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  • 2021-06-30 发布

高中数学黄金100题系列第73题椭圆中的基本问题文

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第 73 题 椭圆中的基本问题 I.题源探究·黄金母题 【例 1】如图,圆O 的半径为 r ,A 是圆O 内的一个定点,P 是圆上任意一点.线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于 点Q ,当点 P 在圆上运动时,点Q 的轨迹是什么?为什么? 【解析】连接QA ,由于线段 AP 的垂直平分线l 和半径 OP 相 交于点Q ,则 QAQP  ,则 rQOQPQOQA  , 由于 A 为圆内一点,则 rOA  ,根据椭圆定义,点 Q 的轨 迹是以 A、O 为焦点的椭圆. 精彩解读 【试题来源】人教版 A 版选修 1-1P42 习题 2.1A 组 T7. 【母题评析】定义法是求轨迹的一种方法, 本题动点 Q 满足到两个定点距离之和是一 个常数(大于两定点距离),符合椭圆定义, 可以利用定义法求出动点Q 的轨迹.同理, 符合圆、双曲线、抛物线的定义也是如此.利 用定义不仅可以求轨迹,也可以解决很多相 关问题,如求曲线方程、求离心率等,因此 在解决圆锥曲线问题时要时刻牢记“勿忘定 义” 【思路方法】根据题意找出动点是否符合圆 锥曲线的定义,如圆的定义,椭圆、双曲线、 抛物线的定义,考虑问题注意运用线段的垂 直平分线性质,两圆内切、外切的条件等. II.考场精彩·真题回放 【例 1】【2017 高考浙江卷】椭圆 2 2 19 4 x y  的离心率是( ) A. 13 3 B. 5 3 C. 2 3 D. 5 9 【答案】B 【解析】 9 4 5 3 3e   ,故选 B. 【 例 2 】 【 2017 新 课 标 III 】 已 知 椭 圆 C :   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线 【命题意图】这类题主要考查椭圆的定义、 标准方程及其简单几何性质等. 【考试方向】高考对这部分的考查主要集中 在以下几个方面:(1)根据椭圆的定义求 椭圆的标准方程(选择、填空,解答题第一 问,常与椭圆性质、其它圆锥曲线和直线等 综合考察);(2)椭圆性质的初步运用(选 择、填空、解答题第一问);(3)求椭圆 中距离、周长或者面积等;(4)求直线与 椭圆相交时弦长、中点轨迹(解答题第二 问);(5)确定椭圆中的弦长、式子的定 值问题,确定与椭圆有关的曲线经过的定点 段 A1A2 为直径的圆与直线 2 0bx ay ab   相切,则 C 的离心 率为 ( ) A. 6 3 B. 3 3 C. 2 3 D. 1 3 【答案】A 【解析】以线段 1 2A A 为直径的圆的圆心为坐标原点 0,0 , 半 径 为 r a , 圆 的 方 程 为 2 2 2x y a  , 直 线 2 0bx ay ab   与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半 径 , 即 : 2 2 2abd a a b    , 整 理 可 得 2 23a b , 即  2 2 2 2 23 ,2 3a a c a c   ,从而 2 2 2 2 3 ce a   ,椭圆的离 心率 2 6 3 3 ce a    ,故选 A. 问题(解答题第二问);(6)求椭圆中的 弦长(或其它量)的最 值或者范围(解答题 第二问). 【难点中心】 1.利用定义解题,是数学常见题,灵活应 用定义,一方面考查对定义的理解,另一方 面体现在灵活应用的“活”字上,利用定义 解题的题型很多,涉及求离心率,求轨迹, 求焦三角形的周长、面积等. 2.解决椭圆的离心率的求值及范围问题, 其关键就是确立一个关于 cba ,, 的方程或不 等式,再根据 cba ,, 的关系消掉 b 得到 ca, 的关系式,建立关于 cba ,, 的方程或不等式, 要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的 坐标的范围等. 【例 3】【2016 高考新课标 II】已知 1F , 2F 是双曲线 E: 2 2 2 2 1x y a b   的左,右焦点,点 M 在 E 上, 1MF 与 x 轴垂直, 2 1 1sin 3MF F  ,则 E 的离心率为 ( ) A. 2 B. 2 3 C. 3 D.2 【解析】离心率 1 2 2 1 2 2 F Fc ce a a MF MF     , 1 2 2 1 1 2 190 sin 33MF F MF F MF x MF x      , , ,Q , 1 2 2 22 2 , 3 xF F x e x x     ,故选 A. 【例 4】【2017 高考江苏卷】如图,在平面直角坐标系 xOy 中, 椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yE a b a b     的左、右焦点分别为 1F , 2F ,离 心率为 1 2 ,两准线之间的距离为 8.点 P 在椭圆 E 上,且位 3.涉及直线与椭圆的位置关系的问题,只 要联立直线与椭圆的方程,借助根与系数关 系,找准题设条件中突显的或隐含的等量关 系,把这种关系“翻译”出来,有时不一定 要把结果及时求出来,可能需要整体代换到 后面的计算中去,从而减少计算量.等于“中 点弦问题”,可以利用“点差法”处理. 于第一象限,过点 1F 作直线 1PF 的垂线 1l ,过点 2F 作直线 2PF 的垂线 2l . (1)求椭圆 E 的标准方程; (2)若直线 1 2,l l 的交点 Q 在椭圆 E 上,求点 P 的坐标. F1 O F2 x y (第 17 题) 【答案】(1) 2 2 14 3 x y  ;(2) 4 7 3 7( , )7 7 . 【解析】(1)设椭圆的半焦距为 c .∵椭圆 E 的离心率为 1 2 , ∴ 1 2 c a  ①.∵两准线之间的距离为 8,∴ 22 8a c  ②.联立 ①②得 2, 1a c  ,∴ 3b  ,故椭圆 E 的标准方程为 2 2 14 3 x y  . (2)解法一:由(1)知    1 21, 0 , 1, 0F F . 