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- 2021-06-30 发布
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第 73 题 椭圆中的基本问题
I.题源探究·黄金母题
【例 1】如图,圆O 的半径为 r ,A 是圆O 内的一个定点,P
是圆上任意一点.线段 AP 的垂直平分线 l 和半径 OP 相交于
点Q ,当点 P 在圆上运动时,点Q 的轨迹是什么?为什么?
【解析】连接QA ,由于线段 AP 的垂直平分线l 和半径 OP 相
交于点Q ,则 QAQP ,则 rQOQPQOQA ,
由于 A 为圆内一点,则 rOA ,根据椭圆定义,点 Q 的轨
迹是以 A、O 为焦点的椭圆.
精彩解读
【试题来源】人教版 A 版选修 1-1P42 习题
2.1A 组 T7.
【母题评析】定义法是求轨迹的一种方法,
本题动点 Q 满足到两个定点距离之和是一
个常数(大于两定点距离),符合椭圆定义,
可以利用定义法求出动点Q 的轨迹.同理,
符合圆、双曲线、抛物线的定义也是如此.利
用定义不仅可以求轨迹,也可以解决很多相
关问题,如求曲线方程、求离心率等,因此
在解决圆锥曲线问题时要时刻牢记“勿忘定
义”
【思路方法】根据题意找出动点是否符合圆
锥曲线的定义,如圆的定义,椭圆、双曲线、
抛物线的定义,考虑问题注意运用线段的垂
直平分线性质,两圆内切、外切的条件等.
II.考场精彩·真题回放
【例 1】【2017 高考浙江卷】椭圆
2 2
19 4
x y 的离心率是( )
A. 13
3
B. 5
3
C. 2
3
D. 5
9
【答案】B
【解析】 9 4 5
3 3e ,故选 B.
【 例 2 】 【 2017 新 课 标 III 】 已 知 椭 圆 C :
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的左、右顶点分别为 A1,A2,且以线
【命题意图】这类题主要考查椭圆的定义、
标准方程及其简单几何性质等.
【考试方向】高考对这部分的考查主要集中
在以下几个方面:(1)根据椭圆的定义求
椭圆的标准方程(选择、填空,解答题第一
问,常与椭圆性质、其它圆锥曲线和直线等
综合考察);(2)椭圆性质的初步运用(选
择、填空、解答题第一问);(3)求椭圆
中距离、周长或者面积等;(4)求直线与
椭圆相交时弦长、中点轨迹(解答题第二
问);(5)确定椭圆中的弦长、式子的定
值问题,确定与椭圆有关的曲线经过的定点
段 A1A2 为直径的圆与直线 2 0bx ay ab 相切,则 C 的离心
率为 ( )
A. 6
3
B. 3
3
C. 2
3
D. 1
3
【答案】A
【解析】以线段 1 2A A 为直径的圆的圆心为坐标原点 0,0 ,
半 径 为 r a , 圆 的 方 程 为 2 2 2x y a , 直 线
2 0bx ay ab 与圆相切,所以圆心到直线的距离等于半
径 , 即 : 2 2
2abd a
a b
, 整 理 可 得 2 23a b , 即
2 2 2 2 23 ,2 3a a c a c ,从而
2
2
2
2
3
ce a
,椭圆的离
心率 2 6
3 3
ce a
,故选 A.
问题(解答题第二问);(6)求椭圆中的
弦长(或其它量)的最 值或者范围(解答题
第二问).
【难点中心】
1.利用定义解题,是数学常见题,灵活应
用定义,一方面考查对定义的理解,另一方
面体现在灵活应用的“活”字上,利用定义
解题的题型很多,涉及求离心率,求轨迹,
求焦三角形的周长、面积等.
2.解决椭圆的离心率的求值及范围问题,
其关键就是确立一个关于 cba ,, 的方程或不
等式,再根据 cba ,, 的关系消掉 b 得到 ca,
的关系式,建立关于 cba ,, 的方程或不等式,
要充分利用椭圆和双曲线的几何性质、点的
坐标的范围等.
【例 3】【2016 高考新课标 II】已知 1F , 2F 是双曲线 E:
2 2
2 2 1x y
a b
的左,右焦点,点 M 在 E 上, 1MF 与 x 轴垂直,
2 1
1sin 3MF F ,则 E 的离心率为 ( )
A. 2 B.
2
3 C. 3 D.2
【解析】离心率 1 2
2 1
2
2
F Fc ce a a MF MF
,
1 2 2 1 1 2
190 sin 33MF F MF F MF x MF x , , ,Q ,
1 2
2 22 2 , 3
xF F x e x x
,故选 A.
【例 4】【2017 高考江苏卷】如图,在平面直角坐标系 xOy 中,
椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yE a b
a b
的左、右焦点分别为 1F , 2F ,离
心率为 1
2
,两准线之间的距离为 8.点 P 在椭圆 E 上,且位
3.涉及直线与椭圆的位置关系的问题,只
要联立直线与椭圆的方程,借助根与系数关
系,找准题设条件中突显的或隐含的等量关
系,把这种关系“翻译”出来,有时不一定
要把结果及时求出来,可能需要整体代换到
后面的计算中去,从而减少计算量.等于“中
点弦问题”,可以利用“点差法”处理.
于第一象限,过点 1F 作直线 1PF 的垂线 1l ,过点 2F 作直线 2PF
的垂线 2l .
(1)求椭圆 E 的标准方程;
(2)若直线 1 2,l l 的交点 Q 在椭圆 E 上,求点 P 的坐标.
F1
O F2 x
y
(第 17 题)
【答案】(1)
2 2
14 3
x y ;(2) 4 7 3 7( , )7 7
.
