2020-2021学年人教A版数学选修2-1课时作业：第二章　圆锥曲线与方程单元质量评估（二） 13页

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2021-06-30 发布

2020-2021学年人教A版数学选修2-1课时作业：第二章　圆锥曲线与方程单元质量评估（二）

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第二章单元质量评估(二) 时限：120分钟满分：150分一、选择题(本大题共 12小题，每小题 5分，共 60分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合要求的) 1．抛物线 y＝ax2的准线方程是 y＝1，则 a的值为( C ) A．4 B．－4 C．－ 1 4 D.1 4 2．若椭圆 x2 3m ＋ y2 2m＋1 ＝1的焦点在 y轴上，则实数 m的取值范围是( B ) A. － 1 2 ，1 B．(0,1) C. 0，1 2 D. － 1 2 ， 1 2 解析：本题主要考查椭圆的基本概念．由题意得 3m>0,2m＋1>0 且 2m＋1>3m，得 00，b>0)的离心率为 5 2 ，则 C的渐近线方程为( C ) A．y＝±1 4 x B．y＝±1 3 x C．y＝±1 2 x D．y＝±x 解析：本题主要考查有关双曲线基本概念的运算．∵e2＝c2 a2 ＝ a2＋b2 a2 ＝1＋b2 a2 ＝ 5 4 ，∴ b2 a2 ＝ 1 4 .又 a>0，b>0， ∴ b a ＝ 1 2 ，∴C的渐近线方程为 y＝±1 2 x，故选 C. 4．已知 F1(－1,0)，F2(1,0)是椭圆 C的两个焦点，过 F2且垂直于 x 轴的直线交椭圆 C 于 A，B 两点，且 |AB|＝3，则 C 的方程为 ( C ) A.x 2 2 ＋y2＝1 B.x 2 3 ＋ y2 2 ＝1 C.x 2 4 ＋ y2 3 ＝1 D.x 2 5 ＋ y2 4 ＝1 解析：如图，|AF2|＝1 2 |AB|＝3 2 ，|F1F2|＝2，由椭圆定义得|AF1|＝2a－3 2 ①. 在 Rt△AF1F2中，|AF1|2＝|AF2|2＋|F1F2|2＝ 3 2 2＋22 ②. 由①②得 a＝2，∴b2＝a2－c2＝3. ∴椭圆 C的方程为 x2 4 ＋ y2 3 ＝1，应选 C. 5．已知双曲线 y2－x2＝1的离心率为 e，且抛物线 y2＝2px的焦点坐标为(e2,0)，则 p的值为( D ) A．－2 B．－4 C．2 D．4 解析：由条件知，双曲线的离心率为 e＝ 2，所以抛物线焦点坐标为(2,0)，所以 p 2 ＝2，所以 p＝4.故选 D. 6．如图，过抛物线 y2＝3x的焦点 F的直线交抛物线于点 A，B，交其准线 l于点 C，若|BC|＝2|BF|，且|AF|＝3，则|AB|＝( A ) A．4 B．6 C．8 D．10 解析：本题主要考查抛物线的定义．如图，分别过点 A，B作 AA1， BB1垂直于准线 l，垂足分别为 A1，B1，由抛物线的定义得|BF|＝|BB1|.∵|BC|＝2|BF|，∴|BC|＝2|BB1|，∴ ∠BCB1＝30°. 又|AA1|＝|AF|＝3，∴|AC|＝2|AA1|＝6，∴|CF|＝|AC|－|AF|＝6－3 ＝3， ∴|BF|＝1，|AB|＝4，故选 A. 7．过椭圆 C：x 2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)的左顶点 A的斜率为 k的直线交椭圆 C于另一点 B，且点 B在 x轴上的射影恰好为右焦点 F，若椭圆的离心率为 2 3 ，则 k的值为( C ) A．－ 1 3 B.1 3 C．±1 3 D．±1 2 解析：本题主要考查椭圆的焦点、离心率等概念及斜率公式的应用．