从而直线 1l 的方程: 0 0 1( 1)xy xy    ① 直线 2l 的方程: 0 0 1( 1)xy xy    ② 由①②,解得 2 0 0 0 1, xx x y y    ,∴ 2 0 0 0 1( , )xQ x y  . ∵点 Q 在椭圆上,由对称性,得 2 0 0 0 1 x yy    ,即 2 2 0 0 1x y  或 2 2 0 0 1x y  . 因此点 P 的坐标为 4 7 3 7( , )7 7 . 解 法 二 : 设 0 0( , )P x y , 则 0 00, 0x y  , 由 题 意 得 0 0 0 0 1( 1) 1( 1) xy xy xy xy         ,整理得 0 2 0 0 1 x x xy y      ,∵点 0 0( , )P x y 在 椭 圆 E 上 , ∴ 2 2 0 0 14 3 x y  , ∴ 2 2 2 0 0 2 0 (1 ) 3 3 y x y  , ∴ 2 2 0 0 16 9,7 7x y  ,故点 P 的坐标是 4 7 3 7,7 7       . 解法三(参数方程):设  2cos , 3sin 0 , 2P           , 则 1 2 3sin 3sin, ,2cos 1 2cos 1PF PFk k       直线 1 2,l l 方程分别 为    2cos 1 2cos 11 , 1 3sin 3sin y x y x           .联立解 得 21 4cos2cos , , 3sin Q        又 Q 在 椭 圆 上 ,   22 22cos 1 4cos 1 14 3 3sin           , 整 理 得 4 27cos 10cos 8 0 ,      2 2 2 47cos 4 cos 2 0 , cos 7         . 又 2 2 210 , , cos , sin ,2 7 7           点 P 的坐标是 4 7 3 7,7 7       . 解法四(秒杀技):由已知得 1 2 90QF P QF P     ,故 这四个点共圆.若 1 2, , ,P F Q F 四点共圆,则圆以 1 2F F 为直 径,方程为 2 2 1x y  ,但它与椭圆 2 2 14 3 x y  无交点,故 应该是 1 2, , ,P Q F F 四点共圆(即在以 PQ 为直径的圆上), 从而 ,P Q 关于 y 轴对称.设   0 0 0 0, 0 , 0P x y x y  , 则  0 0,Q x y ,且 ,P Q 是圆  22 2 0 0x y y x   与椭圆 2 2 14 3 x y  的 交 点 , 又 1 2,F F 在 此 圆 上 ,  2 2 0 0 2 2 0 0 1 0 , 1,4 3 y x x y       解得 0 0 4 7 ,7 3 7 .7 x y     (注意 0 00 , 0x y  ). III.理论基础·解题原理 考点 1 椭圆的定义 椭圆的概念 (1)文字形式:在平面内到两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这 两定点叫做椭圆的焦点 ,两焦点间的距离叫做焦距. (2)代数式形式:集合 1 2 1 2P={M||MF|+|MF |=2a |FF |=2c. ①若 a c ,则集合 P 为椭圆; ②若 a c ,则集合 P 为线段; ③若 a c ,则集合 P 为空集. 考点 2 椭圆的标准方程 1.椭圆的标准方程: (1)焦点在 x 轴,   2 2 2 2 1 0x y a ba b     ; (2)焦点在 y 轴,   2 2 2 2 1 0y x a ba b     . 2.满足条件: 2 2 22 2 , , 0 , 0 , 0a c a b c a b c      考点 3 椭圆的几何性质 椭圆的标准方程及其几何性质 条件 2 2 22 2 , , 0 , 0 , 0a c a b c a b c      图形 标准方程   2 2 2 2 1 0x y a ba b       2 2 2 2 1 0y x a ba b     范围 x a y b , x b y a , 对称性 曲线关于 ,x y 轴及原点对称 顶点 长轴顶点 0a , ,短轴顶点 0 b, 长轴顶点  0 a, ,轴顶点 0b , 焦点  0c ,  0 c, 焦距 2 2 2 1 2 2 ( )F F c c a b= = 离心率    0,1ce a = ,其中 c= 2 2a b 通径 过焦点垂直于长轴的弦叫通径,其长为 22b a IV.题型攻略·深度挖掘 【考试方向】 这类试题在考查题型上,通常以解答题的形式出现,难度较小,往往以椭圆、抛物线、双曲线为载体, 考查圆锥曲线的定义、性质等基本知识. 椭圆问题借助定义 aPFPF 221  ,结合试题所给其它条件解题,特别是在焦三角形中,经常利用三 角形的边角关系(正弦定理、余弦定理、有时利用勾股定理、面积公式)解题,注意 1 2 1 2,PF PF PF PF  之间的联系,灵活应用定义解题. 椭圆是圆锥曲线中最重要的一类曲线,在高考中出现的次数也最多,主要考查椭圆的定义、性质、方 程,在解答题中多与直线、向量、轨迹等综合出题. 【易错指导】 1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中 x2 与 y2 的分母大小. 2.注意椭圆的范围,在设椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     上点的坐标为 P(x,y)时,则|x|≤a,这往往在 求与点 P 有关的最值问题中用到,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因. 3.