高中数学第一章空间向量与立体几何1-2-1空间中的点直线与空间向量课件新人教B版选择性必修第一册 1 32页

1 . 2 . 1 　 空间中的点、直线与空间向量 核心 素养 1 . 理解位置向量、方向向量的概念 .( 数学抽象 , 直观想象 ) 2 . 能利用直线的方向向量解决两条直线所成的角问题 .( 数学运算 ) 3 . 初步了解两条异面直线的距离的定义 .( 数学抽象 ) 思维脉络 激趣诱思 知识点拨 一场正规的足球赛事需要有裁判执法才能进行 . 在比赛过程中 , 裁判员除了说一些必要的语言外 , 他们更多的借助专用的手势来把控整场比赛 . 比如 , 直接任意球要求裁判单臂侧平举 , 明确批示踢球方向 ; 间接任意球要求裁判单臂上举 , 掌心向前 , 此手势应持续到球踢出后 , 并被场上其他队员触及或成死球时为止 . 这一规定有着明确的方向性和细节要求 , 必须进行专业培训才能掌握 . 在不同领域有不同的 “ 语言 ”, 研究空间中的直线及其夹角也可以先提炼出与之有关联的 “ 向量语言 ” 来进行 . 同学们 , 你们知道是如何提炼的吗 ? 提炼出来后又将如何运用呢 ? 直接任意球 手势 间接任意球 手势 激趣诱思 知识点拨 1 . 点的位置向量、直线的 方向向量 位置向量 一般地 , 如果在空间中指定一点 O, 那么空间中任意一点 P 的位置 , 都可以由向量唯一确定 , 此时 , 通常称为点 P 的位置向量 方向向量 一般地 , 如果 l 是空间中的一条直线 ,v 是空间中的一个非零向量 , 且表示 v 的有向线段所在的直线与 l 平行或重合 , 则称 v 为直线 l 的一个方向向量 . 此时 , 也称向量 v 与直线 l 平行 , 记作 v ∥ l 微思考 空间一条直线的方向向量唯一吗 ? 提示 : 不唯一 . 激趣诱思 知识点拨 2 . 空间中两条直线所成的角 设 v 1 , v 2 分别是空间中直线 l 1 , l 2 的方向向量 , 且 l 1 与 l 2 所成角的大小为 θ , 则 θ =< v 1 , v 2 > 或 θ = π -< v 1 , v 2 > , 特别地 ,sin θ = sin < v 1 , v 2 > ,cos θ = | cos < v 1 , v 2 >| ; l 1 ⊥ l 2 ⇔ < v 1 , v 2 >= ⇔ v 1 · v 2 = 0 . 微练习 已知直线 a , b 的方向向量分别是 m = (1, k ,1), n = ( k , k+ 2,2), 若 a ⊥ b , 则 k= 　　　　 .   解析 : ∵ a ⊥ b , ∴ m ⊥ n , 即 m · n = 0 . ∴ k+k 2 + 2 k+ 2 = 0, 即 k 2 + 3 k+ 2 = 0, ∴ k=- 2 或 k=- 1 . 答案 : - 1 或 - 2 激趣诱思 知识点拨 3 . 两条异面直线的距离 一般地 , 如果 l 1 与 l 2 是空间中两条异面直线 , M ∈ l 1 , N ∈ l 2 , MN ⊥ l 1 , MN ⊥ l 2 , 则称 MN 为 l 1 与 l 2 的 公垂线段 . 并且空间中任意两条异面直线的公垂线段都存在并且唯一 . 两条异面直线的公垂线段的长 , 称为这两条异面直线之间的 距离 . 微思考 怎样在空间直角坐标系中求两条异面直线的公垂线段的长度 ? 提示 : 利用向量共线、向量垂直的条件建立方程组 , 求出公垂线段对应的向量 , 准确找出公垂线段在图中的位置 , 运用向量求出公垂线段的长度 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 利用向量法判定直线的位置关系 例 1 设 a , b 分别是两条不重合的直线 l 1 , l 2 的方向向量 , 根据下列条件判断 l 1 , l 2 的位置关系 : ① a = (2,3, - 1), b = ( - 6, - 9,3); ② a = (5,0,2), b = (0,4,0) . 解 : ①∵ a = (2,3, - 1), b = ( - 6, - 9,3), ∴ a =- b . ∴ a ∥ b . ∴ l 1 ∥ l 2 . ②∵ a = (5,0,2), b = (0,4,0), ∴ a · b = 0 . ∴ a ⊥ b . ∴ l 1 ⊥ l 2 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 解决直线的位置关系 , 可用直线对应的方向向量的坐标来刻画 , 对于此类问题应注意先要进行宏观判断 , 再合理地选取坐标公式 . 若直线 l 1 的方向向量 u 1 = ( a 1 , b 1 , c 1 ), 直线 l 2 的方向向量为 u 2 = ( a 2 , b 2 , c 2 ) . ( 注 : 下面的 λ , k ∈ R ) . 1 . 如果 l 1 ∥ l 2 , 那么 u 1 ∥ u 2 ⇔ u 1 = λ u 2 ⇔ ( a 1 , b 1 , c 1 ) = λ ( a 2 , b 2 , c 2 ); 2 . 