【解析】(1)设椭圆的半焦距为 c .∵椭圆 E 的离心率为 1
2
,
∴ 1
2
c
a
①.∵两准线之间的距离为 8,∴
22 8a
c
②.联立
①②得 2, 1a c ,∴ 3b ,故椭圆 E 的标准方程为
2 2
14 3
x y .
(2)解法一:由(1)知 1 21, 0 , 1, 0F F .
从而直线 1l 的方程: 0
0
1( 1)xy xy
①
直线 2l 的方程: 0
0
1( 1)xy xy
②
由①②,解得
2
0
0
0
1, xx x y y
,∴
2
0
0
0
1( , )xQ x y
.
∵点 Q 在椭圆上,由对称性,得
2
0
0
0
1 x yy
,即 2 2
0 0 1x y
或 2 2
0 0 1x y .
因此点 P 的坐标为 4 7 3 7( , )7 7
.
解 法 二 : 设 0 0( , )P x y , 则 0 00, 0x y , 由 题 意 得
0
0
0
0
1( 1)
1( 1)
xy xy
xy xy
,整理得
0
2
0
0
1
x x
xy y
,∵点 0 0( , )P x y 在
椭 圆 E 上 , ∴
2 2
0 0 14 3
x y , ∴
2 2 2
0 0
2
0
(1 )
3 3
y x
y
, ∴
2 2
0 0
16 9,7 7x y ,故点 P 的坐标是 4 7 3 7,7 7
.
解法三(参数方程):设 2cos , 3sin 0 , 2P
,
则
1 2
3sin 3sin, ,2cos 1 2cos 1PF PFk k
直线 1 2,l l 方程分别
为 2cos 1 2cos 11 , 1
3sin 3sin
y x y x
.联立解
得
21 4cos2cos , ,
3sin
Q
又 Q 在 椭 圆 上 ,
22 22cos 1 4cos 1 14 3 3sin
, 整 理 得
4 27cos 10cos 8 0 ,
2 2 2 47cos 4 cos 2 0 , cos 7
. 又
2 2 210 , , cos , sin ,2 7 7
点 P 的坐标是
4 7 3 7,7 7
.
解法四(秒杀技):由已知得 1 2 90QF P QF P ,故
这四个点共圆.若 1 2, , ,P F Q F 四点共圆,则圆以 1 2F F 为直
径,方程为 2 2 1x y ,但它与椭圆
2 2
14 3
x y 无交点,故
应该是 1 2, , ,P Q F F 四点共圆(即在以 PQ 为直径的圆上),
从而 ,P Q 关于 y 轴对称.设 0 0 0 0, 0 , 0P x y x y ,
则 0 0,Q x y ,且 ,P Q 是圆 22 2
0 0x y y x 与椭圆
2 2
14 3
x y 的 交 点 , 又 1 2,F F 在 此 圆 上 ,
2 2
0 0
2 2
0 0
1 0 ,
1,4 3
y x
x y
解得
0
0
4 7 ,7
3 7 .7
x
y
(注意 0 00 , 0x y ).
III.理论基础·解题原理
考点 1 椭圆的定义
椭圆的概念
(1)文字形式:在平面内到两定点 F1、F2 的距离的和等于常数(大于|F1F2|)的点的轨迹(或集合)叫椭圆.这
两定点叫做椭圆的焦点 ,两焦点间的距离叫做焦距.
(2)代数式形式:集合 1 2 1 2P={M||MF|+|MF |=2a |FF |=2c.
①若 a c ,则集合 P 为椭圆;
②若 a c ,则集合 P 为线段;
③若 a c ,则集合 P 为空集.
考点 2 椭圆的标准方程
1.椭圆的标准方程:
(1)焦点在 x 轴,
2 2
2 2 1 0x y a ba b
;
(2)焦点在 y 轴,
2 2
2 2 1 0y x a ba b
.
2.满足条件: 2 2 22 2 , , 0 , 0 , 0a c a b c a b c
考点 3 椭圆的几何性质
椭圆的标准方程及其几何性质
条件 2 2 22 2 , , 0 , 0 , 0a c a b c a b c
图形
标准方程
2 2
2 2 1 0x y a ba b
2 2
2 2 1 0y x a ba b
范围 x a y b , x b y a ,
对称性 曲线关于 ,x y 轴及原点对称
顶点 长轴顶点 0a , ,短轴顶点 0 b, 长轴顶点 0 a, ,轴顶点 0b ,
焦点 0c , 0 c,
焦距 2 2 2
1 2 2 ( )F F c c a b= =
离心率 0,1ce a
= ,其中 c= 2 2a b
通径 过焦点垂直于长轴的弦叫通径,其长为
22b
a
IV.题型攻略·深度挖掘
【考试方向】
这类试题在考查题型上,通常以解答题的形式出现,难度较小,往往以椭圆、抛物线、双曲线为载体,
考查圆锥曲线的定义、性质等基本知识.
椭圆问题借助定义 aPFPF 221 ,结合试题所给其它条件解题,特别是在焦三角形中,经常利用三
角形的边角关系(正弦定理、余弦定理、有时利用勾股定理、面积公式)解题,注意 1 2 1 2,PF PF PF PF
之间的联系,灵活应用定义解题.
椭圆是圆锥曲线中最重要的一类曲线,在高考中出现的次数也最多,主要考查椭圆的定义、性质、方
程,在解答题中多与直线、向量、轨迹等综合出题.
【易错指导】
1.判断两种标准方程的方法为比较标准形式中 x2 与 y2 的分母大小.