学习中,要注意椭圆几何性质的挖掘: (1)椭圆中有两条对称轴,“六点”(两个焦点、四个顶点),要注意它们之间的位置关系(如焦点在 长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为 a-c),过焦点垂直于长轴的通径长为 2 222 b be c a   等. (2)设椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     上任意一点 P(x,y),则当 x=0 时,|OP|有最小值 b,这时,P 在 短轴端点处;当 x=a 时,|OP|有最大值 a,这时 P 在长轴端点处. (3)椭圆上任意一点 P(x,y)(y≠0)与两焦点 F1(-c,0),F2(c,0)构成的△PF1F2 称为焦点三角形, 其周长为 2(a+c). (4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形,其中 a 是斜边,a2=b2+c2. 4.重视向量在解析几何中的应用,注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征. V.举一反三·触类旁通 考向一 椭圆的定义与焦点三角形 【例 1】设 P 是椭圆 2 2 125 5 x y  上一点, 1 2,F F 是椭圆的两个焦点, 1 2 0,PF PF   1 2F PF则 面积是 ________. 【答案】 5 【解析】由椭圆方程可知 5, 25 5 2 5a c    ,即 1 2 2 10PF PF a   , 1 2 2 4 5F F c  .因为 1 2 0,PF PF   ,所以 1 2PF PF  ,所以 2 2 2 1 2 1 2 80PF PF F F   ,因为 2 22 1 2 1 2 1 2( ) 2PF PF PF PF PF PF    ,解得 1 2 10PF PF  .因为 1 2PF PF  ,所以 1 2 1 2 1 52F PFS PF PF   . 【例 2】(2018 浙江省名校联考)已知 F1,F2 是椭圆x2 4 +y2 3 =1 的两个焦点,过点 F2 作 x 轴的垂线交椭圆于 A, B 两点,则△F1AB 的周长为________. 【名师点睛】 1.涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题,可直接用椭圆定义求解. 2.涉及椭圆上点、焦点构成的三角形问题,往往利用椭圆定义、勾股定理或余弦定理求解. 3.应用椭圆的定义,可以得到结论:(1)椭圆上任意一点 P(x,y)(y≠0)与两焦点 F1(-c,0),F2(c,0) 构成的△PF1F2 称为焦点三角形,其周长为 2(a+c). (2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形,其中 a 是斜边,a2=b2+c2. 【例 3】【2018 江苏扬州模拟】已知椭圆的焦点是 F1、F2,P 是椭圆的一个动点,如果 M 是线段 F1P 的中点, 那么动点 M 的轨迹是________. 【答案】椭圆 【跟踪练习】 1.已知椭圆 C: 2 2 2 2 1x y a b   ( 0)a b  的左、右焦点为 1F 、 2F ,离心率为 3 3 ,过 2F 的直线l 交 C 于 A、 B 两点,若 1AF B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为________. 【答案】 2 2 13 2 x y  2.已知 F1、F2 是椭圆 C:x2 a2+y2 b2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上的一点,且PF1 → ⊥PF2 → .若△PF1F2 的面 积为 9,则 b=________. 【答案】3 考向二 椭圆的标准方程 【例 4】已知椭圆 C: 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左右焦点为 F1,F2 离心率为 3 3 ,过 F2 的直线 l 交C 与 A,B 两点,若△AF1B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为________. 【答案】 2 2 13 2 x y  【解析】由椭圆的定义可得, 1 2 1 22 2 ,AF AF a BF BF a   , 又因为 1 2 1 2 AF AF BF BF    4 3 , 所以 4a  4 3 ,解得 a  3 ,又因为 3 3 ce a   ,所以 1c  , 2 2 2 2b a c   ,所以椭圆方程为 2 2 13 2 x y  . 【例 5】求满足下列各条件的椭圆的标准方程: (1)长轴是短轴的 3 倍且经过点  3,0A ; (2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为 3; (3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴 ,且经过两点 P1( 6,1),P2(- 3,- 2). 【答案】(1) 2 2+y =19 x 或 2 2y + =181 9 x ;(2) 2 2y+ =112 9 x 或 2 2y+ =19 12 x ;(3)x2 9 +y2 3 =1. (3)设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0 且 m≠n).∵椭圆经过点 P1,P2,∴点 P1,P2 的坐标适合椭圆方程.则 6m+n=1, ① 3m+2n=1, ② ①②两式联立,解得 m=1 9 , n=1 3 . ∴所求椭圆方程为x2 9 +y2 3 =1. 【名师点睛】 1.求椭圆标准方程的方法 求椭圆的标准方程,除了直接根据定义外,常用待定系数法(先定性,后定型, 再定参). 当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时,可设方程为 2 2 =1x y m n  ( 0 )0m n m n> , > 且 ,可 以避免讨论和繁杂的计算,也可以设为 2 2 1Ax By+ = (A>0,B>0 且 A≠B),这种形式在解题中更简便. 2.椭圆的标准方程有两种形式,其结构简单,形式对称且系数的几何意义明确,在解题时要防止遗漏,要 深刻理解椭圆中的几何量 2 , , , , aa b c e c 等之间的关系,并能熟练地应用. 