2021届高考数学一轮复习第四章三角函数解三角形第5节函数y＝Asinωx＋φ的图象及应用教学案含解析新人教A版 23页

第5节　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及应用 考试要求　1.了解函数y＝Asin(ωx＋φ)的物理意义；能画出y＝Asin(ωx＋φ)的图象，了解参数A，ω，φ对函数图象变化的影响；2.会用三角函数解决一些简单实际问题，体会三角函数是描述周期变化现象的重要函数模型.‎ 知 识 梳 理 ‎1.函数y＝Asin(ωx＋φ)的有关概念 y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)，x∈[0，＋∞)表示一个振动量时 振幅 周期 频率 相位 初相 A T＝ f＝＝ ωx＋φ φ ‎2.用“五点法”画y＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<)一个周期内的简图时，要找五个关键点 x ‎－ ‎－＋ － ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π y＝Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ A ‎0‎ ‎－A ‎0‎ ‎3.函数y＝sin x的图象经变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象的两种途径 ‎[常用结论与微点提醒]‎ ‎1.函数y＝Asin(ωx＋φ)＋k图象平移的规律：“左加右减，上加下减”.‎ ‎2.由y＝sin ωx到y＝sin(ωx＋φ)(ω>0，φ>0)的变换：向左平移个单位长度而非φ个单位长度.‎ 诊 断 自 测 ‎1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”)‎ ‎(1)将函数y＝3sin 2x的图象左移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3sin.(　　)‎ ‎(2)利用图象变换作图时“先平移，后伸缩”与“先伸缩，后平移”中平移的长度一致.(　　)‎ ‎(3)函数y＝Acos(ωx＋φ)的最小正周期为T，那么函数图象的两个相邻对称中心之间的距离为.(　　)‎ ‎(4)由图象求解析式时，振幅A的大小是由一个周期内图象中最高点的值与最低点的值确定的.(　　)‎ 解析　(1)将函数y＝3sin 2x的图象向左平移个单位长度后所得图象的解析式是y＝3cos 2x.‎ ‎(2)“先平移，后伸缩”的平移单位长度为|φ|，而“先伸缩，后平移”的平移单位长度为.故当ω≠1时平移的长度不相等.‎ 答案　(1)×　(2)×　(3)√　(4)√‎ ‎2.(新教材必修第一册P240T1改编)为了得到函数y＝sin的图象，只需把函数y＝sin 2x图象上所有的点(　　)‎ A.向左平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向右平移个单位长度 解析　因为y＝sin＝sin 2，所以要得到其图象，需把y＝sin 2x图象上所有的点向左平移个单位长度.‎ 答案　C ‎3.(老教材必修4P66T4改编)如图所示，某地夏天从8～14时的用电量变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b.则这段曲线的函数解析式为________________.‎ 解析　观察图象可知从8～14时的图象是y＝Asin(ωx＋φ)＋b的半个周期的图象，‎ ‎∴A＝×(50－30)＝10，b＝×(50＋30)＝40.‎ ‎∵×＝14－8，∴ω＝，‎ ‎∴y＝10sin＋40.‎ 将x＝8，y＝30代入上式，解得φ＝.‎ ‎∴所求解析式为y＝10sin＋40，x∈[8，14].‎ 答案　y＝10sin＋40，x∈[8，14]‎ ‎4.