由题意知点 B的横坐标是 c，故点 B的坐标为 c，±b 2 a ，则斜率 k ＝ ±b 2 a c＋a ＝± b2 ac＋a2 ＝±a 2－c2 ac＋a2 ＝±1－e2 e＋1 ＝±(1－e)＝±1 3 ，故选 C. 8．已知双曲线 x2 a2 － y2 b2 ＝1(a>b>0)的两焦点间的线段 F1F2正好被椭圆 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)的两焦点三等分，则该双曲线的渐近线方程为 ( B ) A．y＝± 5 3 x B．y＝±2 5 5 x C．y＝±3 5 5 x D．y＝± 5x 解析：∵双曲线的焦距为 2 a2＋b2，椭圆的焦距为 2 a2－b2， ∴2 a2－b2＝1 3 ·2 a2＋b2，整理得 4a2＝5b2，则 a＝ 5 2 b.代入双曲线的渐近线方程 y＝±b a x，得 y＝±2 5 5 x. 9．已知椭圆 C1： x2 m2＋y2＝1(m>1)与双曲线 C2： x2 n2 －y2＝1(n>0) 的焦点重合，e1，e2分别为 C1，C2的离心率，则( A ) A．m>n，且 e1e2>1 B．m>n，且 e1e2<1 C．m1 D．mn. ∵e1＝ 1－ 1 m2，e2＝ 1＋ 1 n2 ，∴e1e2＝ 1－ 1 m2 1＋ 1 n2 ＝ 1＋ 1 n2 － 1 m2－ 1 m2n2 ＝ 1＋m2－n2－1 m2n2 ＝ 1＋ 1 m2n2 >1. 10．已知椭圆 x2 4 ＋ y2 3 ＝1的左、右顶点分别为 A，B，在椭圆上有一个异于点 A，B的动点 P，若直线 PA的斜率为 k0，则直线 PB的斜率为( B ) A. 3 4k0 B．－ 3 4k0 C．－ 3 4 k0 D．－ 3 2 k0 解析：本题主要考查斜率公式及椭圆方程的综合运算．由题设知 A(－2,0)，B(2,0)．设 P(x0，y0)(x0≠±2)，∴kPA＝ y0 x0＋2 ，kPB＝ y0 x0－2 .∵ 点 P在椭圆上，∴ x20 4 ＋ y20 3 ＝1，∴y20＝3 1－x20 4 ，∴kPA·kPB＝ y0 x0＋2 · y0 x0－2 ＝ y20 x20－4 ＝ 3 1－x20 4 x20－4 ＝－ 3 4 . ∵kPA＝k0，∴kPB＝－ 3 4k0 ，故选 B. 11．抛物线 x2＝－6by的准线与双曲线 x2 a2 － y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的左、右支分别交于 B，C两点，A为双曲线的右顶点，O为坐标原点，若 ∠AOC＝∠BOC，则双曲线的离心率为( C ) A.2 3 3 B．3 C.4 3 3 D．2 3 解析：抛物线的准线为 y＝3 2 b，∴B － 13 2 a，3 2 b ，C 13 2 a，3 2 b . 易得∠AOC＝∠BOC＝60°，∴kOC＝3 13b 13a ＝tan60°＝ 3. ∴ b2 a2 ＝ 13 3 ，∴e＝ 1＋b2 a2 ＝ 1＋13 3 ＝ 4 3 3 ，故选 C. 12．在焦点在 x 轴上的椭圆中截得的最大矩形的面积范围是 [3b2,4b2]，则椭圆离心率的范围是( A ) A. 5 3 ， 3 2 B. 3 3 ， 2 2 C. 1 2 ， 3 2 D. 2 4 ， 3 3 解析：设椭圆的标准方程为 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)．不妨设矩形ABCD的对角线AC所在直线方程为y＝kx(假设k>0)．联立 y＝kx， x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1，解得 x2＝ a2b2 b2＋a2k2 ，y2＝ a2b2k2 b2＋a2k2 . 所以矩形 ABCD的面积 S＝4|xy|＝ 4a2b2k b2＋a2k2 ＝ 4a2b2 b2 k ＋a2k ≤ 4a2b2 2 b2 k ·a2k ＝2ab，当且仅当 k＝b a 时取等号．