【温馨提醒】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是: (1)作判断:根据条件判断焦点的位置. (2)设方程:焦点不确定时,要注意分类讨论,或设方程为 2 2 1mx ny+ = ( 0 )0m n m n> , > 且 . (3)找关系:根据已知条件,建立关于 a b c m n、 、 或 、 的方程组. (4)求解,得方程. 2.(1)方程 2 2 2 2 y+ =1x a b 与 2 2 2 2 y+ = ( >0)x a b   有相同的离心率. (2)与椭圆 2 2 2 2+ =1(a>b>0)x y a b 共焦点的椭圆系方程为 2 2 2 2 2+ =1(a>b>0, 0)x y b ka k b k    ,恰当运用 椭圆系方程,可使运算简便. 【跟踪练习】 1.【湖北省八校 2018 届第一次联考】如图,已知椭圆C 的中心为原点O ,  5,0F  为C 的左焦点, P 为 C 上一点,满足 OP OF 且 6PF  ,则椭圆C 的方程为( ) A. 2 2 136 16 x y  B. 2 2 140 15 x y  C. 2 2 149 24 x y  D. 2 2 145 20 x y  【答案】C 考向三 椭圆的几何性质(离心率、通径等) 【例 6】椭圆 )0(12 2 2 2  ba b y a x 上一点 A关于原点的对称点为 B , F 为其左焦点,若 AF  BF ,设 6 ABF ,则该椭圆的离心率为( ) A. 2 2 B. 13  C. 3 3 D. 2 31 【解析】取椭圆右焦点 M ,连接 BMAM, ,由椭圆对称性以及 AF  BF 知四边形 AFBM 为矩形, ,2cFMAB  ,则由 6 ABF 得 cAF  , cAM 3 ,由椭圆定义知 aAMAF 2 , 3 2c c a  , 13 e . 【例 7】【2018 福建厦门模拟】设 1F , 2F 分别是椭圆   2 2 2 2 1 0x y a ba b     的左、右焦点,过 2F 的直线交 椭圆于 P , Q 两点,若 1 60F PQ   , 1PF PQ ,则椭圆的离心率为( ) A. 1 3 B. 2 3 C. 2 3 3 D. 3 3 【解析】由条件 1PF PQ ,而 0 1 60F PQ  ,∴ 1F PQ 为等边三角形,而周长为 4a,∴等边三角形 的边长为 4 3 a , 在焦点三角形 1 2PF F 中, 1 4| | 3 aPF  , 2 2| | 3 aPF  , 1 2| | 2F F c , ∴ 2 2 24 2( ) ( ) (2 )3 3 a a c  ,即 2 23a c ,∴ 2 2 2 1 3 ce a   ,∴ 3 3e  . 【例 8】设 1 2,F F 是双曲线 2 2 2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b     的两个焦点,P 是 C 上一 点,若 21 6 ,PF PF a  且 1 2PF F 的最小内角为 30 ,则 C 的离心率为___. 【解析】不妨设 1 2PF PF ,则 1 2 1 2 2 6 PF PF a PF PF a      ,所以 1 24 , 2PF a PF a  ,因为 0 1 2 30PF F  , 所以 1 2 2 3F F a ,所以 2 32 ce a   . 【跟踪练习】 1.【2018 贵州贵阳高中高三 8 月摸底考试】椭圆   2 2 2 2: 1 0x yC a ba b     的左顶点为 A ,右焦点为 F , 过点 F 且垂直于 x 轴的直线交 C 于两点 ,P Q ,若 3cos 5PAQ  ,则椭圆 C 的离心率 e 为( ) A. 1 2 B. 2 2 C. 3 3 D. 2 3 【答案】A 4 2 2 3 44 9 2 3 0c a c a c a    ,据此得到关于离心率的方程: 4 24 9 2 3 0e e e    ,分解因式有:  2 1 31 02 2e e e          ,结合椭圆离心率的取值范围可得椭圆的离心率 1 2e  ,故选 A. 2.【2018 重庆一中 11 月月考】已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左、右焦点分别为 1F , 2F , P 是椭 圆上一点, 1 2PF F 是以 1PF 为底边的等腰三角形,若 1 2 0, 3PF F      ,则该椭圆的离心率的取值范围 是( ) A. 10, 2      B. 10, 3      C. 1 ,12      D. 1 1,3 2      【答案】D 【解析】由题意可得 PF2=F1F2=2c,再由椭圆的定义可得 PF1 =2a-PF2=2a-2c.设∠PF2F1 =  ,则 1, 1 cos3 2         ,△PF1F2 中,由余弦定理可得 cos = 2 2 2 2 2 ac c a c   由-1<cosθ 可得 3e2+2e-1>0,e> 1 3 ,由 cosθ< 1 2 ,可得 2ac<a2,e= 1 2 c a  ,综上 1 1 3 2e  ,故选 D 3.已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     短轴的端点  0,P b 、  0,Q b ,长轴的一个端点为 M , AB 为经过 椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若 ,PA PB 的斜率之积等于 1 4  ,则 P 到直线 QM 的距离为 __________. 【答案】 2 5 5 4.【2018 河南师大附中高三 8 月开学考试】椭圆C : 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左焦点为 F ,若 F 关于直 线 3 0x y  的对称点 A 是椭圆C 上的点,则椭圆C 的离心率为__________. 【答案】 3 1 【解析】设 F为右焦点,则 π, , 3 , 23AF AF AF F AF AF FF AF         ,因此椭圆C 的离心 率为 2c 2 3 12 3 1 FF a AF AF       . 