备战2014高考数学 高频考点归类分析（真题为例）：函数的值域和最值 15页

函数的值域和最值问题 典型例题： ‎ 例1.（2012年重庆市理5分）设函数在上可导，其导函数为，且函数的图像如题图所示，则下列结论中一定成立的是【 】‎ ‎（A）函数有极大值和极小值 ‎ ‎（B）函数有极大值和极小值 ‎ ‎（C）函数有极大值和极小值 ‎ ‎（D）函数有极大值和极小值 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】函数在某点取得极值的条件，函数的图象。‎ ‎【分析】由图象知，与轴有三个交点，－2，1，2， ∴。‎ ‎ 由此得到， ，，和在上的情况：‎ ‎－2‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎＋‎ ‎＋‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎－‎ ‎－‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－[来源:学。科。网Z。X。X。K]‎ ‎－‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 非极值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎ ∴的极大值为，的极小值为。故选D。‎ 例2. （2012年陕西省理5分）设函数，则【 】‎ A. 为的极大值点 B.为的极小值点 C. 为的极大值点 D. 为的极小值点 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】应用导数求函数的极值。‎ ‎【解析】∵，令得。‎ ‎∴当时，，为减函数；当时，，为增函数，所以为的极小值点。‎ 故选D。‎ 例3. （2012年陕西省文5分）设函数则【 】‎ A．=为的极大值点 B．=为的极小值点 C．=2为 的极大值点 D．=2为 的极小值点 ‎【答案】D。‎ ‎【考点】应用导数求函数的极值。‎ ‎【解析】∵，令得。‎ ‎∴当时，，为减函数；‎ 当时，，为增函数。‎ ‎∴为的极小值点。‎ 故选D。‎ 例4. （2012年江苏省5分）已知函数的值域为，若关于x的不等式 的解集为，则实数c的值为 ▲ ．‎ ‎【答案】9。‎ ‎【考点】函数的值域，不等式的解集。‎ ‎【解析】由值域为，当时有，即， ‎ ‎∴。‎ ‎ ∴解得，。‎ ‎∵不等式的解集为，∴，解得。‎ 例5. （2012年广东省理14分）设a＜1，集合，‎ ‎（1）求集合D（用区间表示）‎ ‎（2）求函数在D内的极值点。‎ ‎【答案】解：（1）设，‎ 方程的判别式 ‎①当时，，恒成立，‎ ‎∴。‎ ‎∴，即集合D=。‎ ‎②当时，，方程的两根为 ‎，。‎ ‎∴‎ ‎∴，‎ 即集合D=‎ ‎。[来源:学科网]‎ ‎③当时，，方程的两根为 ‎，。‎ ‎∴‎ ‎。‎ ‎∴，‎ 即集合D=。‎ ‎（2）令得 的可能极值点为。‎ ‎ ①当时，由（1）知，所以随的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎0‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ ‎∴在D内有两个极值点为：极大值点为，极小值点为。‎ ‎②当时，‎ 由（1）知=。‎ ‎∵， ∴，‎ ‎∴随的变化情况如下表：‎ ‎0‎ ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ ‎↗‎ ‎∴在D内仅有一个极值点：极大值点为，没有极小值点。‎ ‎③当时， ‎ 由（1）知。‎ ‎∵，∴。‎ ‎∴‎ ‎。‎ ‎∴。‎ ‎∴在D内没有极值点。‎ ‎【考点】分类思想的应用，集合的计算， 解不等式，导数的应用。‎ ‎【解析】（1）根据根的判别式应用分类思想分、、讨论即可，计算比较繁。‎ ‎ （2）求出 ‎，得到的可能极值点为。仍然分、、讨论。‎ 例6. （2012年浙江省理14分）已知，，函数．‎ ‎（Ⅰ）证明：当时，‎ ‎ （i）函数的最大值为；‎ ‎ （ii）；‎ ‎（Ⅱ）若对恒成立，求的取值范围．