2.注意椭圆的范围,在设椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
上点的坐标为 P(x,y)时,则|x|≤a,这往往在
求与点 P 有关的最值问题中用到,也是容易被忽略而导致求最值错误的原因.
3.学习中,要注意椭圆几何性质的挖掘:
(1)椭圆中有两条对称轴,“六点”(两个焦点、四个顶点),要注意它们之间的位置关系(如焦点在
长轴上等)以及相互间的距离(如焦点到相应顶点的距离为 a-c),过焦点垂直于长轴的通径长为
2 222 b be c a
等.
(2)设椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
上任意一点 P(x,y),则当 x=0 时,|OP|有最小值 b,这时,P 在
短轴端点处;当 x=a 时,|OP|有最大值 a,这时 P 在长轴端点处.
(3)椭圆上任意一点 P(x,y)(y≠0)与两焦点 F1(-c,0),F2(c,0)构成的△PF1F2 称为焦点三角形,
其周长为 2(a+c).
(4)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形,其中 a 是斜边,a2=b2+c2.
4.重视向量在解析几何中的应用,注意合理运用中点、对称、弦长、垂直等几何特征.
V.举一反三·触类旁通
考向一 椭圆的定义与焦点三角形
【例 1】设 P 是椭圆
2 2
125 5
x y 上一点, 1 2,F F 是椭圆的两个焦点, 1 2 0,PF PF
1 2F PF则 面积是 ________.
【答案】 5
【解析】由椭圆方程可知 5, 25 5 2 5a c ,即 1 2 2 10PF PF a , 1 2 2 4 5F F c .因为
1 2 0,PF PF ,所以 1 2PF PF ,所以 2 2 2
1 2 1 2 80PF PF F F ,因为
2 22
1 2 1 2 1 2( ) 2PF PF PF PF PF PF ,解得 1 2 10PF PF .因为 1 2PF PF ,所以
1 2 1 2
1 52F PFS PF PF .
【例 2】(2018 浙江省名校联考)已知 F1,F2 是椭圆x2
4
+y2
3
=1 的两个焦点,过点 F2 作 x 轴的垂线交椭圆于 A,
B 两点,则△F1AB 的周长为________.
【名师点睛】
1.涉及到动点到两定点距离之和为常数的问题,可直接用椭圆定义求解.
2.涉及椭圆上点、焦点构成的三角形问题,往往利用椭圆定义、勾股定理或余弦定理求解.
3.应用椭圆的定义,可以得到结论:(1)椭圆上任意一点 P(x,y)(y≠0)与两焦点 F1(-c,0),F2(c,0)
构成的△PF1F2 称为焦点三角形,其周长为 2(a+c).
(2)椭圆的一个焦点、中心和短轴的一个端点构成直角三角形,其中 a 是斜边,a2=b2+c2.
【例 3】【2018 江苏扬州模拟】已知椭圆的焦点是 F1、F2,P 是椭圆的一个动点,如果 M 是线段 F1P 的中点,
那么动点 M 的轨迹是________.
【答案】椭圆
【跟踪练习】
1.已知椭圆 C:
2 2
2 2 1x y
a b
( 0)a b 的左、右焦点为 1F 、 2F ,离心率为 3
3
,过 2F 的直线l 交 C 于 A、
B 两点,若 1AF B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为________.
【答案】
2 2
13 2
x y
2.已知 F1、F2 是椭圆 C:x2
a2+y2
b2=1(a>b>0)的两个焦点,P 为椭圆 C 上的一点,且PF1
→
⊥PF2
→
.若△PF1F2 的面
积为 9,则 b=________.
【答案】3
考向二 椭圆的标准方程
【例 4】已知椭圆 C:
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左右焦点为 F1,F2 离心率为 3
3
,过 F2 的直线 l 交C 与 A,B
两点,若△AF1B 的周长为 4 3 ,则 C 的方程为________.
【答案】
2 2
13 2
x y
【解析】由椭圆的定义可得, 1 2 1 22 2 ,AF AF a BF BF a , 又因为 1 2 1 2 AF AF BF BF 4 3 ,
所以 4a 4 3 ,解得 a 3 ,又因为 3
3
ce a
,所以 1c , 2 2 2 2b a c ,所以椭圆方程为
2 2
13 2
x y .
【例 5】求满足下列各条件的椭圆的标准方程:
(1)长轴是短轴的 3 倍且经过点 3,0A ;
(2)短轴一个端点与两焦点组成一个正三角形,且焦点到同侧顶点的距离为 3;
(3)已知椭圆的中心在原点,以坐标轴为对称轴 ,且经过两点 P1( 6,1),P2(- 3,- 2).
【答案】(1)
2
2+y =19
x 或
2 2y + =181 9
x ;(2)
2 2y+ =112 9
x 或
2 2y+ =19 12
x ;(3)x2
9
+y2
3
=1.
(3)设椭圆方程为 mx2+ny2=1(m>0,n>0 且 m≠n).∵椭圆经过点 P1,P2,∴点 P1,P2 的坐标适合椭圆方程.则
6m+n=1, ①
3m+2n=1, ②
①②两式联立,解得
m=1
9
,
n=1
3
.
∴所求椭圆方程为x2
9
+y2
3
=1.
【名师点睛】
1.求椭圆标准方程的方法
求椭圆的标准方程,除了直接根据定义外,常用待定系数法(先定性,后定型, 再定参).
当椭圆的焦点位置不明确而无法确定其标准方程时,可设方程为
2 2
=1x y
m n
( 0 )0m n m n> , > 且 ,可
以避免讨论和繁杂的计算,也可以设为 2 2 1Ax By+ = (A>0,B>0 且 A≠B),这种形式在解题中更简便.