所以 3b2≤2ab≤4b2，解得 1 2 ≤ b a ≤ 2 3 . 所以 e＝c a ＝ 1－b2 a2 ∈ 5 3 ， 3 2 .故选 A. 二、填空题(本大题共 4小题，每小题 5分，共 20分，请把答案填写在题中横线上) 13．若抛物线 y2＝2px(p>0)的准线经过双曲线 x2－y2＝1 的一个焦点，则 p＝2 2. 解析：双曲线 x2－y2＝1的左焦点为(－ 2，0)，故抛物线 y2＝2px 的准线为 x＝－ 2，所以 p 2 ＝ 2，解得 p＝2 2. 14．已知双曲线 x2 4 － y2 5 ＝1上一点 P到 F(3,0)的距离为 6，O为坐标原点，若OQ→＝ 1 2 (OP→＋OF→ )，则|OQ→ |＝1或 5. 解析：本题主要考查双曲线的定义及向量的中点表示．由题意知点 F(3,0)为双曲线的右焦点．设双曲线 x2 4 － y2 5 ＝1的左焦点为 F1，由OQ→ ＝ 1 2 (OP→＋OF→ )，知 Q为 PF的中点．连接 PF1，则|OQ→ |＝1 2 |PF1→ |.由||PF1→ | －|PF→ ||＝4，|PF→ |＝6，得|PF1→ |＝2或 10，故|OQ→ |＝1或 5. 15．已知椭圆 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)的左焦点为 F，A(－a,0)，B(0，b) 为椭圆的两个顶点，若 F到直线 AB的距离等于 b 7 ，则椭圆的离心率为 1 2 . 解析：直线 AB的方程为 y b ＋ x －a ＝1，即 bx－ay＋ab＝0.设 F(－ c,0)，则 |－bc＋ab| a2＋b2 ＝ b 7 ，即 |a－c| a2＋b2 ＝ 1 7 .因而 7|a－c|＝ a2＋b2. 又 b2＝a2－c2，代入上式，并整理得 8c2－14ac＋5a2＝0，于是 8e2－14e＋5＝0，解得 e＝1 2 或 e＝5 4 (舍去)． 16．设抛物线 M：y2＝2px(p>0)的焦点 F是双曲线 N：x2 a2 － y2 b2 ＝ 1(a>0，b>0)的右焦点，若 M与 N的公共弦 AB恰好过点 F，则双曲线 N的离心率 e＝ 2＋1. 解析：本题主要考查双曲线、抛物线的焦点．∵抛物线 M：y2 ＝2px(p>0)的焦点为 F p 2 ，0 ，双曲线 N：x 2 a2 － y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的右焦点为 F(c,0)，∴ p 2 ＝c.又公共弦 AB恰好过点 F，得 AB为抛物线M的通径，∴AB＝2p＝2b2 a ，∴b2＝2ac⇒c2－a2＝2ac， ∴e2－2e－1＝0，∴e＝ 2＋1或 e＝1－ 2(舍去)．三、解答题(本大题共 6小题，共 70分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤) 17．(10分)椭圆的两个焦点 F1，F2在 x轴上，以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点为 P(3,4)，求椭圆的标准方程．解：设椭圆方程为 x2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)，焦点坐标为 F1(c,0)，F2(－ c,0)． ∵以|F1F2|为直径的圆与椭圆的一个交点为 P(3,4)，∴c＝|OP|＝ 32＋42＝5. ∴ 32 a2 ＋ 42 b2 ＝1， a2＝b2＋52， ∴ a2＝45， b2＝20， ∴所求椭圆的方程为 x2 45 ＋ y2 20 ＝1. 18．(12分)如图，过抛物线 y2＝2px(p>0)的焦点 F作一条倾斜角为 π 4 的直线与抛物线相交于 A，B两点． (1)用 p表示|AB|； (2)若OA→ ·OB→＝－3，求这个抛物线的方程．