(2019·衡水中学联考)将曲线C1：y＝2cos上的点向右平移个单位长度，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，得到曲线C2，则C2的方程为(　　)‎ A.y＝2sin 4x B.y＝2sin C.y＝2sin x D.y＝2sin 解析　将曲线C1：y＝2cos上的点向右平移个单位长度，可得y＝2sin 2x的图象，再将各点横坐标缩短为原来的，纵坐标不变，可得曲线C2：y＝2sin 4x，故选A.‎ 答案　A ‎5.(2020·绵阳诊断改编)y＝cos(x＋1)图象上相邻的最高点和最低点之间的距离是________.‎ 解析　相邻最高点与最低点的纵坐标之差为2，横坐标之差恰为半个周期π，故它们之间的距离为.‎ 答案　 ‎6.(2020·太原一模)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)的部分图象如图，则函数g(x)＝cos(4φx＋ω)的解析式为________.‎ 解析　由题图可得A＝2，＝6－(－2)＝8，‎ ‎∴T＝＝16，∴ω＝，则f(x)＝2sin.‎ ‎∵函数f(x)的图象过点(6，0)，且在点(6，0)附近递增，‎ ‎∴＋φ＝2kπ，k∈Z，∴φ＝－＋2kπ，k∈Z.‎ 又|φ|<π，则φ＝－，故g(x)＝cos.‎ 答案　g(x)＝cos 考点一　函数y＝Asin(ωx＋φ)的图象及变换 ‎【例1】 某同学用“五点法”画函数f(x)＝Asin(ωx＋φ) 在某一个周期内的图象时，列表并填入了部分数据，如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎－5‎ ‎0‎ ‎(1)请将上表数据补充完整，并直接写出函数f(x)的解析式；‎ ‎(2)将y＝f(x)图象上所有点向左平行移动θ(θ>0)个单位长度，得到y＝g(x)的图象.若y＝g(x)图象的一个对称中心为，求θ的最小值.‎ 解　(1)根据表中已知数据，解得A＝5，ω＝2，φ＝－.数据补全如下表：‎ ωx＋φ ‎0‎ π ‎2π x π Asin(ωx＋φ)‎ ‎0‎ ‎5‎ ‎0‎ ‎－5‎ ‎0‎ 且函数解析式为f(x)＝5sin.‎ ‎(2)由(1)知f(x)＝5sin，‎ 得g(x)＝5sin.‎ 因为函数y＝sin x图象的对称中心为(kπ，0)(k∈Z).‎ 令2x＋2θ－＝kπ，k∈Z，解得x＝＋－θ(k∈Z).‎ 由于函数y＝g(x)的图象关于点成中心对称，所以令＋－θ＝(k∈Z)，解得θ＝－(k∈Z).‎ 由θ>0可知，当k＝1时，θ取得最小值.‎ 规律方法　作函数y＝Asin(ωx＋φ)(A＞0，ω＞0)的图象常用如下两种方法：‎ ‎(1)五点法作图，用“五点法”作y＝Asin(ωx＋φ)的简图，主要是通过变量代换，设z＝ωx＋φ，由z取0，，π，π，2π来求出相应的x，通过列表，计算得出五点坐标，描点后得出图象；‎ ‎(2)图象的变换法，由函数y＝sin x的图象通过变换得到y＝Asin(ωx＋φ)的图象有两种途径：“先平移后伸缩”与“先伸缩后平移”.‎ ‎【训练1】 (1)(2017·全国Ⅰ卷)已知曲线C1：y＝cos x，C2：y＝sin，则下面结论正确的是(　　)‎ A.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ B.把C1上各点的横坐标伸长到原来的2倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ C.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向右平移个单位长度，得到曲线C2‎ D.把C1上各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，再把得到的曲线向左平移个单位长度，得到曲线C2‎ ‎(2)(2020·石家庄调研)若把函数y＝sin的图象向左平移个单位长度，所得到的图象与函数y＝cos ωx的图象重合，则ω的一个可能取值是(　　)‎ A.2 B. C. D. 解析　(1)易知C1：y＝cos x＝sin，把曲线C1上的各点的横坐标缩短到原来的倍，纵坐标不变，得到函数y＝sin的图象，再把所得函数的图象向左平移个单位长度，可得函数y＝sin＝sin的图象，即曲线C2，因此D项正确.