2.椭圆的标准方程有两种形式,其结构简单,形式对称且系数的几何意义明确,在解题时要防止遗漏,要
深刻理解椭圆中的几何量
2
, , , , aa b c e c
等之间的关系,并能熟练地应用.
【温馨提醒】1.用待定系数法求椭圆标准方程的一般步骤是:
(1)作判断:根据条件判断焦点的位置.
(2)设方程:焦点不确定时,要注意分类讨论,或设方程为 2 2 1mx ny+ = ( 0 )0m n m n> , > 且 .
(3)找关系:根据已知条件,建立关于 a b c m n、 、 或 、 的方程组.
(4)求解,得方程.
2.(1)方程
2 2
2 2
y+ =1x
a b
与
2 2
2 2
y+ = ( >0)x
a b
有相同的离心率.
(2)与椭圆
2 2
2 2+ =1(a>b>0)x y
a b
共焦点的椭圆系方程为
2 2
2
2 2+ =1(a>b>0, 0)x y b ka k b k
,恰当运用
椭圆系方程,可使运算简便.
【跟踪练习】
1.【湖北省八校 2018 届第一次联考】如图,已知椭圆C 的中心为原点O , 5,0F 为C 的左焦点, P 为
C 上一点,满足 OP OF 且 6PF ,则椭圆C 的方程为( )
A.
2 2
136 16
x y B.
2 2
140 15
x y C.
2 2
149 24
x y D.
2 2
145 20
x y
【答案】C
考向三 椭圆的几何性质(离心率、通径等)
【例 6】椭圆 )0(12
2
2
2
ba
b
y
a
x 上一点 A关于原点的对称点为 B , F 为其左焦点,若 AF BF ,设
6
ABF ,则该椭圆的离心率为( )
A.
2
2 B. 13 C.
3
3 D.
2
31
【解析】取椭圆右焦点 M ,连接 BMAM, ,由椭圆对称性以及 AF BF 知四边形 AFBM 为矩形,
,2cFMAB ,则由
6
ABF 得 cAF , cAM 3 ,由椭圆定义知 aAMAF 2 ,
3 2c c a , 13 e .
【例 7】【2018 福建厦门模拟】设 1F , 2F 分别是椭圆
2 2
2 2 1 0x y a ba b
的左、右焦点,过 2F 的直线交
椭圆于 P , Q 两点,若 1 60F PQ , 1PF PQ ,则椭圆的离心率为( )
A. 1
3
B. 2
3
C. 2 3
3
D. 3
3
【解析】由条件 1PF PQ ,而 0
1 60F PQ ,∴ 1F PQ 为等边三角形,而周长为 4a,∴等边三角形
的边长为 4
3
a
,
在焦点三角形 1 2PF F 中, 1
4| | 3
aPF , 2
2| | 3
aPF , 1 2| | 2F F c ,
∴ 2 2 24 2( ) ( ) (2 )3 3
a a c ,即 2 23a c ,∴
2
2
2
1
3
ce a
,∴ 3
3e .
【例 8】设 1 2,F F 是双曲线
2 2
2 2: 1( 0, 0)x yC a ba b
的两个焦点,P 是 C 上一
点,若 21 6 ,PF PF a 且 1 2PF F 的最小内角为 30 ,则 C 的离心率为___.
【解析】不妨设 1 2PF PF ,则 1 2
1 2
2
6
PF PF a
PF PF a
,所以 1 24 , 2PF a PF a ,因为 0
1 2 30PF F ,
所以 1 2 2 3F F a ,所以 2 32
ce a
.
【跟踪练习】
1.【2018 贵州贵阳高中高三 8 月摸底考试】椭圆
2 2
2 2: 1 0x yC a ba b
的左顶点为 A ,右焦点为 F ,
过点 F 且垂直于 x 轴的直线交 C 于两点 ,P Q ,若 3cos 5PAQ ,则椭圆 C 的离心率 e 为( )
A. 1
2
B. 2
2
C. 3
3
D. 2
3
【答案】A
4 2 2 3 44 9 2 3 0c a c a c a ,据此得到关于离心率的方程: 4 24 9 2 3 0e e e ,分解因式有:
2 1 31 02 2e e e
,结合椭圆离心率的取值范围可得椭圆的离心率 1
2e ,故选 A.
2.【2018 重庆一中 11 月月考】已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左、右焦点分别为 1F , 2F , P 是椭
圆上一点, 1 2PF F 是以 1PF 为底边的等腰三角形,若 1 2 0, 3PF F
,则该椭圆的离心率的取值范围
是( )
A. 10, 2
B. 10, 3
C. 1 ,12
D. 1 1,3 2
【答案】D
【解析】由题意可得 PF2=F1F2=2c,再由椭圆的定义可得 PF1 =2a-PF2=2a-2c.设∠PF2F1 = ,则
1, 1 cos3 2
,△PF1F2 中,由余弦定理可得 cos =
2 2
2
2
2
ac c a
c
由-1<cosθ 可得
3e2+2e-1>0,e> 1
3
,由 cosθ< 1
2
,可得 2ac<a2,e= 1
2
c
a
,综上 1 1
3 2e ,故选 D
3.已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
短轴的端点 0,P b 、 0,Q b ,长轴的一个端点为 M , AB 为经过
椭圆中心且不在坐标轴上的一条弦,若 ,PA PB 的斜率之积等于 1
4
,则 P 到直线 QM 的距离为
__________.
【答案】 2 5
5
4.【2018 河南师大附中高三 8 月开学考试】椭圆C :
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左焦点为 F ,若 F 关于直
线 3 0x y 的对称点 A 是椭圆C 上的点,则椭圆C 的离心率为__________.