解：(1)抛物线的焦点为 F p 2 ，0 ，过点 F且倾斜角为 π 4 的直线方程是 y＝x－p 2 . 设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，由 y2＝2px， y＝x－p 2 ，得 x2－3px＋p2 4 ＝0， ∴x1＋x2＝3p，x1x2＝p2 4 ，∴|AB|＝x1＋x2＋p＝4p. (2)由(1)知 x1x2＝p2 4 ，x1＋x2＝3p，∴y1y2＝ x1－p 2 x2－p 2 ＝x1x2－ p 2 (x1＋x2)＋p2 4 ＝ p2 4 － 3p2 2 ＋ p2 4 ＝－p2， ∴OA→ ·OB→＝x1x2＋y1y2＝p2 4 －p2＝－ 3p2 4 ＝－3，解得 p2＝4，∴p＝ 2. ∴这个抛物线的方程为 y2＝4x. 19．(12分)设点 P(x，y)(y≥0)为平面直角坐标系 xOy中的一个动点(其中 O为坐标原点)，点 P到定点M 0，1 2 的距离比点 P到 x轴的距离大 1 2 . (1)求点 P的轨迹方程； (2)若直线 l：y＝kx＋1 与点 P的轨迹相交于 A，B两点，且|AB| ＝2 6，求 k的值．解：(1)过 P作 x轴的垂线且垂足为 N，由题意可知|PM|－|PN|＝1 2 ，而 y≥0，所以|PN|＝y，所以 x2＋y－1 2 2＝y＋1 2 ，化简得 x2＝2y(y≥0) 为所求的方程． (2)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)，联立 y＝kx＋1， x2＝2y 得 x2－2kx－2＝0，所以 x1＋x2＝2k，x1x2＝－2， |AB|＝ 1＋k2 x1＋x22－4x1x2＝ 1＋k2 4k2＋8＝2 6，所以 k4 ＋3k2－4＝0，而 k2≥0，所以 k2＝1，所以 k＝±1. 20．(12分)设 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点在抛物线 y＝2x2上，l是 AB的垂直平分线． (1)当且仅当 x1＋x2取何值时，直线 l经过抛物线的焦点 F？证明你的结论． (2)当直线 l的斜率为 2时，求 l在 y轴上的截距的取值范围．解：(1)x1＋x2＝0，证明：点 F在直线 l上⇒|FA|＝|FB|⇒A，B两点到抛物线的准线的距离相等， ∵抛物线的准线是 x轴的平行线，∴上述条件等价于 y1＝y2⇒x21＝ x22⇒(x1＋x2)(x1－x2)＝0， ∵x1≠x2，∴当且仅当 x1＋x2＝0 时，直线 l经过抛物线的焦点 F. (2)设 l在 y轴上的截距为 b，依题意，得 l的方程为 y＝2x＋b. 则过点 A， B 的直线方程可写为 y＝－ 1 2 x＋ m，联立 y＝2x2， y＝－ 1 2 x＋m，化简得 2x2＋1 2 x－m＝0，∴x1＋x2＝－ 1 4 . ∵A，B为抛物线上不同的两点，∴上述方程的判别式Δ＝1 4 ＋ 8m>0，即 m>－ 1 32 . 设 AB的中点 N的坐标为(x0，y0)，则 x0＝－ 1 8 ，y0＝－ 1 2 x0＋m＝ 1 16 ＋m. 又点 N在直线 l上，∴ 1 16 ＋m＝－ 1 4 ＋b，于是 b＝ 5 16 ＋m> 5 16 － 1 32 ＝ 9 32 ， ∴l在 y轴上的截距的取值范围为 9 32 ，＋∞ . 21．(12分)设椭圆 C：x 2 a2 ＋ y2 b2 ＝1(a>b>0)的左、右焦点分别为 F1， F2，上顶点为 A，过点 A与 AF2垂直的直线交 x轴负半轴于点 Q，且 2F1F2→ ＋F2Q→ ＝0，过 A，Q，F2三点的圆的半径为 2.过定点 M(0,2)的直线 l与椭圆 C交于 G，H两点(点 G在点M，H之间)． (1)求椭圆 C的方程； (2)设直线 l的斜率 k>0，在 x轴上是否存在点 P(m,0)，使得以 PG， PH为邻边的平行四边形是菱形？如果存在，求出 m的取值范围，如果不存在，请说明理由．