‎ ‎(2)y＝sin和函数y＝cos ωx的图象重合，可得π－＝＋2kπ，k∈Z，则ω＝6k＋2，k∈Z.‎ ‎∴2是ω的一个可能值.‎ 答案　(1)D　(2)A 考点二　由图象求函数y＝Asin(ωx＋φ)的解析式 ‎【例2】 (1)(一题多解)(2019·长郡中学、衡阳八中联考)函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，已知A，B，则f(x)图象的对称中心为(　　)‎ A.(k∈Z) B.(k∈Z)‎ C.(k∈Z) D.(k∈Z)‎ ‎(2)(2020·河南六市联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0≤φ<2π)的部分图象如图所示，则f(2 019)的值为________.‎ 解析　(1)法一　T＝2＝π＝，∴ω＝2，‎ 因此f(x)＝sin(2x＋φ).‎ 由五点作图法知A是“第二点”，得2×＋φ＝，‎ 所以φ＝－.‎ ‎∴f(x)＝sin.‎ 令2x－＝kπ(k∈Z)，得x＝＋(k∈Z).‎ ‎∴f(x)图象的对称中心为(k∈Z).‎ 法二　T＝2＝π，由题图知，A，B的中点为f(x)图象的一个对称中心，从而f(x)图象对称中心的横坐标为＋＝＋＝＋(k，m∈Z).‎ 所以f(x)图象的对称中心为(k∈Z).‎ ‎(2)由题意可知＝－1＝，得T＝6，‎ 又知T＝，ω>0，∴ω＝.∴f(x)＝Asin.‎ 又∵f(1)＝A，∴Asin＝A，即sin＝1.‎ 又0≤φ<2π，∴φ＝.∴f(x)＝Asin.‎ 又知f(0)＝1，‎ ‎∴Asin ＝1，得A＝2，∴f(x)＝2sin.‎ ‎∴f(2 019)＝2sin＝2sin ‎＝2sin＝2sin ‎＝－2sin ＝－1.‎ 答案　(1)C　(2)－1‎ 规律方法　y＝Asin(ωx＋φ)中φ的确定方法 ‎(1)代入法：把图象上的一个已知点代入(此时要注意该点在上升区间上还是在下降区间上)或把图象的最高点或最低点代入.‎ ‎(2)五点法：确定φ值时，往往以寻找“五点法”中的特殊点作为突破口.‎ ‎【训练2】 (1)(2020·佛山模拟)某地一天6～14时的温度变化曲线近似满足函数y＝Asin(ωx＋φ)＋b(|φ|<π)，则这段曲线的函数解析式可以为(　　)‎ A.y＝10sin＋20，x∈[6，14]‎ B.y＝10sin＋20，x∈[6，14]‎ C.y＝10sin＋20，x∈[6，14]‎ D.y＝10sin＋20，x∈[6，14]‎ ‎(2)(2019·衡水中学一模)已知函数f(x)＝－2cos ωx(ω>0)的图象向左平移φ个单位，所得的部分函数图象如图所示，则φ的值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　(1)令ω>0.由函数图象可知，函数的最大值M为30，最小值m为10，周期T＝2×(14－6)＝16，‎ ‎∴A＝＝＝10，b＝＝＝20.‎ 又知T＝，ω>0，‎ ‎∴ω＝＝，∴y＝10sin＋20.‎ 又知该函数图象经过(6，10)，‎ ‎∴10＝10sin＋20，即sin＝－1，‎ ‎∴φ＝－＋2kπ(k∈Z)，‎ 又|φ|<π，∴φ＝π.‎ 故函数的解析式为y＝10sin＋20，x∈[6，14].‎ ‎(2)由题图知，T＝2＝π，‎ ‎∴ω＝＝2，∴f(x)＝－2cos 2x，‎ ‎∴f(x＋φ)＝－2cos(2x＋2φ)，‎ 则由图象知，f＝－2cos＝2.‎ ‎∴＋2φ＝2kπ＋π(k∈Z)，则φ＝＋kπ(k∈Z).‎ 又0<φ<，所以φ＝.‎ 答案　(1)A　(2)C 考点三　三角函数图象、性质的综合应用多维探究 角度1　图象与性质的综合问题 ‎【例3－1】 (2020·郑州一模)已知函数f(x)＝sin(ωx＋θ)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，若将函数f(x)的图象向左平移个单位长度后得到偶函数g(x)的图象，则函数f(x)的一个单调递减区间为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　因为函数f(x)＝sin(ωx＋θ)的图象相邻的两个对称中心之间的距离为，所以＝，即T＝π，即＝π，ω＝2，得f(x)＝sin(2x＋θ)，将f(x)的图象向左平移个单位长度后，得到g(x)＝sin的图象，因为g(x)为偶函数，所以＋θ＝kπ＋(k∈Z)，解得θ＝kπ＋(k∈Z).