【答案】 3 1
【解析】设 F为右焦点,则 π, , 3 , 23AF AF AF F AF AF FF AF ,因此椭圆C 的离心
率为 2c 2 3 12 3 1
FF
a AF AF
.
【方法点睛】椭圆的离心率是椭圆最重要的几何性质,求椭圆的离心率(或离心率的取值范围),常见有两
种方法:
①求出 a,c,代入公式 ce a
;
②只需要根据一个条件得到关于 a,b,c 的齐次式,结合 b2=a2-c2 转化为 a,c 的齐次式,然后等式(不
等式)两边分别除以 a 或 a2 转化为关于 e 的方程(不等式),解方程(不等式)即可得 e(e 的取值范围).
5.【2018 河南八市重点高中高三第一次测评】已知圆 2 2: 1 8C x y ,定点 1,0 ,A M 为圆上一动点,
线段 MA 的垂直平分线交线段 MC 于点 N ,设点 N 的轨迹为曲线 E ;
(Ⅰ)求曲线 E 的方程;
(Ⅱ)若经过 0,2F 的直线 L 交曲线于不同的两点 ,G H ,(点G 在点 F ,H 之间),且满足 3
5FG FH ,
求直线 L 的方程.
【答案】(Ⅰ)
2
2 1.2
x y (Ⅱ) 2 2.y x
(Ⅱ)设 1 1 2 2, , , ,G x y H x y
当直线GH 斜率存在时,设直线GH 的斜率为 k
则直线GH 的方程为: 2y kx ,
2
2
2
{
12
y kx
x y
,整理得: 2 21 4 3 02 k x kx
,
由 0 ,解得: 2
1 2 1 2
2 2
3 4 3, , .1 12
2 2
kk x x x x
k k
------①
又 1 1 2 2, , 2 , , , 2FG x y FH x y
,
由 3
5FG FH ,得 1 2
3
5x x ,结合①得
2
2 2
3 5 6
5 1 2 1 2
k
k k
,即 2 32 2k ,
解得 2.k
直线 l 的方程为: 2 2y x ,
当直线GH 斜率不存在时,直线l 的方程为 10, 3x FG FH 与 3
5FG FH 矛盾.
直线 l 的方程为: 2 2.y x
6.【2018 湖南岳阳一中高三上学期第一次月考】已知点 P 是直线 : 2l y x 与椭圆
2
2
2 1 1x y aa
的
一个公共点, 1 2,F F 分别为该椭圆的左右焦点,设 1 2PF PF 取得最小值时椭圆为C .
(1)求椭圆C 的标准方程及离心率;
(2)已知 ,A B 为椭圆C 上关于 y 轴对称的两点, Q 是椭圆C 上异于 ,A B 的任意一点,直线 ,QA QB 分别
与 y 轴交于点 0, , 0,M m N n ,试判断 mn 是否为定值;如果为定值,求出该定值;如果不是,请说明
理由.
【答案】(1)
2
2 13
x y ;(2)1 .
(2)设 1 1 2 1 0 0, , , , ,A x y B x y Q x y ,且 0, , 0,M m N n ,
【方法点睛】本题主要考查待定待定系数法椭圆标准方程方程、圆锥曲线的定值问题,属于难题.探索圆
锥曲线的定值问题常见方法有两种:① 从特殊入手,先根据特殊位置和数值求出定值,再证明这个值与变
量无关;② 直接推理、计算,并在计算推理的过程中消去变量,从而得到定值.
7.【2018 黑龙江大庆实验中学高三上学期期初考试】已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的右焦点 3,0 ,
且经过点 31, 2
,点 M 是 x 轴上的一点,过点 M 的直线l 与椭圆C 交于 ,A B 两点(点 A 在 x 轴的上方)
(1)求椭圆C 的方程;
(2)若 2AM MB ,且直线l 与圆 2 2 4: 7O x y 相切于点 N ,求 MN 的长.
【答案】(1)
2
2 14
x y (2) 4 21
21
2AM MB , 有 1 22y y , 联 立 直 线 方 程 与 椭 圆 方 程 , 利 用 韦 达 定 理 得
2
1 2 1 22 2
2 4,4 4
tm my y y yt t
,,三者消 1 2y y, 得
22
2 2
4 2, 24 4
m tm
t t
,最后关于 ,m t 的解方程组
得 2 4
3m , 2 4
3t ,根据切线长公式可得 MN 的长.
试题解析:(1)由题意知
2 2 2
2
2
2
3
3{
21 14
a b c
b
,即 24 4 3 0a a ,
又 2 23 3a b ,故 2 24, 1a b ,
椭圆 C 的方程为
2
2 14
x y .
(2)设 ,0M m ,直线 1 1 2 2: , , , ,l x ty m A x y B x y ,
由 2AM MB ,有 1 22y y ,
由
2
2
2 2 21{ 4 2 4 04
x y t y my m
x yy m
,
由韦达定理得
2
1 2 1 22 2
2 4,4 4
tm my y y yt t
,
由 2
1 2 2 1 2 2 2 22 , 2y y y y y y y y ,则 2 2
1 2 1 2 1 22y y y y y y ,
22
2 2
4 2, 24 4
m tm
t t
,化简得 2 2 2 24 4 8m t t m ,原点O 到直线的距离
21
md
t
,
考向四 直线与椭圆位置关系
【例 9】【2018 黑龙江省齐齐哈尔模拟】已知椭圆
2
2: 12
xC y ,过椭圆C 的左焦点 F 的直线l 交椭圆C
于 A B、 两点,其中点 B 是椭圆的上顶点,椭圆C 的左顶点为 D ,直线 AD BD、 分别与直线
: 2 2m x 相交于 M N、 两点.则 ABD
MND
S
S
( )
A. 1
2
B. 1 1 22 3
C. 2
2
D. 1
3
【答案】B
【跟踪练习】
1.【2018 南京市联考】已知椭圆:
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的右焦点为 F ,过 F 作直线l (不过原点O )
交椭圆于 ,A B 两点,若 ,A B 的中点为 M ,直线 OM 交椭圆的右准线于 N
(1)若直线l 垂直 X 轴时, AB MN ,求椭圆的离心率 e ;
(2)若椭圆的离心率 1
2e ,当直线l 斜率存在时设为 1k ,直线 NF 的斜率设为 2k ,试求 1 2k k 的值.