【方法点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两 种方法: ①求出 a,c,代入公式 ce a  ; ②只需要根据一个条件得到关于 a,b,c 的齐次式,结合 b2=a2-c2 转化为 a,c 的齐次式,然后等式(不 等式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式),解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围). 5.【2018 河南八市重点高中高三第一次测评】已知圆  2 2: 1 8C x y   ,定点  1,0 ,A M 为圆上一动点, 线段 MA 的垂直平分线交线段 MC 于点 N ,设点 N 的轨迹为曲线 E ; (Ⅰ)求曲线 E 的方程; (Ⅱ)若经过  0,2F 的直线 L 交曲线于不同的两点 ,G H ,(点G 在点 F ,H 之间),且满足 3 5FG FH  , 求直线 L 的方程. 【答案】(Ⅰ) 2 2 1.2 x y  (Ⅱ) 2 2.y x   (Ⅱ)设    1 1 2 2, , , ,G x y H x y 当直线GH 斜率存在时,设直线GH 的斜率为 k 则直线GH 的方程为: 2y kx  , 2 2 2 {   12 y kx x y      ,整理得: 2 21 4 3 02 k x kx       , 由 0  ,解得: 2 1 2 1 2 2 2 3 4 3, , .1 12 2 2 kk x x x x k k         ------① 又    1 1 2 2, , 2 , , , 2FG x y FH x y      , 由 3 5FG FH  ,得 1 2 3 5x x ,结合①得 2 2 2 3 5 6 5 1 2 1 2 k k k       ,即 2 32 2k   , 解得 2.k   直线 l 的方程为: 2 2y x   , 当直线GH 斜率不存在时,直线l 的方程为 10, 3x FG FH   与 3 5FG FH  矛盾. 直线 l 的方程为: 2 2.y x   6.【2018 湖南岳阳一中高三上学期第一次月考】已知点 P 是直线 : 2l y x  与椭圆   2 2 2 1 1x y aa    的 一个公共点, 1 2,F F 分别为该椭圆的左右焦点,设 1 2PF PF 取得最小值时椭圆为C . (1)求椭圆C 的标准方程及离心率; (2)已知 ,A B 为椭圆C 上关于 y 轴对称的两点, Q 是椭圆C 上异于 ,A B 的任意一点,直线 ,QA QB 分别 与 y 轴交于点    0, , 0,M m N n ,试判断 mn 是否为定值;如果为定值,求出该定值;如果不是,请说明 理由. 【答案】(1) 2 2 13 x y  ;(2)1 . (2)设      1 1 2 1 0 0, , , , ,A x y B x y Q x y ,且    0, , 0,M m N n , 【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程方程、圆锥曲线的定值问题,属于难题.探索圆 锥曲线的定值问题常见方法有两种:① 从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变 量无关;② 直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值. 7.【2018 黑龙江大庆实验中学高三上学期期初考试】已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的右焦点 3,0 , 且经过点 31, 2      ,点 M 是 x 轴上的一点,过点 M 的直线l 与椭圆C 交于 ,A B 两点(点 A 在 x 轴的上方) (1)求椭圆C 的方程; (2)若 2AM MB ,且直线l 与圆 2 2 4: 7O x y  相切于点 N ,求 MN 的长. 【答案】(1) 2 2 14 x y  (2) 4 21 21 2AM MB , 有 1 22y y  , 联 立 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 , 利 用 韦 达 定 理 得 2 1 2 1 22 2 2 4,4 4 tm my y y yt t      ,,三者消 1 2y y, 得 22 2 2 4 2, 24 4 m tm t t         ,最后关于 ,m t 的解方程组 得 2 4 3m  , 2 4 3t  ,根据切线长公式可得 MN 的长. 试题解析:(1)由题意知   2 2 2 2 2 2 3 3{ 21 14 a b c b          ,即  24 4 3 0a a   , 又 2 23 3a b   ,故 2 24, 1a b  , 椭圆 C 的方程为 2 2 14 x y  . (2)设  ,0M m ,直线    1 1 2 2: , , , ,l x ty m A x y B x y  , 由 2AM MB ,有 1 22y y  , 由   2 2 2 2 21{ 4 2 4 04 x y t y my m x yy m           , 由韦达定理得 2 1 2 1 22 2 2 4,4 4 tm my y y yt t      , 由 2 1 2 2 1 2 2 2 22 , 2y y y y y y y y        ,则    2 2 1 2 1 2 1 22y y y y y y         , 22 2 2 4 2, 24 4 m tm t t         ,化简得   2 2 2 24 4 8m t t m    ,原点O 到直线的距离 21 md t   , 考向四 直线与椭圆位置关系 【例 9】【2018 黑龙江省齐齐哈尔模拟】已知椭圆 2 2: 12 xC y  ,过椭圆C 的左焦点 F 的直线l 交椭圆C 于 A B、 两点,其中点 B 是椭圆的上顶点,椭圆C 的左顶点为 D ,直线 AD BD、 分别与直线 : 2 2m x    相交于 M N、 两点.则 ABD MND S S    ( ) A. 1 2 B. 1 1 22 3  C. 2 2 D. 1 3 【答案】B 【跟踪练习】 1.