又因为－≤θ≤，所以θ＝，‎ 所以f(x)＝sin.‎ 令＋2kπ≤2x＋≤＋2kπ(k∈Z)，‎ 解得＋kπ≤x≤＋kπ(k∈Z).‎ 当k＝0时，得到一个单调递减区间为.‎ 又⊆，故选B.‎ 答案　B 角度2　三角函数的零点(方程的根)问题 ‎【例3－2】 已知关于x的方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0在上有两个不同的实数根，则m的取值范围是________.‎ 解析　方程2sin2x－sin 2x＋m－1＝0可转化为m＝1－2sin2x＋sin 2x＝cos 2x＋sin 2x＝2sin，x∈.设2x＋＝t，则t∈，所以题目条件可转化为＝sin t，t∈有两个不同的实数根.所以y1＝和y2＝sin t，t∈的图象有两个不同交点，如图：‎ 由图象观察知，的取值范围是，故m的取值范围是(－2，－1).‎ 答案　(－2，－1)‎ 角度3　三角函数模型的应用 ‎【例3－3】 如图，某大风车的半径为2米，每12秒旋转一周，它的最低点O离地面1米，点O在地面上的射影为A.风车圆周上一点M从最低点O开始，逆时针方向旋转40秒后到达P点，则点P到地面的距离是________米.‎ 解析　以圆心O1为原点，以水平方向为x轴方向，以竖直方向为y轴方向建立平面直角坐标系，则根据大风车的半径为2米，圆上最低点O离地面1米，12秒转动一周，设∠OO1M＝θ，运动t(秒)后与地面的距离为f(t).‎ 又周期T＝12，则ω＝＝，‎ 所以θ＝t，‎ 则f(t)＝3－2cos t(t≥0)，‎ 当t＝40 s时，f(t)＝3－2cos＝4.‎ 答案　4‎ 规律方法　1.研究y＝Asin(ωx＋φ)的性质时可将ωx＋φ视为一个整体，利用换元法和数形结合思想进行解题.‎ ‎2.方程根的个数可转化为两个函数图象的交点个数.‎ ‎3.三角函数模型的应用体现在两方面：一是已知函数模型求解数学问题；二是把实际问题抽象转化成数学问题，利用三角函数的有关知识解决问题.‎ ‎【训练3】 (1)(角度1)(2019·天津卷)已知函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，|φ|<π)是奇函数，将y＝f(x)的图象上所有点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象对应的函数为g(x).若g(x)的最小正周期为2π，且g＝，则f＝(　　)‎ A.－2 B.－ C. D.2‎ ‎(2)(角度2)若函数f(x)＝sin(ω>0)满足f(0)＝f，且函数在上有且只有一个零点，则f(x)的最小正周期为________.‎ ‎(3)(角度3)某城市一年中12个月的平均气温与月份的关系可近似地用函数y＝a＋Acos(x＝1，2，3，…，12)来表示，已知6月份的月平均气温最高为28 ℃，12月份的月平均气温最低为18 ℃，则10月份的平均气温为________℃.‎ 解析　(1)因为f(x)是奇函数(显然定义域为R)，所以f(0)＝Asin φ＝0，即sin φ＝0.又|φ|<π，所以φ＝0.‎ 由题意得g(x)＝Asin，且g(x)最小正周期为2π，‎ 所以ω＝1，即ω＝2.所以g(x)＝Asin x，‎ 所以g＝Asin ＝A＝，所以A＝2.‎ 所以f(x)＝2sin 2x，所以f＝.故选C.‎ ‎(2)因为f(0)＝f，所以x＝是f(x)图象的一条对称轴，所以f＝±1，所以ω＋＝＋kπ，k∈Z，所以ω＝6k＋2，k∈Z，所以T＝(k∈Z).又f(x)在上有且只有一个零点，所以≤≤－，所以≤T≤，所以≤≤(k∈Z)，所以－≤k≤，又因为k∈Z，所以k＝0，所以T＝π.‎ ‎(3)因为当x＝6时，y＝a＋A＝28；‎ 当x＝12时，y＝a－A＝18，所以a＝23，A＝5，‎ 所以y＝f(x)＝23＋5cos，‎ 所以当x＝10时，f(10)＝23＋5cos ‎＝23－5×＝20.5.