2.【2018 四川成都一诊】已知 0 0,0 , 0,A x B y 两点分别在 x 轴和 y 轴上运动,且 1AB ,若动点 ,P x y
满足 2 3 .OP OA OB
(1)求出动点 P 的轨迹对应曲线C 的标准方程;
(2)直线 : 1l x ty 与曲线C 交于 A B、 两点, 1,0E ,试问:当t 变化时,是否存在一直线l ,使 ABE
得面积为 2 3 ?若存在,求出直线l 的方程;若不存在,说明理由.
(2)由方程组 2 2
1
{
14 3
x ty
x y
得 2 23 4 6 9 0 *t y ty ( )
设 1 1 2 2, , , ,A x y B x y 则 1 2 1 22 2
6 9, 03 4 3 4
ty y y yt t
所以
2 2
2
1 2 1 2 1 2 2 2 2
6 9 12 1| | ( ) 4 43 4 3 4 3 4
t ty y y y y y t t t
因为直线 1x ty 过点 1,0F ,所以 ABE 的面积
2 2
1 2 2 2
1 1 12 1 12 1| | 22 2 3 4 3 4ABE
t tS EF y y t t
,令
2
2
12 1 2 33 4
t
t
则 2 2
3t 不成立,不存在直
线l 满足题意.
考向五 与椭圆有关的最值、取值范围问题
【例 10】设 F1,F2 分别是椭圆x2
25
+y2
16
=1 的左、右焦点,P 为椭圆上任一点,点 M 的坐标为(6,4),则
|PM|+|PF1|的最大值为________.
【跟踪练习】
1.【2018 浙江名校协作体模拟】设 ,A B 是椭圆
2 2
: 14
x yC k
长轴的两个端点,若 C 上存在点 P 满足
120APB ,则 k 的取值范围是( )
A. , ,40 12 +3
B. ,20, 6 +3
C. , ,20 12 +3
D. ,40, 6 +3
【答案】A
2.已知椭圆
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的左,右焦点为 1 2,F F ,离心率为 e .P 是椭圆上一点,满足 2 1 2PF F F ,
点 Q 在线段 1PF 上,且 1 2FQ QP .若 1 2 0F P F Q ,则 2e ( )
A. 2 1 B. 2- 2 C. 2- 3 D. 5 2
【答案】C
3.已知 ,0 0A a a ,M(x0 ,y0)是椭圆 C:x2
2
+y2=1 上的一点,则 AM 的最小值 g a = .
【答案】
2 21 ,0 2
22 , 2
a a
a a
【注意问题】因为 0 2x ,所以当 20 2a 时, 21g a a ,当 2
2a 时,
2 21 2 2 1 22g a a a a .
4.【2018 安徽合肥一中、马鞍山二中等六校教育研究会高三上学期第一次联考】已知点 M 是圆心为 E 的
圆 2 23 16x y 上的动点,点 3,0F ,线段 MF 的垂直平分线交 EM 于点 P .
(1)求动点 P 的轨迹C 的方程;
(2)矩形 ABCD 的边所在直线与曲线C 均相切,设矩形 ABCD 的面积为 S ,求 S 的取值范围.
【答案】(1)
2
2 14
x y ;(2) 8 10S .
试题解析:
(1)依题 PM PF ,
所以 4PE PF PE PM ME (为定值), 2 3,4 2 3EF
所以点 P 的轨迹是以 ,E F 为焦点的椭圆,其中 2 4,2 2 3a c ,
所以 P 点轨迹C 的方程是
2
2 14
x y
2
2
2 2 2
1 1
1
1 1{ 2 1 04 4
x y k x k mx m
y k x m
,
因为直线 AB 与椭圆相切,所以 2 2
14 1 0k m ,所以 2
14 1m k ,同理 2
24 1n k ,
所以
2 2 2 22 2
1 2 1 21 2
2 2 2 2 2 2
1 2 1 2 1 2
4 16 4 14 4 1 4 1
1 1 1
k k k kk kS
k k k k k k
2 2
1 2
2 2
1 2
4 17 4
2
k k
k k
2 2
21 2
1 2
2
9 94 4 4 4
2 12k k k k
,
2
1 2
1
1 2k k
(当且仅当 1 1k 时,不等式取等号),
所以 94 4 4 42 2S
,即8 10S ,
由①②可知, 8 10S .
5.【2018 安徽合肥高三调研性检测】已知 M 为椭圆
2 2
: 125 9
x yC 上的动点,过点 M 作 x 轴的垂线段 MD ,
D 为垂足,点 P 满足 5
3PD MD .
(Ⅰ)求动点 P 的轨迹 E 的方程;
(Ⅱ)若 ,A B 两点分别为椭圆C 的左右顶点, F 为椭圆C 的左焦点,直线 PB 与椭圆C 交于点 Q ,直线
,QF PA 的斜率分别为 ,QF PAk k ,求 QF
PA
k
k
的取值范围.