如果 l 1 ⊥ l 2 , 那么 u 1 ⊥ u 2 ⇔ u 1 · u 2 = 0 ⇔ a 1 a 2 +b 1 b 2 +c 1 c 2 = 0 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 1 已知 a = ( - 2, - 3,1), b = (2,0,4), c = ( - 4, - 6,2), 则下列结论正确的是 ( 　　 ) A. a ∥ c , b ∥ c B. a ∥ b , a ⊥ c C. a ∥ c , a ⊥ b D. 以上都不对 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 异面直线所成的角 例 2 如图 , 在三棱柱 OAB-O 1 A 1 B 1 中 , 平面 OBB 1 O 1 ⊥ 平面 OAB , ∠ O 1 OB= 60 ° , ∠ AOB= 90 ° , 且 OB=OO 1 = 2, OA = , 求异面直线 A 1 B 与 AO 1 所成角的余弦值的大小 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 求解异面直线夹角方法 , 常用的就是建系后利用向量的坐标处理 , 除此之外还要注意其他方法的要领 . (1) 传统法 : 作出与异面直线所成角相等的平面角 , 进而构造三角形求解 . 这种方法灵活技巧性强 , 强调对夹角定义的挖掘 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 运用向量法常用两种途径 : ① 基底法 在一些不适合建立坐标系的题型中 , 我们经常采用取定基底的方法 , 这是小技巧 . 在由公式 cos = 求 向量 a , b 的夹角时 , 关键是求出 a · b 及 |a| 与 |b| , 一般是把 a , b 用基向量表示出来 , 再求有关的量 . ② 坐标法 根据题目条件建立恰当的空间直角坐标系 , 写出相关各点的坐标 , 利用坐标法求线线角 , 避免了传统找角或作角的步骤 , 使过程变得简单 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 2 如图所示 , 在正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , 已知 M , N 分别是 BD 和 AD 的中点 , 则 B 1 M 与 D 1 N 所成角的余弦值为 ( 　　 ) 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解析 : 建立如图所示的空间直角坐标系 , 设正方体的棱长为 2, 则 答案 : A 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 证明线线垂直问题 例 3 如 图 , △ ABC 和 △ BCD 所在平面互相垂直 , 且 AB=BC=BD= 2, ∠ ABC= ∠ DBC= 120 ° , E , F 分别为 AC , DC 的中点 . 求证 : EF ⊥ BC. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 证明 : 由题意 , 以点 B 为坐标原点 , 在平面 DBC 内过点 B 作垂直于 BC 的直线为 x 轴 , BC 所在直线为 y 轴 , 在平面 ABC 内过点 B 作垂直 BC 的直线为 z 轴 , 建立如图所示的空间直角坐标系 , 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 反思感悟 证明两直线垂直的基本步骤 建立空间直角坐标系 → 写出点的坐标 → 求直线的方向向量 → 证明向量垂直 → 得到两直线垂直 . 对于几何体为三棱锥的情况一定要注意建系的重要性 , 要使已知数据和所用的点更多地落在坐标平面或坐标轴上为标准 . 本例中要充分抓住平面 ABC 和平面 BCD 互相垂直这一条件 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 3 已知正三棱柱 ABC-A 1 B 1 C 1 的各棱长都为 1, M 是底面上 BC 边的中点 , N 是侧棱 CC 1 上的点 , 且 CN= CC 1 . 求证 : AB 1 ⊥ MN. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 证明 : 设 AB 中点为 O , 作 OO 1 ∥ AA 1 . 以 O 为坐标原点 , OB 所在直线为 x 轴 , OC 所在直线为 y 轴 , OO 1 所在直线为 z 轴建立如图所示的空间直角坐标系 Oxyz. 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 求异面直线的距离 例 4 已知三棱锥 S-ABC 中 , SA=BC= 13, SB=AC= 14, SC=AB= 15, 求异面直线 AS 与 BC 的距离 . 