【2018 南京市联考】已知椭圆: 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的右焦点为 F ,过 F 作直线l (不过原点O ) 交椭圆于 ,A B 两点,若 ,A B 的中点为 M ,直线 OM 交椭圆的右准线于 N (1)若直线l 垂直 X 轴时, AB MN ,求椭圆的离心率 e ; (2)若椭圆的离心率 1 2e  ,当直线l 斜率存在时设为 1k ,直线 NF 的斜率设为 2k ,试求 1 2k k 的值. 2.【2018 四川成都一诊】已知    0 0,0 , 0,A x B y 两点分别在 x 轴和 y 轴上运动,且 1AB  ,若动点  ,P x y 满足 2 3 .OP OA OB    (1)求出动点 P 的轨迹对应曲线C 的标准方程; (2)直线 : 1l x ty  与曲线C 交于 A B、 两点,  1,0E  ,试问:当t 变化时,是否存在一直线l ,使 ABE 得面积为 2 3 ?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由. (2)由方程组 2 2 1 {   14 3 x ty x y     得  2 23 4 6 9 0 *t y ty   ( ) 设    1 1 2 2, , , ,A x y B x y 则 1 2 1 22 2 6 9, 03 4 3 4 ty y y yt t        所以 2 2 2 1 2 1 2 1 2 2 2 2 6 9 12 1| | ( ) 4 43 4 3 4 3 4 t ty y y y y y t t t                     因为直线 1x ty  过点  1,0F ,所以 ABE 的面积 2 2 1 2 2 2 1 1 12 1 12 1| | 22 2 3 4 3 4ABE t tS EF y y t t         ,令 2 2 12 1 2 33 4 t t   则 2 2 3t   不成立,不存在直 线l 满足题意. 考向五 与椭圆有关的最值、取值范围问题 【例 10】设 F1,F2 分别是椭圆x2 25 +y2 16 =1 的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为(6,4),则 |PM|+|PF1|的最大值为________. 【跟踪练习】 1.【2018 浙江名校协作体模拟】设 ,A B 是椭圆 2 2 : 14 x yC k   长轴的两个端点,若 C 上存在点 P 满足 120APB   ,则 k 的取值范围是( ) A.  , ,40 12 +3       B.  ,20, 6 +3       C.  , ,20 12 +3       D.  ,40, 6 +3       【答案】A 2.已知椭圆 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的左,右焦点为 1 2,F F ,离心率为 e .P 是椭圆上一点,满足 2 1 2PF F F , 点 Q 在线段 1PF 上,且 1 2FQ QP  .若 1 2 0F P F Q   ,则 2e  ( ) A. 2 1 B. 2- 2 C. 2- 3 D. 5 2 【答案】C 3.已知   ,0 0A a a  ,M(x0 ,y0)是椭圆 C:x2 2 +y2=1 上的一点,则 AM 的最小值  g a = . 【答案】 2 21 ,0 2 22 , 2 a a a a        【注意问题】因为 0 2x  ,所以当 20 2a  时,   21g a a  ,当 2 2a  时,    2 21 2 2 1 22g a a a a      . 4.【2018 安徽合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会高三上学期第一次联考】已知点 M 是圆心为 E 的 圆 2 23 16x y   上的动点,点  3,0F ,线段 MF 的垂直平分线交 EM 于点 P . (1)求动点 P 的轨迹C 的方程; (2)矩形 ABCD 的边所在直线与曲线C 均相切,设矩形 ABCD 的面积为 S ,求 S 的取值范围. 【答案】(1) 2 2 14 x y  ;(2) 8 10S  . 试题解析: (1)依题 PM PF , 所以 4PE PF PE PM ME     (为定值), 2 3,4 2 3EF   所以点 P 的轨迹是以 ,E F 为焦点的椭圆,其中 2 4,2 2 3a c  , 所以 P 点轨迹C 的方程是 2 2 14 x y  2 2 2 2 2 1 1 1 1 1{   2 1 04 4 x y k x k mx m y k x m             , 因为直线 AB 与椭圆相切,所以 2 2 14 1 0k m     ,所以 2 14 1m k  ,同理 2 24 1n k  , 所以     2 2 2 22 2 1 2 1 21 2 2 2 2 2 2 2 1 2 1 2 1 2 4 16 4 14 4 1 4 1 1 1 1 k k k kk kS k k k k k k               2 2 1 2 2 2 1 2 4 17 4 2 k k k k       2 2 21 2 1 2 2 9 94 4 4 4 2 12k k k k               , 2 1 2 1 1 2k k   (当且仅当 1 1k   时,不等式取等号), 所以 94 4 4 42 2S    ,即8 10S  , 由①②可知, 8 10S  . 5.【2018 安徽合肥高三调研性检测】已知 M 为椭圆 2 2 : 125 9 x yC   上的动点,过点 M 作 x 轴的垂线段 MD , D 为垂足,点 P 满足 5 3PD MD  . (Ⅰ)求动点 P 的轨迹 E 的方程; (Ⅱ)若 ,A B 两点分别为椭圆C 的左右顶点, F 为椭圆C 的左焦点,直线 PB 与椭圆C 交于点 Q ,直线 ,QF PA 的斜率分别为 ,QF PAk k ,求 QF PA k k 的取值范围. 