【答案】(Ⅰ)动点 P 的轨迹 E 的方程为 2 2 25 0x y y (Ⅱ) QF
PA
k
k
2,0 ,5
求出
0
9 1125 4
QF
PA
k
k x
,进而借助 05 5x 且 0 4x ,及
0
1
4x 在 5, 4 和 4,5 都是单调减
函数,求出
0
9 1125 4x
的范围为 2,0 ,5
:
解:(Ⅰ)设 , , ,P x y M m n 依题意 ,0D m ,且 0y ,
∵ 5
3PD MD ,即 5, 0,3m x y n ,
则有
0
{ { 5 3
3 5
m x m x
y n n y
.
又∵ ,M m n 为椭圆
2 2
: 125 9
x yC 上的点,
可得
2
2
3
5 125 9
yx
,即 2 2 25x y ,
即动点 P 的轨迹 E 的方程为 2 2 25 0x y y .
6.如图,在平面直角坐标系 xOy 中,椭圆 :
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
的离心率为 2
2
,直线 l:y=2 上
的点和椭圆 上的点的距离的最小值为1.
(Ⅰ) 求椭圆 的方程;
(Ⅱ) 已知椭圆 的上顶点为 A,点 B,C 是 上的不同于 A 的两点,且点 B,C
关于原点对称,直线 AB,AC 分别交直线 l 于点 E,F.记直线 AC 与 AB 的斜率
分别为 1k , 2k .
① 求证: 1 2k k 为定值;
② 求△CEF 的面积的最小值.
证法二:直线 AC 的方程为 1 1y k x , 由
2
2
1
1{ 2
1
x y
y k x
,
,
得 2 2
1 11 2 4 0k x k x ,
解得 1
2
1
4
2 1C
kx k
,同理 2
2
2
4
2 1B
kx k
,因为 B,O,C 三点共线,则由 1 2
2 2
1 2
4 4 02 1 2 1C B
k kx x k k
,
整理得 1 2 1 22 1 0k k k k ,所以 1 2
1
2k k .
②直线 AC 的方程为 1 1y k x ,直线 AB 的方程为 2 1y k x ,不妨设 1 0k ,则 2 0k ,
令 y=2,得
2 1
1 1,2 ,2E Fk k
, ,而
2 2
1 1
1 2 2
1 1
4 2 11 12 1 2 1C C
k ky k x k k
,
所以,△CEF 的面积 1 22CEF CS EF y
2
1
2
1 2 1
2 11 1 1 22 2 1
k
k k k
2
2 1 1
2
1 2 1
6 11
2 2 1
k k k
k k k
.
由 1 2
1
2k k 得 2
1
1
2k k
,则 CEFS
2 2
1 1
12
1 1 1
2 1 6 1 13 62 2 1 2
k k kk k k
,当且仅当 1
6
6k 取得等
号,所以△CEF 的面积的最小值为 6 .
7.如图,过椭圆C :
2
2 14
x y 的左右焦点 1 2,F F 分别作直线 1l , 2l 交椭圆于 ,A B 与 ,C D ,且 1 2/ /l l .
(1)求证:当直线 1l 的斜率 1k 与直线 BC 的斜率 2k 都存在时, 1 2k k 为定值;
(2)求四边形 ABCD 面积的最大值.
(2)当 1l 的倾斜角为 0 时, 1l 与 2l 重合,舍去.当 1l 的倾斜角不为 0 时,由对称性得四边形 ABCD 为平
行四边形, 1 3,0F ,设直线 1l 的方程为 3x my ,代入
2
2 14
x y ,得
2 24 2 3 1 0m y y .显然 0 , 1 2 2
2 3
4y y m
, 1 2 2
1
4y y m
.所以
2 2
1 2 22 2 2
1 3 2 3 1 13 4 2 32 2 4 4 4
OAB
m mS y y m m m
,设 2 1m t ,所以
2 1m t , 1,t .所以
2
2 22
1 1 1
96 9 124 6
m t
t tm t t
.当且仅当 9t t
即 2m 时等
号成立,所以 max
12 3 112OABS .所以平行四边形面积的最大值为 max 4 4ABCD OABS S .
8.已知点 P 是长轴长为 2 2 的椭圆Q :
2 2
2 2 1( 0)x y a ba b
上异于顶点的一个动点, O 为坐标原点,
A 为椭圆的右顶点,点 M 为线段 PA 的中点,且直线 PA 与OM 的斜率之积恒为 1
2
.
(1)求椭圆Q 的方程;
(2)设过左焦点 1F 且不与坐标轴垂直的直线l 交椭圆于 ,C D 两点,线段 CD 的垂直平分线与 x 轴交于点G ,
点G 横坐标的取值范围是 1 ,04
,求 CD 的最小值.
设 1 1 2 2, , ,A x y B x y , AB 中点 0 0,N x y ,∴
2 2
1 2 1 22 2
4 2 2,1 2 1 2
k kx x x xk k
.
∴
2
0 1 2 0 02 2
1 2 , 12 1 2 1 2
k kx x x y k xk k
∴CD 的垂直平分线方程为 0 0
1y y x xk
,令 0y ,得 0 0 2
1 1
2 4 2Gx x ky k
∵ 1 ,04Gx
,∴ 2
1 1 1
4 2 4 2k
,∴ 2 10 2k .
4 2 2
2 2
2 1 2
16 4 2 1 2 2
1 1 2 1
k k k
CD k x x k k
2
1 1 3 22 2 +2 22 2 1k
,
min
3 2| | 2CD .
