
答案:ACD
二、填空题
6.已知{an}是等差数列,Sn是其前n项和.若a1+a=-3,S5=10,则a9的值是________.
解析:设等差数列{an}公差为d,由题意可得:
解得
则a9=a1+8d=-4+8×3=20.
答案:20
7.设等差数列{an}的前n项和为Sn,S3=6,S4=12,则S6=________.
解析:设数列{an}的公差为d,S3=6,S4=12,
所以
解得
所以S6=6a1+d=30.
答案:30
8. 设等差数列{an}的前n项和为Sn,若S3=2a3,S5=15,则
a2 019=________.
解析:在等差数列{an}中,由S3=2a3知3a2=2a3,
而S5=15,则a3=3,于是a2=2,从而其公差为1,首项为1,因此an=n,故a2 019=
- 5 -
2 019.
答案:2 019
三、解答题
9.等差数列{an}中,a10=30,a20=50.
(1)求数列的通项公式;
(2)若Sn=242,求n.
解:(1)设数列{an}的首项为a1,公差为d.
则解得
所以an=a1+(n-1)d=12+(n-1)×2=10+2n.
(2)由Sn=na1+ d以及a1=12,d=2,Sn=242,得方程242=12n+·2,
即n2+11n-242=0,
解得n=11或n=-22(舍去).故n=11.
10.已知等差数列的前三项依次为a,4,3a,前n项和为Sn,且Sk=110.
(1)求a及k的值;
(2)设数列{bn}的通项公式为bn=,证明:数列{bn}是等差数列,并求其前n项和Tn.
(1)解:设该等差数列为{an},则a1=a,a2=4,a3=3a,
由已知有a+3a=8,得a1=a=2,
公差d=4-2=2,
所以Sk=ka1+·d=2k+×2=k2+k.
由Sk=110,得k2+k-110=0,
解得k=10或k=-11(舍去),
故a=2,k=10.
(2)证明:由(1)得Sn==n(n+1),
则bn==n+1,
故bn+1-bn=(n+2)-(n+1)=1,
又b1=S1=2,
即数列{bn}是首项为2,公差为1的等差数列,
所以Tn==.
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B级 能力提升
1.(多选)已知数列{an}的前n项和Sn(Sn≠0),且满足an+4Sn-1Sn=0(n≥2),a1=,则下列说法错误的是( )
A.数列{an}的前n项和为Sn=4n
B.数列{an}的通项公式为an=
C.数列{an}为递增数列
D.数列
解析:数列{an}的前n项和为Sn(Sn≠0),且满足an+4Sn-1Sn=0(n≥2),a1=,
所以Sn-Sn-1+4Sn-1Sn=0,化为:-=4,
所以数列是等差数列,公差为4,
所以=4+4(n-1)=4n,可得Sn=,
所以n≥2时,an=Sn-Sn-1=-=-,
所以an=
对选项逐一进行分析可得,A、B、C三个选项错误,D选项正确.
答案:ABC
2.(2019·全国卷Ⅲ)记Sn为等差数列{an}的前n项和,若a3=5,a7=13,则S10=________.
答案:100
3.设数列{an}的前n项和为Sn,点(n∈N*)均在函数y=3x-2的图象上.
(1)求数列{an}的通项公式;
(2)设bn=,求数列{bn}的前n项和Tn.
解:(1)依题意,得=3n-2,
即Sn=3n2-2n.
当n≥2时,an=Sn-Sn-1=(3n2-2n)-[3(n-1)2-2(n-1)]=6n-5;
当n=1时,a1=1也适合.
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即an=6n-5.
(2)由(1)得
bn===,
故Tn=b1+b2+…+bn=[++…+]==.
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