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  • 2021-06-30 发布

高考数学专题复习练习:考点规范练32

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考点规范练32 二元一次不等式(组)与简单的线性规划问题 ‎ 考点规范练B册第21页  ‎ 基础巩固 ‎1.若点(1,b)在两条平行直线6x-8y+1=0和3x-4y+5=0之间,则b应取的整数值为(  )‎ ‎                   ‎ A.2 B.1 C.3 D.0‎ 答案B 解析由题意知(6-8b+1)(3-4b+5)<0,‎ 即b-‎‎7‎‎8‎(b-2)<0,解得‎7‎‎8‎0)取得最大值的最优解有无穷多个,则a的值是(  )‎ A.‎3‎‎2‎ B.‎‎1‎‎2‎ C.2 D.‎‎5‎‎2‎ 答案B 解析直线y=-ax+z(a>0)的斜率为-a<0,当直线y=-ax平移到直线AC位置时取得最大值的最优解有无穷多个.‎ ‎∵kAC=-‎1‎‎2‎,∴-a=-‎1‎‎2‎,即a=‎1‎‎2‎.‎ ‎5.已知正三角形ABC的顶点A(1,1),B(1,3),顶点C在第一象限内,若点(x,y)在△ABC的内部,则z=-x+y的取值范围是(  )‎ A.(1-‎3‎,2) B.(0,2)‎ C.(‎3‎-1,2) D.(0,1+‎3‎)‎ 答案A 解析由顶点C在第一象限内,且与点A,B构成正三角形,可求得点C的坐标为(1+‎3‎,2).‎ 将目标函数z=-x+y化为y=x+z,结合图形(图略)可知当y=x+z过点C时z取到最小值,此时zmin=1-‎3‎,当y=x+z过点B时z取到最大值,此时zmax=2,故z的取值范围为(1-‎3‎,2).‎ ‎6.(2016河南中原联盟高考仿真)已知实数x,y满足约束条件x≥0,‎‎3x+4y≥4,‎y≥0,‎则x2+y2+2x的最小值是(  )‎ A.‎2‎‎5‎ B.‎2‎-1 C.‎24‎‎25‎ D.1〚导学号74920493〛‎ 答案D 解析约束条件x≥0,‎‎3x+4y≥4,‎y≥0‎所表示的平面区域如图中阴影部分所示.‎ x2+y2+2x=(x+1)2+y2-1表示点(-1,0)到可行域内任一点距离的平方再减1,由图可知当x=0,y=1时,x2+y2+2x取得最小值1.‎ ‎7.已知实数x,y满足条件x≥2,‎x+y≤4,‎‎-2x+y+c≥0,‎若目标函数z=3x+y的最小值为5,则其最大值为     . ‎ 答案10‎ 解析画出x,y满足的可行域如下图,可得直线x=2与直线-2x+y+c=0的交点A,使目标函数z=3x+y取得最小值5,‎ 故由x=2,‎‎-2x+y+c=0,‎ 解得x=2,y=4-c,‎ 代入3x+y=5得6+4-c=5,即c=5.‎ 由x+y=4,‎‎-2x+y+5=0,‎得B(3,1).当过点B(3,1)时,目标函数z=3x+y取得最大值,最大值为10.‎ ‎8.某企业生产甲、乙两种产品,已知生产每吨甲产品要用A原料3吨、B原料2吨;生产每吨乙产品要用A原料1吨、B原料3吨.销售每吨甲产品可获得利润5万元、每吨乙产品可获得利润3万元,该企业在一个生产周期内消耗A原料不超过13吨、B原料不超过18吨,则该企业可获得的最大利润是     万元. ‎ 答案27‎ 解析设生产甲产品x吨、乙产品y吨,则获得的利润为z=5x+3y.‎ 由题意得x≥0,‎y≥0,‎‎3x+y≤13,‎‎2x+3y≤18,‎ 此不等式组表示的平面区域如图阴影部分所示.‎ 由图可知当y=-‎5‎‎3‎x+z‎3‎经过点A时,z取得最大值,此时x=3,y=4,zmax=5×3+3×4=27(万元).‎ ‎9.(2016江苏,12)已知实数x,y满足x-2y+4≥0,‎‎2x+y-2≥0,‎‎3x-y-3≤0,‎则x2+y2的取值范围是     . ‎ 答案‎4‎‎5‎‎,13‎ 解析画出约束条件对应的可行域(如图中阴影部分所示),x2+y2表示原点到可行域中的点的距离的平方,由图知原点到直线2x+y-2=0的距离的平方为x2+y2的最小值,为‎2‎‎5‎‎2‎‎=‎‎4‎‎5‎,原点到点(2,3)的距离的平方为x2+y2的最大值,为22+32=13.