2020学年高一数学上学期期中试题（含解析）(新版)新人教版 13页

‎2019学年第一学期高一年级期中考试 数学试卷 第Ⅰ卷（共60分）‎ 一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.‎ ‎1. 设集合，，则的元素个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】因为集合，，所以集合中的奇数为 ，，的元素个数为，故选C.‎ ‎2. 张师傅想要一个如图 1 所示的钢筋支架的组合体，来到一家钢制品加工店定制，拿出自己画的组合体三视图（如图 2 所示.店老板看了三视图，报了最低价，张师傅觉得很便宜，当即甩下定金和三视图，约定第二天提货.第二天提货时，店老板一脸坏笑的捧出如图 3–1 所示的组合体，张师傅一看，脸都绿了：“奸商，怎能如此偷工减料”.店老板说，我是按你的三视图做的，要不我给你加一个正方体，但要加价，随机加上了一个正方体，得到如图 3–2 所示的组合体；张师傅脸还是绿的，店老板又加上一个正方体，组成了如图 3–3 所示的组合体，又加价；张师傅脸继续绿，店老板再加一个正方体，组成如图 3–4 所示的组合体，再次加价；双方就三视图争吵不休……‎ - 13 -‎ 你认为店老板提供的4个组合体的三视图与张师傅画的三视图一致的个数是（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】D ‎【解析】由三视图相关定义可知，题中所给的3-1到3-4中的四张图片的三视图均为图2所示，即店老板提供的个组合体的三视图与张师傅画的三视图一致的个数是4个.‎ 本题选择D选项.‎ 点睛：三视图的长度特征：“长对正、宽相等，高平齐”，即正视图和侧视图一样高、正视图和俯视图一样长，侧视图和俯视图一样宽．若相邻两物体的表面相交，表面的交线是它们的分界线，在三视图中，要注意实、虚线的画法．‎ ‎3. 已知函数，则（ ）‎ A. 2 B. 4 C. -4 D. 16‎ ‎【答案】B ‎【解析】因为函数，所以，，，故选B.‎ ‎4. 已知集合，，则的元素个数为（ ）‎ A. 1 B. 2 C. 3 D. 4‎ ‎【答案】C ‎【解析】由可得,,,所以的元素个数为3，故选C.‎ ‎5. 若集合满足:，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】令，，,不合题意，排除选项；为空集，不合题意,排除选项；不合题意，排除选项，故选B.‎ ‎6. 函数的定义域为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ - 13 -‎ ‎【答案】A ‎【解析】要使函数有意义，则有 ，解不等式组可得 ，即函数的定义域为，故选A.‎ ‎7. 设集合，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】因为集合，,所以 ，故选D.‎ ‎8. 下表是两个变量对应的一组数据.‎ 为了刻画与的关系，选择较为合适的函数模型是：（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】 时四个函数模型都适合，当 时，函数得到的函数值比，，三个函数模型得到的函数值更接近表格中的函数值，所以较为合适的函数模型是，故选B.‎ ‎9. 设，，，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】根据指数函数的性质可得,由指数函数的性质可得，,,所以,故选A.‎ ‎【 方法点睛】本题主要考查指数函数的性质、函数的单调性及比较大小问题，属于难题.解答比较大小问题，常见思路有两个：一是判断出各个数值所在区间（一般是看三个区间 ）；二是利用函数的单调性直接解答；数值比较多的比大小问题也可以两种方法综合应用.‎ - 13 -‎ ‎10. 函数的图象大致为（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】由函数为奇函数，图象关于原点对称，可排除选项 时，函数,在上递增，可排除选项 ，故选A.‎ ‎11. 一容器的三视图如图所示，匀速向容器内注水，直到注满为止，设注水分钟后水面高度为，则函数的图像大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ - 13 -‎ ‎【答案】C ‎【解析】结合三视图和生活实际可得，水面上升的速度变化趋势为：快→慢→快→匀速，观察所给选项，只有选项C符合题意.‎ 本题选择C选项.‎ ‎12. 在直角梯形中,,,,动点从点 出发，由沿边运动（如图所示）,在上的射影为，设点运动的路程为,的面积为，则的图像大致是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】根据题意可得到 ，由二次函数和一次函数的图象可知的图象只能是D，故选D.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查阅读能力、分段函数的解析式，属于难题. 与实际应用相结合的题型也是高考命题的动向，这类问题的特点是通过现实生活的事例考查书本知识，解决这类问题的关键是耐心读题、仔细理解题，只有吃透题意，才能转化为数学模型进行解答. 理解本题题意的关键是构造分段函数，构造分段函数时，做到分段合理、不重不漏.‎ 第Ⅱ卷（共90分）‎ 二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）‎ ‎13. 函数与的图象的交点坐标为__________.‎ ‎【答案】‎ - 13 -‎ ‎【解析】由解得，所以函数与的图象的交点坐标是，故答案为.‎ ‎14. __________.‎ ‎【答案】3‎ ‎【解析】 ，故答案为.‎ ‎15. 如图，是的直观图（斜二测画法），其中与重合，在轴上，且轴，，，则的最长边长为__________.‎ ‎【答案】5‎ ‎【解析】‎ 由斜二测试画法可知是直角三角形，且，则最长边（斜边），故答案为.‎ ‎16. 设函数，若函数有三个零点，则的取值范围是__________.