【答案】(Ⅰ)动点 P 的轨迹 E 的方程为  2 2 25 0x y y   (Ⅱ) QF PA k k    2,0 ,5       求出 0 9 1125 4 QF PA k k x      ,进而借助 05 5x   且 0 4x   ,及 0 1 4x  在 5, 4  和 4,5 都是单调减 函数,求出 0 9 1125 4x     的范围为  2,0 ,5       : 解:(Ⅰ)设    , , ,P x y M m n 依题意  ,0D m ,且 0y  , ∵ 5 3PD MD  ,即   5, 0,3m x y n   , 则有 0 {   {  5 3 3 5 m x m x y n n y         . 又∵  ,M m n 为椭圆 2 2 : 125 9 x yC   上的点, 可得 2 2 3 5 125 9 yx       ,即 2 2 25x y  , 即动点 P 的轨迹 E 的方程为  2 2 25 0x y y   . 6.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 : 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     的离心率为 2 2 ,直线 l:y=2 上 的点和椭圆 上的点的距离的最小值为1. (Ⅰ) 求椭圆 的方程; (Ⅱ) 已知椭圆 的上顶点为 A,点 B,C 是 上的不同于 A 的两点,且点 B,C 关于原点对称,直线 AB,AC 分别交直线 l 于点 E,F.记直线 AC 与 AB 的斜率 分别为 1k , 2k . ① 求证: 1 2k k 为定值; ② 求△CEF 的面积的最小值. 证法二:直线 AC 的方程为 1 1y k x  , 由 2 2 1 1{ 2 1 x y y k x     , , 得 2 2 1 11 2 4 0k x k x   , 解得 1 2 1 4 2 1C kx k    ,同理 2 2 2 4 2 1B kx k    ,因为 B,O,C 三点共线,则由 1 2 2 2 1 2 4 4 02 1 2 1C B k kx x k k       , 整理得  1 2 1 22 1 0k k k k   ,所以 1 2 1 2k k   . ②直线 AC 的方程为 1 1y k x  ,直线 AB 的方程为 2 1y k x  ,不妨设 1 0k  ,则 2 0k  , 令 y=2,得 2 1 1 1,2 ,2E Fk k             , ,而 2 2 1 1 1 2 2 1 1 4 2 11 12 1 2 1C C k ky k x k k         , 所以,△CEF 的面积  1 22CEF CS EF y     2 1 2 1 2 1 2 11 1 1 22 2 1 k k k k          2 2 1 1 2 1 2 1 6 11 2 2 1 k k k k k k      . 由 1 2 1 2k k   得 2 1 1 2k k   ,则 CEFS 2 2 1 1 12 1 1 1 2 1 6 1 13 62 2 1 2 k k kk k k       ,当且仅当 1 6 6k  取得等 号,所以△CEF 的面积的最小值为 6 . 7.如图,过椭圆C : 2 2 14 x y  的左右焦点 1 2,F F 分别作直线 1l , 2l 交椭圆于 ,A B 与 ,C D ,且 1 2/ /l l . (1)求证:当直线 1l 的斜率 1k 与直线 BC 的斜率 2k 都存在时, 1 2k k 为定值; (2)求四边形 ABCD 面积的最大值. (2)当 1l 的倾斜角为 0 时, 1l 与 2l 重合,舍去.当 1l 的倾斜角不为 0 时,由对称性得四边形 ABCD 为平 行四边形,  1 3,0F  ,设直线 1l 的方程为 3x my  ,代入 2 2 14 x y  ,得  2 24 2 3 1 0m y y    .显然 0  , 1 2 2 2 3 4y y m    , 1 2 2 1 4y y m    .所以   2 2 1 2 22 2 2 1 3 2 3 1 13 4 2 32 2 4 4 4 OAB m mS y y m m m                    ,设 2 1m t  ,所以 2 1m t  ,  1,t   .所以   2 2 22 1 1 1 96 9 124 6 m t t tm t t        .当且仅当 9t t  即 2m   时等 号成立,所以  max 12 3 112OABS    .所以平行四边形面积的最大值为   max 4 4ABCD OABS S   . 8.已知点 P 是长轴长为 2 2 的椭圆Q : 2 2 2 2 1( 0)x y a ba b     上异于顶点的一个动点, O 为坐标原点, A 为椭圆的右顶点,点 M 为线段 PA 的中点,且直线 PA 与OM 的斜率之积恒为 1 2  . (1)求椭圆Q 的方程; (2)设过左焦点 1F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于 ,C D 两点,线段 CD 的垂直平分线与 x 轴交于点G , 点G 横坐标的取值范围是 1 ,04     ,求 CD 的最小值. 设    1 1 2 2, , ,A x y B x y , AB 中点  0 0,N x y ,∴  2 2 1 2 1 22 2 4 2 2,1 2 1 2 k kx x x xk k       . ∴     2 0 1 2 0 02 2 1 2 , 12 1 2 1 2 k kx x x y k xk k         ∴CD 的垂直平分线方程为  0 0 1y y x xk     ,令 0y  ,得 0 0 2 1 1 2 4 2Gx x ky k       ∵ 1 ,04Gx      ,∴ 2 1 1 1 4 2 4 2k      ,∴ 2 10 2k  .   4 2 2 2 2 2 1 2 16 4 2 1 2 2 1 1 2 1 k k k CD k x x k k            2 1 1 3 22 2 +2 22 2 1k         , min 3 2| | 2CD  . 