‎ 因此x2+y2的取值范围是‎4‎‎5‎‎,13‎.‎ 能力提升 ‎10.已知x,y满足约束条件x+y-2≤0,‎x-2y-2≤0,‎‎2x-y+2≥0.‎若z=y-ax取得最大值的最优解不唯一,则实数a的值为(  )‎ A.‎1‎‎2‎或-1 B.2或‎1‎‎2‎ C.2或1 D.2或-1〚导学号74920494〛‎ 答案D 解析(方法一)由题中条件画出可行域如图中阴影部分所示,可知A(0,2),B(2,0),C(-2,-2),则zA=2,zB=-2a,zC=2a-2,要使目标函数取得最大值的最优解不唯一,只要zA=zB>zC或zA=zC>zB或zB=zC>zA,解得a=-1或a=2.‎ ‎(方法二)目标函数z=y-ax可化为y=ax+z,令l0:y=ax,平移l0,则当l0∥AB或l0∥AC时符合题意,故a=-1或a=2.‎ ‎11.若不等式组x+y-2≤0,‎x+2y-2≥0,‎x-y+2m≥0‎表示的平面区域为三角形,且其面积等于‎4‎‎3‎,则m的值为(  )‎ A.-3 B.1 C.‎4‎‎3‎ D.3‎ 答案B 解析如图,要使不等式组表示的平面区域为三角形,则不等式x-y+2m≥0表示的平面区域为直线x-y+2m=0下方的区域,且-2m<2,即m>-1.这时平面区域为三角形ABC.‎ 由x+y-2=0,‎x+2y-2=0,‎解得x=2,‎y=0,‎则A(2,0).‎ 由x+y-2=0,‎x-y+2m=0,‎解得x=1-m,‎y=1+m,‎则B(1-m,1+m).‎ 同理C‎2-4m‎3‎‎,‎‎2+2m‎3‎,M(-2m,0).因为S△ABC=S△ABM-S△ACM=‎1‎‎2‎·(2+2m)·‎(1+m)-‎‎2+2m‎3‎‎=‎‎(m+1‎‎)‎‎2‎‎3‎,由已知得‎(m+1‎‎)‎‎2‎‎3‎‎=‎‎4‎‎3‎,解得m=1(m=-3<-1舍去).‎ ‎12.(2016天津,文16)某化肥厂生产甲、乙两种混合肥料,需要A,B,C三种主要原料.生产1车皮甲种肥料和生产1车皮乙种肥料所需三种原料的吨数如下表所示:‎ ‎  原料 肥料  ‎ A B C 甲 ‎4‎ ‎8‎ ‎3‎ 乙 ‎5‎ ‎5‎ ‎10‎ 现有A种原料200吨,B种原料360吨,C种原料300吨,在此基础上生产甲、乙两种肥料.已知生产1车皮甲种肥料,产生的利润为2万元;生产1车皮乙种肥料,产生的利润为3万元.分别用x,y表示计划生产甲、乙两种肥料的车皮数.‎ ‎(1)用x,y列出满足生产条件的数学关系式,并画出相应的平面区域;‎ ‎(2)问分别生产甲、乙两种肥料各多少车皮,能够产生最大的利润?并求出此最大利润.‎ 解(1)由已知,x,y满足的数学关系式为‎4x+5y≤200,‎‎8x+5y≤360,‎‎3x+10y≤300,‎x≥0,‎y≥0.‎ 该二元一次不等式组所表示的平面区域为图1中的阴影部分:‎ 图1‎ 图2‎ ‎(2)设利润为z万元,则目标函数为z=2x+3y.‎ 考虑z=2x+3y,将它变形为y=-‎2‎‎3‎x+z‎3‎,这是斜率为-‎2‎‎3‎,随z变化的一族平行直线,z‎3‎为直线在y轴上的截距,当z‎3‎取最大值时,z的值最大.又因为x,y满足约束条件,所以由图2可知,当直线z=2x+3y经过可行域上的点M时,截距z‎3‎最大,即z最大.‎ 解方程组‎4x+5y=200,‎‎3x+10y=300,‎得点M的坐标为(20,24).‎ 所以zmax=2×20+3×24=112.‎ 答:生产甲种肥料20车皮、乙种肥料24车皮时利润最大,且最大利润为112万元.‎ 高考预测 ‎13.在平面直角坐标系xOy中,M为不等式组‎2x+3y-6≤0,‎x+y-2≥0,‎y≥0‎所表示的区域上一动点,则|OM|的最小值是     . ‎ 答案‎2‎ 解析由约束条件画出可行域如图阴影部分所示.‎ 由图可知OM的最小值即为点O到直线x+y-2=0的距离,即dmin=‎|-2|‎‎2‎‎=‎‎2‎.‎