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ 函数的零点个数就是曲线与直线的交点个数，画出函数的图象，如图，由图可知，有个零点时，直线 - 13 -‎ 介于抛物线的顶点与轴之间，即，故答案为.‎ ‎【方法点睛】已知函数零点(方程有根)的个数，求参数取值范围的三种常用的方法：(1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式，再通过解不等式确定参数范围；(2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决；(3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为的交点个数的图象的交点个数问题 .‎ 三、解答题 （本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.） ‎ ‎17. 已知函数，现提供的大致图象的8个选项：‎ ‎（1）请你作出选择，你选的是（ ）；‎ ‎（I2）对于函数图像的判断，往往只需了解函数的基本性质.为了验证你的选择的正确性，请你解决 下列问题：‎ ‎①的定义域是___________________;‎ ‎②就奇偶性而言，是______________________ ;‎ ‎③当时，的符号为正还是负？并证明你的结论.‎ ‎（解决了上述三个问题，你要调整你的选项，还来得及.）‎ ‎【答案】(1)E；(2)①；②是偶函数；③的符号为负，证明见解析.‎ ‎..................‎ 试题解析：（1）选（E）‎ ‎（2）①根据函数图象可得的定义域为；‎ - 13 -‎ ‎②由于图象关于轴对称可得是偶函数；‎ ‎③当时，的符号为负.‎ 证明：当时，，，则 ‎，‎ 所以.‎ 所以的符号为负.‎ ‎18. 已知，，设函数.‎ ‎（1）若，，求；‎ ‎（2）若，且是奇函数，求.‎ ‎【答案】(1)1；(2)100.‎ ‎【解析】试题分析：（1）当，时，将 代入函数解析式，利用多事的运算法则化简即可；（2）代入解析式，利用对数的运算法则化简为，利用可得结果.‎ 试题解析：（1）当，时，‎ ‎=‎ 所以.‎ ‎（2）若，则 ‎ ‎ ‎∵是奇函数 - 13 -‎ ‎∴‎ ‎∴‎ ‎∴.‎ ‎【方法点睛】本题主要考查对数的运算法则及函数的奇偶性，属于中档题. 已知函数的奇偶性求参数，主要方法有两个，一是利用：（1）奇函数由 恒成立求解，（2）偶函数由 恒成立求解；二是利用特殊值：奇函数一般由 求解，偶函数一般由求解，用特殊法求解参数后，一定要注意验证奇偶性.‎ ‎19. 已知 ，，设集合，.‎ ‎（1）若，请用区间表示；（提示：解含对数的不等式一定要考虑定义域和单调性）‎ ‎（2）若，且，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）由对数函数的性质可得，解不等式组即可得结果；（2）由，可得，结合对数函数的性质可得，由可得 ‎，讨论两种情况，列不等式求解即可.‎ 试题解析：（1）当时，不等式：‎ ‎ ‎ 所以.‎ ‎（2）若，则.‎ 不等式 ‎ 此时，.‎ ‎①若，即时，成立.‎ ‎②若，则 - 13 -‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎20. 习总书记在十九大报告中，提出新时代坚持和发展中国特色社会主义的基本方略，包括“坚持人与自然和谐共生，加快生态文明体制改革，建设美丽中国”. 目前我国一些高耗能低效产业（煤炭、钢铁、有色金属、炼化等）的产能过剩，将严重影响生态文明建设，“去产能”将是一项重大任务.十九大后，某行业计划从 2018 年开始，每年的产能比上一年减少的百分比为 .‎ ‎（1）设年后（2018 年记为第 1 年）年产能为 2017 年的倍，请用表示;‎ ‎（2）若，则至少要到哪一年才能使年产能不超过 2017 的 25%？‎ 参考数据：, .‎ ‎【答案】(1)；(2)2031年.‎ ‎【解析】试题分析：（1）根据等比数列的通项公式列方程求解即可得结果；（2）年后年产能不超过2017年的，则，两边取对数化简可得，即，从而可得的最小值为 .‎ 试题解析：（1）依题意得：.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎（2）设年后年产能不超过2017年的25%，则 ‎.‎ ‎∵，且 ‎∴的最小值为14.‎ - 13 -‎ 答：至少要到2031年才能使年产能不超过2017年的25%.‎ ‎21. 已知，，设，.‎ ‎（1）若，求；‎ ‎（2）若，求的取值范围.‎ ‎【答案】(1)；(2).‎ ‎【解析】试题分析：（1）先根据对数函数的性质化简集合，根据指数函数的性质化简集合，根据补集大定义求出，再利用交集的定义可得结果；（2）等价于，分两种情况讨论，‎ 试题解析：（1）若，则 ‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎（2）①当时，‎ ‎.‎ ‎.‎ - 13 -‎ 与相矛盾，此时无解.‎ ‎②当时，‎ ‎.‎ ‎.‎ ‎∵‎ ‎∴‎ 综上，的取值范围是.‎ ‎22. 已知函数.‎ ‎（1）用单调性的定义证明在定义域上是单调函数；‎ ‎（2）证明有零点；‎ ‎（3）设的零点落在区间内，求正整数.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2)证明见解析；(3)10.‎ ‎【解析】试题分析：（1）任取，作差化简 ，可得，从而可得结论；（2）先证明，结合f(x)在区间(1/16,1)上连续不断，根据零点存在可得结论；（3）利用对数的运算法则以及对数函数的性质可得，的零点在区间内，故.‎ 试题解析：（1）显然的定义域为 - 13 -‎ 设，则， ‎ ‎ ‎ ‎∵ ‎ ‎∴‎ 故在定义域上是减函数.‎ ‎（2）因为，‎ 所以，‎ 又因为在区间上连续不断，‎ 所以有零点.‎ ‎（3）‎ 所以 所以的零点在区间内 故.‎ ‎【方法点睛】本题主要考函数的单调性及零点存在定理的应用，属于中档题.利用定义法判断函数的单调性的一般步骤是：（1）在已知区间上任取；（2）作差；‎ ‎（3）判断的符号， 可得在已知区间上是增函数， 可得在已知区间上是减函数. ‎ - 13 -‎