2019年高考数学总复习检测第5讲　函数的值域与最值 3页

第5讲　函数的值域与最值 ‎1．已知函数f(x)的值域为[－2,3]，则函数f(x－2)的值域为(D)‎ A. [－4,1] B. [0,5]‎ C. [－4,1]∪[0,5] D. [－2,3]‎ ‎ 函数y＝f(x－2)的图象是由y＝f(x)的图象向右平移2个单位而得到的，其值域不变．‎ ‎2．函数y＝的值域是(C)‎ A．[0，＋∞) B．[0,4]‎ C．[0,4) D．(0,4)‎ ‎ 因为16－4x≥0，且4x>0，‎ 所以0≤16－4x<16，所以0≤<4.‎ ‎3．已知函数f(x)＝ex－1，g(x)＝－x2＋4x－3.若有f(a)＝g(b)，则b的取值范围为(B)‎ A．[2－，2＋] B．(2－，2＋)‎ C．[1,3] D．(1,3)‎ ‎ f(a)的值域为(－1，＋∞)，由－b2＋4b－3>－1，‎ 解得2－0，且ln 1≤1－2a＋3a，‎ 解得－1≤a<.‎ 所以a的取值范围是[－1，)．‎ ‎5．函数y＝(x∈R)的值域为　[0,1)　.‎ ‎ y＝＝＝1－.‎ 因为x2＋1≥1，所以0<≤1，所以0≤y<1.‎ ‎6．若关于x的不等式x2－4x≥m对任意x∈(0,1]恒成立，则m的取值范围为　(－∞，－3]　.‎ ‎ 只需要在x∈(0,1]时，(x2－4x)min≥m即可．‎ 而当x＝1时，(x2－4x)min＝－3，所以m≤－3.‎ ‎7．求下列函数的值域：‎ ‎(1)y＝；‎ ‎(2)y＝2x＋4；‎ ‎(3)y＝|x＋1|＋.‎ ‎ (1)y＝＝1＋，‎ 因为≠0，所以y≠1，‎ 即所求函数的值域为(－∞，1)∪(1，＋∞)．‎ ‎(2)因为函数的定义域为{x|x≥1}，‎ 又函数是增函数，所以函数的值域为[2，＋∞)．‎ ‎(3)y＝|x＋1|＋|x－2|＝ 画出函数的图象，由图象观察可知，所求函数的值域为[3，＋∞)．‎ ‎8．(2017·天津卷)已知函数f(x)＝设a∈R，若关于x的不等式f(x)≥在R上恒成立，则a的取值范围是(A)‎ A．[－2,2] B．[－2，2]‎ C．[－2,2] D．[－2，2]‎ ‎ (方法一)因为f(x)≥＋a在R上恒成立，‎ 所以－f(x)－≤a≤f(x)－在R上恒成立．‎ 令g(x)＝－f(x)－.‎ 当0≤x＜1时，f(x)＝x＋2，‎ g(x)＝－x－2－＝－x－2≤－2，即g(x)max＝－2.‎ 当x＜0时，f(x)＝－x＋2，g(x)＝x－2－＝－2，‎ 即g(x)＜－2.‎ 当x≥1时，f(x)＝x＋，g(x)＝－x－－＝－x－≤－2，即g(x)max＝－2.所以a≥－2.‎ 令h(x)＝f(x)－.‎ 当0≤x＜1时，f(x)＝x＋2，h(x)＝x＋2－＝＋2≥2，即h(x)min＝2.‎ 当x＜0时，f(x)＝－x＋2，h(x)＝－x＋2－＝－x＋2＞2，‎ 即h(x)＞2.‎ 当x≥1时，f(x)＝x＋，h(x)＝x＋－＝＋≥2，即h(x)min＝2.所以a≤2.综上可知，－2≤a≤2.‎ ‎(方法二)若a＝2，则当x＝0时，f(0)＝2，而＋a＝2，不等式不成立，故排除选项C，D.‎ 若a＝－2，则当x＝0时，f(0)＝2，而＋a＝2，‎ 不等式不成立，故排除选项B.‎ 故选A.‎ ‎9．已知函数f(x)满足2f(x)－f()＝，则f(x)的最小值为　2　.‎ ‎ 由2f(x)－f()＝，　①‎ 令①式中的x变为，可得 ‎2f()－f(x)＝3x2，　②‎ 由①②可解得f(x)＝＋x2，由于x2>0，‎ 由基本不等式可得f(x)＝＋x2≥2＝2.‎ 当x2＝时取等号，因此，其最小值为2.‎ ‎10．已知函数f(x)＝－(a＞0，x＞0)．‎ ‎(1)若f(x)在[m，n]上的值域是[m，n]，求a的取值范围，并求相应的m，n的值；‎ ‎(2)若f(x)≤2x在(0，＋∞)上恒成立，求a的取值范围．‎ ‎ (1)因为f(x)＝－(a＞0，x＞0)，‎ 所以f(x)在(0，＋∞)上为增函数．‎ 那么当x∈[m，n]时，y∈[m，n]，所以 即m，n是方程－＝x相异的两实根，‎ 由－＝x，得x2－x＋1＝0，‎ 由题设知：所以0＜a＜.‎ 此时，m＝，n＝.‎ ‎(2)若－≤2x在(0，＋∞)上恒成立．‎ 那么a≥恒成立．‎ 令g(x)＝(x＞0)．所以g(x)≤＝. ‎ 故a≥.‎