‎ 答案　(1)C　(2)π　(3)20.5‎ 逻辑推理与数学运算——三角函数中有关ω的求解 数学运算是解决数学问题的基本手段，通过运算可促进学生思维的发展；而逻辑推理是得到数学结论、构建数学体系的重要方式.运算和推理贯穿于探究数学问题的始终，可交替使用，相辅相成.‎ 类型1　三角函数的周期T与ω的关系 ‎【例1】 为了使函数y＝sin ωx(ω>0)在区间[0，1]上至少出现50次最大值，则ω的最小值为(　　)‎ A.98π B.π C.π D.100π 解析　由题意，至少出现50次最大值即至少需要49个周期，所以T＝·≤1，所以ω≥π.‎ 答案　B 思维升华　解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T＝与所给区间的关系，从而建立不等关系.‎ 类型2　三角函数的单调性与ω的关系 ‎【例2】 若函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，则ω的取值范围是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　令＋2kπ≤ωx≤＋2kπ(k∈Z)，得＋≤x≤＋，因为f(x)在上单调递减，‎ 所以得6k＋≤ω≤4k＋3.‎ 又ω>0，所以k≥0，‎ 又6k＋<4k＋3，得0≤k<，所以k＝0.‎ 故≤ω≤3.‎ 答案　D 思维升华　根据正弦函数的单调递减区间，确定函数f(x)的单调递减区间，根据函数f(x)＝sin ωx(ω>0)在区间上单调递减，建立不等式，即可求ω的取值范围.‎ 类型3　三角函数的对称性、最值与ω的关系 ‎【例3】 (1)(2020·枣庄模拟)已知f(x)＝sin ωx－cos ωx，若函数f(x)图象的任何一条对称轴与x轴交点的横坐标都不属于区间(π，2π)，则ω的取值范围是________.(结果用区间表示)‎ ‎(2)已知函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，则ω的取值范围是________.‎ 解析　(1)f(x)＝sin ωx－cos ωx＝sin，‎ 令ωx－＝＋kπ(k∈Z)，解得x＝＋(k∈Z).‎ 当k＝0时，≤π，即≤ω，‎ 当k＝1时，＋≥2π，即ω≤.‎ 综上，≤ω≤.‎ ‎(2)显然ω≠0，分两种情况：‎ 若ω>0，当x∈时，－ω≤ωx≤ω.‎ 因函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以－ω≤－，解得ω≥.‎ 若ω<0，当x∈时，ω≤ωx≤－ω，‎ 因函数f(x)＝2sin ωx在区间上的最小值为－2，所以ω≤－，解得ω≤－2.‎ 综上所述，符合条件的实数ω≤－2或ω≥.‎ 答案　(1)　(2) 思维升华　这类三角函数题除了需要熟练掌握正弦函数、余弦函数、正切函数的单调性外，还必须知晓一个周期里函数最值的变化，以及何时取到最值，函数取到最值的区间要求与题目给定的区间的关系如何.‎ A级　基础巩固 一、选择题 ‎1.(2019·蚌埠质检)将函数f(x)＝sin x＋cos x的图象上各点的纵坐标不变，横坐标缩小为原来的，再将函数图象向左平移个单位后，得到的函数g(x)的解析式为(　　)‎ A.g(x)＝sin B.g(x)＝sin C.g(x)＝sin D.g(x)＝sin 解析　f(x)＝sin x＋cos x＝sin的图象y＝sin的图象g(x)＝sin＝sin.故选B.‎ 答案　B ‎2.函数y＝Asin(ωx＋φ)的部分图象如图所示，则(　　)‎ A.y＝2sin ‎ B.y＝2sin C.y＝2sin ‎ D.y＝2sin 解析　由题图可知，A＝2，T＝2＝π，‎ 所以ω＝2，由五点作图法知2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，‎ 所以φ＝－，所以函数的解析式为y＝2sin.‎ 答案　A ‎3.(2020·吉安检测)在平面直角坐标系xOy中，将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的图象经过原点，则φ的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　将函数f(x)＝sin的图象向左平移φ(φ>0)个单位后得到的图象对应的解析式为y＝sin，因为其图象经过原点，‎ 所以sin＝0，所以3φ＋＝kπ，k∈Z，解得φ＝－，k∈Z，又φ>0，所以φ的最小值为－＝.