考向六 椭圆中的定点、定值、定直线及存在性问题 【例 11】【2018 辽宁沈阳联考】平面直角坐标系 xOy 中,椭圆C : 2 2 2 2 1x y a b   ( 0a b  )的离心率 是 3 2 ,抛物线 E : 2 2x y 的焦点 F 是 C 的一个顶点. (1)求椭圆C 的方程; (2)设 P 是 E 上动点,且位于第一象限, E 在点 P 处的切线l 与C 交于不同的两点 A , B ,线段 AB 的 中点为 D ,直线OD 与过 P 且垂 直于 x 轴的直线交于点 M . (i)求证:点 M 在定直线上; (ii)直线l 与 y 轴交于点G ,记 PFG 的面积为 1S , PDM 的面积为 2S ,求 1 2 S S 的最大值及取得最大 值时点 P 的坐标.  2 2 3 44 1 4 1 0m x m x m     ,由 0  ,得 0 2 5m   且 3 1 2 2 4 4 1 mx x m    ,因此 3 1 2 0 2 2 2 4 1 x x mx m    ,将其代入 2 2 my mx  得   2 0 22 4 1 my m    ,因为 0 0 1 4 y x m   ,所以直线OD 方 程为 1 4y xm   .联立方程 1 {  4y xm x m    ,得点 M 的纵坐标为 M 1 4y   ,即点 M 在定直线 1 4y   上 (Ⅱ)由(Ⅰ)知直线l 方程为 2 2 my mx  ,令 0x  得 2 2 my   ,所以 2 0, 2 mG     , 又 2 1, , 0, ,2 2 mP m F D            3 2 2 2 2 ,4 1 2 4 1 m m m m        ,所以  2 1 1 1 12 4S GF m m m   ,     22 2 0 2 2 11 2 8 4 1 m m S PM m x m       ,所以      2 2 1 222 2 4 1 1 2 1 m mS S m     , 令 22 1t m  ,则   1 2 2 2 2 1 1 1 1 2t tS S t t t       ,当 1 1 2t  ,即 2t  时, 1 2 S S 取得最大值 9 4 ,此时 2 2m  ,满足 0  ,所以点 P 的坐标为 2 1,2 4       ,因此 1 2 S S 的最大值为 9 4 ,此时点 P 的坐标为 2 1,2 4       【跟踪练习】 1.如图, 1 2,A A 为椭圆 2 2 19 5 x y  长轴的左、右端点, O为坐标原点, , ,S Q T 为椭圆上不同于 1 2,A A 的 三点,直线 1 2, , ,QA QA OS OT 围成一个平行四边形OPQR ,则 2 2OS OT  ( ) A.14 B.12 C.9 D.7 【答案】A 2.【2018 江苏如东期中】已知椭圆 2 2 2 2: 1( 0)x yC a ba b     的离心率为 2 2 ,其左、右焦点分别为 1 2F F、 , 点  0 0,P x y 是坐标平面内一点,且 5OP  , 1 2 16PF PF   (O 为坐标原点). (1)求椭圆C 的方程; (2)过点  0, 1S  且斜率为 k 的动直线l 交椭圆于 ,A B 两点,在 y 轴上是否存在定点 M ,使以 AB 为直径 的圆恒过该点?若存在,求出点 M 的坐标,若不存在,说明理由. (2)设动直线l 的方程为: 1y kx  ,由 2 2 1 {   118 9 y kx x y     得 2 22 1 4 16 0k x kx    . 设  1 1,A x y ,  2 2,B x y ,则 1 2 2 4 2 1 kx x k    , 1 2 2 16 2 1x x k     .假设在 y 轴上是否存在定点  0,M m ,满足题设,则  1 1,MA x y m  ,  2 2,MB x y m  .   1 2 1 2MA MB x x y m y m         2 1 2 1 2 1 2x x y y m y y m         2 1 2 1 2 1 21 1 1 1x x kx kx m kx kx m             2 2 1 2 1 21 2 1k x x mk k x x m m           2 2 2 2 16 1 4 2 12 1 2 1 k k mk k m mk k          2 2 2 2 2 18 2 15 2 1 m k m m k       ,由假设得对于任意的 k R , 0MA MB   恒成立,即 2 2 2 18 0{   2 15 0 m m m      解得 3m  .因此,在 y 轴上存在定点 M ,使以 AB 为直径的圆恒过该点,点 M 的坐 标为 0,3 . 3.已知椭圆C : 2 2 2 2 1( 0)y x a ba b     的上下两个焦点分别为 1F , 2F ,过点 1F 与 y 轴垂直的直线交椭 圆C 于 M 、 N 两点, 2MNF 的面积为 3 ,椭圆C 的离心力为 3 2 . (Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程; (Ⅱ)已知O 为坐标原点,直线l : y kx m  与 y 轴交于点 P ,与椭圆 C 交于 A , B 两个不同的点, 若存在实数  ,使得 4OA OB OP    ,求 m 的取值范围. 且 1 2 2 2 4 kmx x k    , 2 1 2 2 4 4 mx x k   ,由 3AP PB  ,得 1 23x x  ,即 1 23x x  ,∴  2 1 2 1 23 4 0x x x x   ,∴    22 2 2 22 4 412 044 mk m kk    ,即 2 2 2 2 4 0m k m k    . 当 2 1m  时, 2 2 2 2 4 0m k m k    不成立,∴ 2 2 2 4 1 mk m   ,∵ 2 2 4 0k m   ,∴ 2 2 2 4 4 01 m mm     , 即  2 2 2 4 01 m m m   ,∴ 21 4m  ,解得 2 1m    或1 2m  .综上所述, m 的取值范围为 { | 2 1 0 1 2}m m m m      或 或 .