解：(1)因为 2F1F2→ ＋F2Q→ ＝0，所以 F1为 F2Q中点．设 Q的坐标为(－3c,0)，因为 AQ⊥AF2，所以 b2＝3c×c＝3c2， a2＝4c×c＝4c2，且过 A，Q，F2三点的圆的圆心为 F1(－c,0)，半径为 2c，所以 c ＝1. 所以 a＝2.b＝ 3. 故所求椭圆方程为 x2 4 ＋ y2 3 ＝1. (2)存在．设直线 l的方程为 y＝kx＋2(k>0)，与椭圆方程联立，消去 y可得(3＋4k2)x2＋16kx＋4＝0. 设点 G(x1，y1)，H(x2，y2)，则 x1＋x2＝－ 16k 3＋4k2 . 所以PG→＋PH→＝(x1－m，y1)＋(x2－m，y2)＝(x1＋x2－2m，y1＋y2) ＝(x1＋x2－2m，k(x1＋x2)＋4)．又GH→＝(x2－x1，y2－y1)＝(x2－x1，k(x2－x1))，由于菱形对角线互相垂直，则(PG→＋PH→ )·GH→＝0，所以(x2－x1)[(x1 ＋x2)－2m]＋k(x2－x1)[k(x1＋x2)＋4]＝0. 故(x2－x1)[(x1＋x2)－2m＋k2(x1＋x2)＋4k]＝0. 因为 k>0，所以 x2－x1≠0. 所以(x1＋x2)－2m＋k2(x1＋x2)＋4k＝0，即(1＋k2)(x1＋x2)＋4k－2m ＝0，所以(1＋k2) － 16k 3＋4k2 ＋4k－2m＝0，解得 m＝－ 2k 3＋4k2 ，即 m＝－ 2 3 k ＋4k . 由Δ>0，且 k>0，可得 k>1 2 . 因为 k>1 2 ，可以使 3 k ＝4k，所以－ 3 6 ≤m<0. 故存在满足题意的点 P且 m的取值范围是－ 3 6 ，0 . 22．(12分)已知两定点 E(－2,0)，F(2,0)，动点 P满足PE→ ·PF→＝0，由点 P向 x轴作垂线段 PQ，垂足为 Q，点 M满足PM→＝MQ→ ，点 M 的轨迹为 C. (1)求曲线 C的方程； (2)过点 D(0，－2)作直线 l与 C交于 A，B两点，点 N满足ON→＝ OA→＋OB→ (O为原点)，求四边形 OANB面积的最大值，并求此时的直线 l的方程．解：(1)因为动点 P满足PE→ ·PF→＝0，所以点 P的轨迹是以 EF为直径的圆，所以动点 P的轨迹方程为 x2＋y2＝4. 设M(x，y)是曲线 C上任一点，因为 PQ⊥x轴，PM→＝MQ→ ，所以点 P的坐标为(x,2y)，因为点 P在圆 x2＋y2＝4上，所以 x2＋(2y)2＝4，所以曲线 C的方程是 x2 4 ＋y2＝1. (2)因为ON→＝OA→＋OB→，所以四边形 OANB为平行四边形，当直线 l的斜率不存在时显然不符合题意；当直线 l的斜率存在时，设直线 l的方程为 y＝kx－2，l与椭圆交于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，由 y＝kx－2， x2 4 ＋y2＝1 得(1＋4k2)x2－16kx＋12＝0，由Δ＝162k2－48(1＋4k2)>0，得 k2>3 4 ，所以 x1＋x2＝ 16k 1＋4k2 ，x1x2 ＝ 12 1＋4k2 ，因为 S△OAB＝ 1 2 |OD||x1－x2|＝|x1－x2|，所以 S ▱ OANB ＝ 2S △ OAB ＝ 2|x1 － x2| ＝ 2 x1＋x22－4x1x2 ＝ 2 16k 1＋4k2 2－ 4×12 1＋4k2 ＝2 162k2－481＋4k2 1＋4k22 ＝8 4k2－3 1＋4k22 ，令 4k2－3＝t，则 4k2＝t＋3(由上可知 t>0)， S▱OANB＝8 t t＋42 ＝8 1 8＋t＋16 t ≤8 1 16 ＝2，当且仅当 t＝4，即 k2＝7 4 时取等号；所以当 k＝± 7 2 ，平行四边形 OANB面积的最大值为 2，此时直线 l的方程为 y＝± 7 2 x－2.

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