‎ 答案　B ‎4.(2019·成都检测)已知f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B的部分图象如图，则f(x)图象的一个对称中心是(　　)‎ A. B. C. D. 解析　由题图得为f(x)图象的一个对称中心，＝－，∴T＝π，从而f(x)图象的对称中心为(k∈Z)，当k＝1时，为，选A.‎ 答案　A ‎5.(2020·张家界模拟)将函数f(x)＝sin 2x－cos 2x的图象向左平移t(t>0)个单位后，得到函数g(x)的图象，若g(x)＝g，则实数t的最小值为(　　)‎ A. B. C. D. 解析　由题意得，f(x)＝2sin，‎ 则g(x)＝2sin，‎ 从而2sin＝2sin＝－2sin(2x－2t)＝2sin(2x－2t＋π)，又t>0，‎ 所以2t－＝－2t＋π＋2kπ，即t＝＋(k∈Z)，实数tmin＝π.‎ 答案　B 二、填空题 ‎6.将函数y＝sin x的图象上所有的点向右平移个单位长度，再把所得各点的横坐标伸长到原来的2倍(纵坐标不变)，所得图象的函数解析式是________________.‎ 解析　y＝sin xy＝siny＝sin.‎ 答案　y＝sin ‎7.(2020·沈阳质检)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(A>0，ω>0，0<φ<π)的部分图象如图所示，则f＝________.‎ 解析　由图象可知A＝2，T＝－＝，‎ ‎∴T＝π，∴ω＝2.‎ ‎∵当x＝时，函数f(x)取得最大值，‎ ‎∴2×＋φ＝＋2kπ(k∈Z)，∴φ＝＋2kπ(k∈Z)，‎ 又0<φ<π，∴φ＝，∴f(x)＝2sin，‎ 则f＝2sin＝2cos ＝.‎ 答案　 ‎8.据市场调查，某种商品一年内每件出厂价在7千元的基础上，按月呈f(x)＝Asin(ωx＋φ)＋B(A>0，ω>0，|φ|<)的模型波动(x为月份)，已知3月份达到最高价9千元，9月份价格最低为5千元.则7月份的出厂价格为________元.‎ 解析　作出函数简图如图：‎ 三角函数模型为：‎ y＝Asin(ωx＋φ)＋B，‎ 由题意知，A＝2 000，‎ B＝7 000，‎ T＝2×(9－3)＝12，‎ ‎∴ω＝＝.‎ 将(3，9 000)看成函数图象的“第二点”，‎ 则有×3＋φ＝，∴φ＝0，满足|φ|<，‎ 故f(x)＝2 000sin x＋7 000(1≤x≤12，x∈N*).‎ ‎∴f(7)＝2 000×sin ＋7 000＝6 000.‎ 故7月份的出厂价格为6 000元.‎ 答案　6 000‎ 三、解答题 ‎9.(2019·黄冈调研)已知函数f(x)＝－cos＋1－2sin2x.‎ ‎(1)用“五点作图法”在给定的坐标系中，画出函数f(x)在[0，π]上的图象；‎ ‎(2)先将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数y＝g(x)的图象，求g(x)图象的对称中心.‎ 解　(1)f(x)＝－cos＋1－2sin2x＝sin 2x＋cos 2x＝2sin.‎ 列表如下： ‎ x ‎0‎ π f(x)‎ ‎1‎ ‎2‎ ‎0‎ ‎－2‎ ‎0‎ ‎1‎ 描点、连线函数f(x)在区间[0，π]上的图象如图.‎ ‎(2)将函数f(x)＝2sin的图象向右平移个单位后得到y＝2sin＝2sin的图象，再将得到的图象上各点的横坐标伸长为原来的4倍，纵坐标不变，得到函数g(x)＝2sin的图象，由－＝kπ(k∈Z)得x＝2kπ＋(k∈Z)，故g(x)图象的对称中心为(k∈Z).‎ ‎10.已知函数f(x)＝sin(ωx＋φ)的图象关于直线x＝对称，且图象上相邻最高点的距离为π.‎ ‎(1)求f的值；‎ ‎(2)将函数y＝f(x)的图象向右平移个单位后，得到y＝g(x)的图象，求g(x)的单调递减区间.‎ 解　(1)因为f(x)的图象上相邻最高点的距离为π，‎ 所以f(x)的最小正周期T＝π，从而ω＝＝2.