‎ ‎【答案】(Ⅰ) 证明：‎ ‎(ⅰ)．‎ 当b≤0时，＞0在0≤x≤1上恒成立，‎ 此时的最大值为：＝|‎2a－b|﹢a；‎ 当b＞0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，‎ 此时的最大值为：‎ ‎＝|‎2a－b|﹢a。‎ 综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值为|‎2a－b|﹢a。‎ ‎(ⅱ) 设＝﹣，‎ ‎ ∵，∴令。‎ 当b≤0时，＜0在0≤x≤1上恒成立，‎ 此时的最大值为：＝|‎2a－b|﹢a；‎ 当b＜0时，在0≤x≤1上的正负性不能判断，‎ ‎≤|‎2a－b|﹢a。‎ 综上所述：函数在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|‎2a－b|﹢a，‎ 即＋|‎2a－b|﹢a≥0在0≤x≤1上恒成立。‎ ‎(Ⅱ)解：由(Ⅰ)知：函数在0≤x≤1上的最大值为|‎2a－b|﹢a，‎ 且函数在0≤x≤1上的最小值比﹣(|‎2a－b|﹢a)要大。‎ ‎∵﹣1≤≤1对x[0，1]恒成立，∴|‎2a－b|﹢a≤1。‎ 取b为纵轴，a为横轴．‎ 则可行域为：和，目标函数为z＝a＋b。‎ 作图如下：‎ 由图易得：当目标函数为z＝a＋b过P(1，2)时，有．‎ ‎∴所求a＋b的取值范围为：。‎ ‎【考点】分类思想的应用，不等式的证明，利用导数求闭区间上函数的最值，简单线性规划。‎ ‎【解析】(Ⅰ) (ⅰ)求导后，分b≤0和b＞0讨论即可。‎ ‎(ⅱ) 利用分析法，要证＋|‎2a－b|﹢a≥0，即证＝﹣≤|‎2a－b|﹢a，亦即证在0≤x≤1上的最大值小于(或等于)|‎2a－b|﹢a。‎ ‎ （Ⅱ）由（Ⅰ）知：函数在0≤x≤1上的最大值为|‎2a－b|﹢a，且函数在0≤x≤1‎ 上的最小值比 ‎﹣(|‎2a－b|﹢a)要大．根据－1≤≤1对x∈[0，1]恒成立，可得|‎2a－b|﹢a≤1，从而利用线性规划知识，可求a＋b的取值范围。‎ 例7. （2012年江西省文14分）已知函数在上单调递减且满足。‎ ‎（1）求的取值范围；‎ ‎（2）设，求在上的最大值和最小值。‎ ‎【答案】解：（1）∵，，∴。‎ ‎∴。∴。‎ ‎∵函数在上单调递减，‎ ‎∴对于任意的，都有。‎ ‎∴由得；由得。‎ ‎∴。‎ 又当=0时，对于任意的，都有，函数符合条件；‎ 当=1时，对于任意的，都有，函数符合条件。‎ 综上所述，的取值范围是0≤≤1。‎ ‎（2）∵‎ ‎∴。‎ ‎（i）当=0时，对于任意有，‎ ‎∴在[0，1]上的最小值是，最大值是；‎ ‎（ii）当=1时，对于任意有，‎ ‎∴在[0，1]上的最小值是，最大值是；‎ ‎（iii）当0＜＜1时，由得，‎ ‎①若，即时，在[0，1]上是增函数，‎ ‎∴在[0，1]上最大值是，最小值是；‎ ‎②若，即时，在取得最大值g，在=0或=1时取到最小值：‎ ‎∵，‎ ‎∴当时，在=0取到最小值；‎ 当时，在=1取到最小值。‎ ‎【考点】利用导数求闭区间上函数的最值，利用导数研究函数的单调性。‎ ‎【解析】（1）由题意，函数在[0，1]上单调递减且满足，可求出函数的导数，将函数在[0，1]上单调递减转化为导数在[0，1]上的函数值恒小于等于0，再结合，这两个方程即可求得取值范围。‎ ‎（2）由题设条件，先求出的解析式，求出导函数，由于参数的影响，函数在[0，1]上的单调性不同，结合（1）的结论及分=0，=1， 0＜＜1三类对函数的单调性进行讨论，确定并求出函数的最值。‎ 例8. （2012年湖南省理13分）某企业接到生产3000台某产品的A，B，Ｃ三种部件的订单，每台产品需要这三种部件的数量分别为２,２,１（单位：件）.已知每个工人每天可生产Ａ部件６件，或Ｂ部件３件，或Ｃ部件２件.该企业计划安排２００名工人分成三组分别生产这三种部件，生产Ｂ部件的人数与生产Ａ部件的人数成正比，比例系数为k（k为正整数）.‎ ‎（Ⅰ）设生产Ａ部件的人数为ｘ，分别写出完成Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件生产需要的时间；‎ ‎（Ⅱ）假设这三种部件的生产同时开工，试确定正整数k的值，使完成订单任务的时间最短，并给出时间最短时具体的人数分组方案.‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）设完成A，B，Ｃ三种部件的生产任务需要的时间（单位：天）分别为 由题设有 其中均为1到200之间的正整数。‎ ‎（Ⅱ）完成订单任务的时间为其定义域为。‎ 易知，为减函数，为增函数。‎ ‎∵于是 ‎（1）当时， 此时 ，‎ 由函数的单调性知，‎ 当时取得最小值，解得。‎ 由于，‎ 故当时完成订单任务的时间最短，且最短时间为。‎ ‎（2）当时， 由于为正整数，故，[来源:Zxxk.Com]‎ 此时。‎ 易知为增函数，则 ‎。‎ 由函数的单调性知，‎ 当时取得最小值，解得。‎ 由于 此时完成订单任务的最短时间大于。‎ ‎（3）当时， 由于为正整数，故，‎ 此时。‎ 由函数的单调性知，‎ 当时取得最小值，解得。‎ 类似（2）的讨论，此时完成订单任务的最短时间为，大于。‎ 综上所述，当时完成订单任务的时间最短，此时生产Ａ，Ｂ，Ｃ三种部件的人数 分别为44，88，68。‎ ‎【考点】分段函数、函数单调性、最值，分类思想的应用。‎ ‎【解析】（Ⅰ）根据题意建立函数模型。‎ ‎（Ⅱ）利用单调性与最值，分、和三种情况讨论即可得出结论。‎ 例10. （2012年重庆市文13分）已知函数在处取得极值为 ‎（1）求、的值（6分）；‎ ‎（2）若有极大值28，求在上的最大值（7分）． [来源:21世纪教育网][来源:学,科,网]‎ ‎【答案】解：（Ⅰ）∵， ∴。‎ ‎ ∵ 在点 处取得极值，‎ ‎∴，即，化简得，解得。‎ ‎（Ⅱ）由（Ⅰ）得，‎ 令 ，得。‎ ‎， 和在上的情况如下表：‎ ‎－‎ ‎0‎ ‎＋‎ ‎0‎ ‎－‎ ‎↘‎ 极小值 ‎↗‎ 极大值 ‎↘‎ 由此可知 在 处取得极大值， 在 处取得极小值。‎ ‎∵有极大值28，∴，解得。‎ 此时，‎ ‎∴ 上的最小值为。‎ ‎【考点】函数的导数与极值，最值之间的关系。‎ ‎【分析】（Ⅰ）先对函数进行求导，根据=0，，求出、的值。‎ ‎（Ⅱ）根据（Ⅰ）对函数进行求导，令，解出，列表求出函数的极大值和极小值。再比较函数的极值与端点函数值的大小，端点函数值与极大值中最大的为函数的最大值，端点函数值与极小值中最小的为函数的最小值。‎ 例11. （2012年江苏省16分）若函数在处取得极大值或极小值，则称为函数的极值点。‎ 已知是实数，1和是函数的两个极值点．‎ ‎（1）求和的值；‎ ‎（2）设函数的导函数，求的极值点；‎ ‎（3）设，其中，求函数的零点个数．‎ ‎【答案】解：（1）由，得。‎ ‎ ∵1和是函数的两个极值点，‎ ‎ ∴ ，，解得。‎ ‎ （2）∵ 由（1）得， ，‎ ‎ ∴，解得。‎ ‎ ∵当时，；当时，，‎ ‎ ∴是的极值点。‎ ‎ ∵当或时，，∴ 不是的极值点。‎ ‎ ∴的极值点是－2。‎ ‎（3）令，则。‎ ‎ 先讨论关于 的方程 根的情况：‎ 当时，由（2 ）可知，的两个不同的根为I 和一2 ，注意到是奇函数，∴的两个不同的根为一和2。‎ 当时，∵， ，‎ ‎∴一2 , －1，1 ，2 都不是的根。‎ 由（1）知。‎ ‎① 当时， ，于是是单调增函数，从而。‎ 此时在无实根。‎ ‎② 当时．，于是是单调增函数。‎ 又∵，，的图象不间断，‎ ‎∴ 在（1 , 2 ）内有唯一实根。‎ 同理，在（一2 ，一I ）内有唯一实根。‎ ‎③ 当时，，于是是单调减两数。‎ 又∵， ，的图象不间断，‎ ‎∴在（一1，1 ）内有唯一实根。‎ 因此，当时，有两个不同的根满足；当 时 有三个不同的根，满足。‎ 现考虑函数的零点：‎ ‎( i ）当时，有两个根，满足。‎ 而有三个不同的根，有两个不同的根，故有5 个零点。‎ ‎( 11 ）当时，有三个不同的根，满足。‎ 而有三个不同的根，故有9 个零点。‎ 综上所述，当时，函数有5 个零点；当时，函数有9 个零点。‎ ‎【考点】函数的概念和性质，导数的应用。‎ ‎【解析】（1）求出的导数，根据1和是函数的两个极值点代入列方程组求解即可。‎ ‎ （2）由（1）得，，求出，令，求解讨论即可。‎ ‎ （3）比较复杂，先分和讨论关于 的方程 根的情况；再考虑函数的零点。‎