分析 此题是将不易直接求解的几何体 , 补成一个易求解的几何体的典型例子 , 有时还常把残缺形体补成完整形体 , 不规则形体补成规则形体 , 不熟悉形体补成熟悉形体等 . 所以 , 把三棱锥的四个面联想到长方体割去四个直三棱锥所得 , 故将三棱锥转化为长方体 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 解 : 构造如图所示长方体 , 使得长方体中三个相邻矩形的对角线长分别为 13,14,15 . 设 AD=x , BD=y , SD=z , 则 x 2 +y 2 =AB 2 , y 2 +z 2 =SB 2 , x 2 +z 2 =SA 2 , 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 由长方体性质 , 可知 BD ⊥ 平面 ADSF , BD ⊥ 平面 BGCE , 平面 ADSF ∥ 平面 BGCE , 则 BD 为平面 ADSF 和平面 BGCE 之间的距离 . 又 AS ⊂ 平面 ADSF , BC ⊂ 平面 BGCE , 则 BD 的长度就是异面直线 AS 与 BC 的距离 , 即异面直线 AS 与 BC 的距离为 3 . 反思感悟 利用定义法和割补法求解异面直线的距离的思路 定义法就是先作出公垂线 , 再求公垂线的长 , 而本例中的割补法实际上是把所求距离转化为平行平面间的距离问题 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 变式训练 4 已知边长为 a 的两个正方形 ABCD 和 CDEF 成 120 ° 的二面角 , 求异面直线 CD 与 AE 间的距离 . 解 : 由四边形 ABCD 和 CDEF 是正方形 , 得 CD ⊥ AD , CD ⊥ DE , 即 CD ⊥ 平面 ADE , 过点 D 作 DH ⊥ AE 于点 H , 可得 DH ⊥ AE , DH ⊥ CD , 所以 DH 是异面直线 AE 、 CD 的公垂线 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 易错点 —— 因混淆向量夹角与异面直线的夹角而致错 案例 如 图 , 已知 ▱ ABCD 中 , AB=AC= 1, ∠ ACD= 90 ° , 将它沿对角线 AC 折起 , 使 AB 与 CD 成 60 ° 角 , 求 B , D 间的距离 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 错解 : 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 错因分析 由异面直线 AB 与 CD 成 60 ° 角 得到 所 成的角为 60 ° , 这是错误的 . 混淆了异面直线所成的角与向量的夹角的定义 , 从而致误 . 向量的夹角与向量的方向有关系 , 且向量的夹角的范围为 0 ≤ θ ≤ π ; 异面直线的夹角与直线的方向没有关系 , 异面直线的夹角的范围是 0 < θ ≤ . 两者的范围不一样 . 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 1 . 若 A (1,0, - 1), B (2,1,2) 在直线 l 上 , 则直线 l 的一个方向向量是 ( 　　 ) A.(2,2,6) B . ( - 1,1,3) C.(3,1,1) D . ( - 3,0,1 ) 答案 : A 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 2 . 设直线 l 1 , l 2 的方向向量分别为 a = ( - 2,2,1), b = (3, - 2, m ), 若 l 1 ⊥ l 2 , 则 m 等于 ( 　　 ) A. - 2 B . 2 C . 10 D . 6 解析 : 因为 a ⊥ b , 故 a · b= 0, 即 - 2×3 + 2×( - 2) +m= 0, 解得 m= 10 . 答案 : C 探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 3 . 已知 a , b 是异面直线 , A , B ∈ a , C , D ∈ b , AC ⊥ b , BD ⊥ b , 且 AB= 2, CD= 1, 则 a , b 所成的角是 　　　　 .   探究一 探究二 探究三 探究四 素养形成 当堂检测 4 . 已知正方体 ABCD-A 1 B 1 C 1 D 1 中 , E 是棱 CC 1 上的动点 , 求证 : A 1 E ⊥ BD. 证明 : 以 D 为坐标原点 , 以 DA , DC , DD 1 所在直线分别为 x 轴、 y 轴、 z 轴建立空间直角坐标系 . 设正方体棱长为 a , 则 A ( a ,0,0), B ( a , a ,0), C (0, a ,0), A 1 ( a ,0, a ), C 1 (0, a , a ) .