‎ 又f(x)的图象关于直线x＝对称，‎ 所以2×＋φ＝kπ＋(k∈Z)，‎ 因为－≤φ＜，所以k＝0，‎ 所以φ＝－＝－，所以f(x)＝sin，‎ 则f＝sin＝sin ＝.‎ ‎(2)将f(x)的图象向右平移个单位后，得到f的图象，‎ 所以g(x)＝f＝sin＝sin.‎ 当2kπ＋≤2x－≤2kπ＋(k∈Z)，‎ 即kπ＋≤x≤kπ＋(k∈Z)时，g(x)单调递减.‎ 因此g(x)的单调递减区间为(k∈Z).‎ B级　能力提升 ‎11.(2020·合肥联考)函数f(x)＝Asin(ωx＋φ)(其中A>0，|φ|< ‎)的图象如图所示，为了得到g(x)＝sin 2x的图象，只需将f(x)的图象(　　)‎ A.向右平移个单位长度 B.向右平移个单位长度 C.向左平移个单位长度 D.向左平移个单位长度 解析　不妨设ω>0，由图象可知，A＝1，‎ 又知＝π－＝，得T＝π，‎ 又∵T＝，ω>0，∴ω＝＝2，∴f(x)＝sin(2x＋φ).‎ 又知函数图象经过点，‎ ‎∴f＝－1，即sin＝－1，‎ ‎∴π＋φ＝2kπ＋π(k∈Z)，得φ＝2kπ＋(k∈Z).‎ 又∵|φ|<，∴φ＝，∴函数f(x)的解析式为f(x)＝sin.故只需将f(x)的图象向右平移个单位长度即可得到g(x)＝sin 2x的图象，因此选A.‎ 答案　A ‎12.(2020·河南百校联考)将函数f(x)＝sin 2x＋cos 2x＋1的图象向右平移个单位长度后得到函数g(x)的图象，当a∈(0，1)时，方程|g(x)|＝a在区间[0，2π]上所有根的和为(　　)‎ A.6π B.8π C.10π D.12π 解析　f(x)＝sin 2x＋cos 2x＋1＝2sin＋1，将其图象向右平移个单位长度后得到g(x)＝2sin 2x＋1的图象.画出函数y＝|g(x)|的图象与直线y＝a(00)，所以＝(k1∈N)，所以ω＝2k1(k1∈N)，又0<ω<3，所以当k1＝1时，ω＝2.所以f(x)＝sin(2x＋φ).由f＝0，得－＋φ＝k2π(k2∈Z)，所以φ＝k2π＋(k2∈Z)，又|φ|<，所以φ＝，则f(x)＝sin，所以f(π)＝.‎ 答案　 ‎14.已知函数f(x)＝cos＋2sinsin.‎ ‎(1)求函数f(x)的单调递增区间；‎ ‎(2)将y＝f(x)的图象向左平移 个单位长度，再将得到的图象横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得到y＝g(x)的图象.若函数y＝g(x)在区间上的图象与直线y＝a有三个交点，求实数a的取值范围.‎ 解　(1)f(x)＝cos＋2sinsin ‎＝cos 2x＋sin 2x＋(sin x－cos x)(sin x＋cos x)‎ ‎＝cos 2x＋sin 2x＋sin2 x－cos2x ‎＝cos 2x＋sin 2x－cos 2x ‎＝sin.‎ 令2kπ－≤2x－≤2kπ＋，k∈Z，‎ 得kπ－≤x≤kπ＋，k∈Z，‎ 所以函数f(x)的单调递增区间是，k∈Z.‎ ‎(2)将f(x)的图象向左平移个单位长度，得y＝sin＝sin＝cos 2x的图象，再将得到的图象的横坐标变为原来的2倍(纵坐标不变)，得g(x)＝cos x的图象.‎ 作函数g(x)＝cos x在区间上的图象，及直线y＝a.根据图象知，实数a的取值范围是.‎ C级　创新猜想 ‎15.(新定义题)(2020·江西红色七校联考)已知函数y＝f(x)(x∈R)，对函数y＝g(x)(x∈I)，定义g(x)关于f(x)的“对称函数”为y＝h(x)(x∈I)，y＝h(x)满足：对任意x∈I，两个点(x，h(x))，(x，g(x))关于点(x，f(x))对称，若h(x)＝－asin x是g(x)关于f(x)＝coscos的“对称函数”，且g(x)在上是减函数，则实数a的取值范围是________.‎ 解析　根据“对称函数”的概念可知h(x)＋g(x)＝2f(x)，即g(x)＝2f(x)－h(x)＝cos 2x＋asin x＝－2sin2x＋asin x＋1，令t＝sin x(因为x∈，所以t∈)，则y＝－2t ‎2＋at＋1，其图象的对称轴为t＝，开口向下.由于g(x)在上递减，y＝sin x在上递增，根据复合函数的单调性可知≤，a≤2.‎ 答案　(－∞，2]‎