考向六 椭圆中的定点、定值、定直线及存在性问题
【例 11】【2018 辽宁沈阳联考】平面直角坐标系 xOy 中,椭圆C :
2 2
2 2 1x y
a b
( 0a b )的离心率
是 3
2
,抛物线 E : 2 2x y 的焦点 F 是 C 的一个顶点.
(1)求椭圆C 的方程;
(2)设 P 是 E 上动点,且位于第一象限, E 在点 P 处的切线l 与C 交于不同的两点 A , B ,线段 AB 的
中点为 D ,直线OD 与过 P 且垂 直于 x 轴的直线交于点 M .
(i)求证:点 M 在定直线上;
(ii)直线l 与 y 轴交于点G ,记 PFG 的面积为 1S , PDM 的面积为 2S ,求 1
2
S
S
的最大值及取得最大
值时点 P 的坐标.
2 2 3 44 1 4 1 0m x m x m ,由 0 ,得 0 2 5m 且
3
1 2 2
4
4 1
mx x m
,因此
3
1 2
0 2
2
2 4 1
x x mx m
,将其代入
2
2
my mx 得
2
0 22 4 1
my
m
,因为 0
0
1
4
y
x m
,所以直线OD 方
程为 1
4y xm
.联立方程
1
{ 4y xm
x m
,得点 M 的纵坐标为 M
1
4y ,即点 M 在定直线 1
4y 上
(Ⅱ)由(Ⅰ)知直线l 方程为
2
2
my mx ,令 0x 得
2
2
my ,所以
2
0, 2
mG
,
又
2 1, , 0, ,2 2
mP m F D
3 2
2 2
2 ,4 1 2 4 1
m m
m m
,所以 2
1
1 1 12 4S GF m m m ,
22
2 0 2
2 11
2 8 4 1
m m
S PM m x
m
,所以
2 2
1
222
2 4 1 1
2 1
m mS
S m
,
令 22 1t m ,则 1
2 2
2
2 1 1 1 1 2t tS
S t t t
,当 1 1
2t
,即 2t 时, 1
2
S
S
取得最大值 9
4
,此时
2
2m ,满足 0 ,所以点 P 的坐标为 2 1,2 4
,因此 1
2
S
S
的最大值为 9
4
,此时点 P 的坐标为 2 1,2 4
【跟踪练习】
1.如图, 1 2,A A 为椭圆
2 2
19 5
x y 长轴的左、右端点, O为坐标原点, , ,S Q T 为椭圆上不同于 1 2,A A 的
三点,直线 1 2, , ,QA QA OS OT 围成一个平行四边形OPQR ,则 2 2OS OT ( )
A.14 B.12 C.9 D.7
【答案】A
2.【2018 江苏如东期中】已知椭圆
2 2
2 2: 1( 0)x yC a ba b
的离心率为 2
2
,其左、右焦点分别为 1 2F F、 ,
点 0 0,P x y 是坐标平面内一点,且 5OP , 1 2 16PF PF (O 为坐标原点).
(1)求椭圆C 的方程;
(2)过点 0, 1S 且斜率为 k 的动直线l 交椭圆于 ,A B 两点,在 y 轴上是否存在定点 M ,使以 AB 为直径
的圆恒过该点?若存在,求出点 M 的坐标,若不存在,说明理由.
(2)设动直线l 的方程为: 1y kx ,由 2 2
1
{
118 9
y kx
x y
得 2 22 1 4 16 0k x kx .
设 1 1,A x y , 2 2,B x y ,则 1 2 2
4
2 1
kx x k
, 1 2 2
16
2 1x x k
.假设在 y 轴上是否存在定点
0,M m ,满足题设,则 1 1,MA x y m , 2 2,MB x y m . 1 2 1 2MA MB x x y m y m
2
1 2 1 2 1 2x x y y m y y m 2
1 2 1 2 1 21 1 1 1x x kx kx m kx kx m
2 2
1 2 1 21 2 1k x x mk k x x m m 2
2
2 2
16 1 4 2 12 1 2 1
k k mk k m mk k
2 2 2
2
2 18 2 15
2 1
m k m m
k
,由假设得对于任意的 k R , 0MA MB 恒成立,即
2
2
2 18 0{
2 15 0
m
m m
解得 3m .因此,在 y 轴上存在定点 M ,使以 AB 为直径的圆恒过该点,点 M 的坐
标为 0,3 .
3.已知椭圆C :
2 2
2 2 1( 0)y x a ba b
的上下两个焦点分别为 1F , 2F ,过点 1F 与 y 轴垂直的直线交椭
圆C 于 M 、 N 两点, 2MNF 的面积为 3 ,椭圆C 的离心力为 3
2
.
(Ⅰ)求椭圆 C 的标准方程;
(Ⅱ)已知O 为坐标原点,直线l : y kx m 与 y 轴交于点 P ,与椭圆 C 交于 A , B 两个不同的点,
若存在实数 ,使得 4OA OB OP ,求 m 的取值范围.
且 1 2 2
2
4
kmx x k
,
2
1 2 2
4
4
mx x k
,由 3AP PB ,得 1 23x x ,即 1 23x x ,∴
2
1 2 1 23 4 0x x x x ,∴
22 2
2 22
4 412 044
mk m
kk
,即 2 2 2 2 4 0m k m k .
当 2 1m 时, 2 2 2 2 4 0m k m k 不成立,∴
2
2
2
4
1
mk m
,∵ 2 2 4 0k m ,∴
2
2
2
4 4 01
m mm
,
即 2 2
2
4
01
m m
m
,∴ 21 4m ,解得 2 1m 或1 2m .综上所述, m 的取值范围为
{ | 2 1 0 1 2}m m m m 或 或 .
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