2021版高考数学一轮复习第八章立体几何8-4直线与平面平面与平面垂直课件苏教版 24页

第四节　直线与平面、平面与平面垂直 内容索引 必备知识 · 自主学习 核心考点 · 精准研析 核心素养 · 微专题 核心素养测评 【 教材 · 知识梳理 】 1. 直线与直线垂直 (1) 定义 : 若两条直线相交于一点或经过平移后相交于一点 , 并且交角为直角 , 则称这两条直线互相垂直 . (2) 若一条直线垂直于一个平面 , 则它就和平面内的任意一条直线垂直 . 2. 直线与平面垂直 (1) 定义 : 直线 l 与平面 α 内的 _____ 一 条直线都垂直 , 就说直线 l 与平面 α 互相垂直 . 任意 (2) 判定定理与性质定理 : 文字语言 图形语言 符号语言 判定 定理 一条直线与一个平面 内的两条 _____ 直线都 垂直 , 则该直线与此 平面垂直 性质 定理 垂直于同一个平面的 两条直线 _____ 相交 平行 3. 直线和平面所成的角 (1) 平面的一条斜线和它在 _____________ 所成的锐角叫做这条直线和这个平面 所成的角 . (2) 当直线与平面垂直和平行 ( 或直线在平面内 ) 时 , 规定直线和平面所成的角分别 为 __________. 平面上的射影 90° 和 0° 4. 平面与平面垂直 文字语言 图形语言 符号语言 判 定 定 理 一个平面过另一个平面的 _____, 则这两个平面垂直 性 质 定 理 两个平面垂直 , 则一个平面 内垂直于 _____ 的直线与另 一个平面垂直 垂线 交线 5. 二面角的有关概念 (1) 二面角 : 从一条直线出发的 ___________ 所组成的图形叫做二面角 . (2) 二面角的平面角 : 以二面角的棱上任一点为端点 , 在两个半平面内分别作 _________ 的两条射线 , 这两条射线所成的角叫做二面角的平面角 . 两个半平面 垂直于棱 【 知识点辨析 】 ( 正确的打“√” , 错误的打“ ×”) (1) 直线 l 与平面 α 内的无数条直线都垂直 , 则 l ⊥α.( 　　 ) (2) 若两平行线中的一条垂直于一个平面 , 则另一条也垂直于这个平面 . ( 　　 ) (3) 若直线 a⊥ 平面 α, 直线 b∥α, 则直线 a 与 b 垂直 . ( 　　 ) (4) 若 α⊥β,a⊥β, 则 a∥α. ( 　　 ) (5) 若两平面垂直 , 则其中一个平面内的任意一条直线垂直于另一个平面 . ( 　　 ) (6) 如果两个平面所成的二面角为 90°, 则这两个平面垂直 .( 　　 ) 提示 : (1) ×. 直线 l 与平面 α 内的任意一条直线都垂直 , 则 l ⊥α. (2)√. (3)√. (4)×. 若 α⊥β,a⊥β, 则 a∥α 或 a⊂α. (5)×. 若两平面垂直 , 则其中一个平面内垂直于交线的直线垂直于另一个平面 . (6)√. 【 易错点索引 】 序号 易错警示 典题索引 1 证明线面垂直时忽视平面上的两条直线相交 考点一、 T3 考点三、角度 1 2 证明面面垂直时找错直线 考点一、 T3,4 3 应用面面垂直的性质定理时忽视与交线垂直 考点三、角度 2 4 线面角、二面角概念混淆致误 考点二、 T1,2 【 教材 · 基础自测 】 1.( 必修 2 P50 习题 1.2(3)T4 改编 ) 已知平面 α,β, 直线 l , 若 α⊥β,α∩β= l , 则 ( 　　 ) A. 垂直于平面 β 的平面一定平行于平面 α B. 垂直于直线 l 的直线一定垂直于平面 α C. 垂直于平面 β 的平面一定平行于直线 l D. 垂直于直线 l 的平面一定与平面 α,β 都垂直 【 解析 】 选 D.A 中平面可与 α 平行或相交 , 不正确 . B 中直线可与 α 有各种线面关系 , 不正确 . C 中平面可与直线 l 平行或相交 , 不正确 . 2.( 必修 2 P51 习题 1.2(3)T11 改编 ) 已知互相垂直的平面 α,β 交于直线 l . 若直线 m,n 满足 m∥α,n⊥β, 则 ( 　　 ) A.m∥ l 　　　 B.m∥n 　　　 C.n⊥ l 　　　 D.m⊥n 【 解析 】 选 C. 由题意知 ,α∩β= l , 所以 l ⊂ β, 因为 n⊥β, 所以 n⊥ l . 3.( 必修 2 P28 练习 T5 改编 ) 在△ ABC 中 ,∠ABC=90°,PA⊥ 平面 ABC, 则图中直角三角形的个数是 ________.  【 解析 】 因为∠ ABC=90°, 故△ ABC 是直角三角形 ; 因为 PA⊥ 平面 ABC, 所以 PA⊥AC,PA⊥AB,PA⊥BC, 又 BC⊥AB,PA∩AB=A,PA,AB ⊂ 平面 PAB, 所以 BC⊥ 平面 PAB, 所以 BC⊥PB, 故△ PAC,△PAB,△PBC 都是直角三角形 . 答案 : 4 4.( 必修 2 P51 习题 1.2(3)T15 改编 ) 在三棱锥 P-ABC 中 , 点 P 在平面 ABC 中的射影为点 O. 若 PA⊥PB,PB⊥PC,PC⊥PA, 则点 O 是△ ABC 的 ________ 心 .  【 解析 】 如图 , 延长 AO,BO,CO 分别交 BC,AC,AB 于点 H,D,G. 因为 PC⊥PA,PB⊥PC,PA∩PB=P,PA,PB⊂ 平面 PAB, 所以 PC⊥ 平面 PAB, 又 AB⊂ 平面 PAB, 所以 PC⊥AB, 因为 AB⊥PO,PO∩PC=P,PO,PC⊂ 平面 PGC, 所以 AB⊥ 平面 PGC, 又 CG⊂ 平面 PGC, 所以 AB⊥CG, 即 CG 为△ ABC 边 AB 上的高 . 同理可证 BD,AH 分别为△ ABC 边 AC,BC 上的高 , 即 O 为△ ABC 的垂心 . 答案 : 垂 核心素养　逻辑推理 —— 逻辑推理心路历程  【 素养诠释 】 逻辑推理是指从一些事实和命题出发 , 依据逻辑规则推出一个命题的过程 , 主要包括两类 : 一类是从特殊到一般的推理 , 推理形式主要有归纳、类比 ; 一类是从一般到特殊的推理 . 【 典例 】 (2019· 全国卷 Ⅲ) 如图 , 点 N 为正方形 ABCD 的中心 ,△ECD 为正三角形 , 平面 ECD⊥ 平面 ABCD,M 是线段 ED 的中点 , 则 ( 　　 ) A.BM=EN, 且直线 BM,EN 是相交直线 B.BM≠EN, 且直线 BM,EN 是相交直线 C.BM=EN, 且直线 BM,EN 是异面直线 D.BM≠EN, 且直线 BM,EN 是异面直线 【 素养立意 】 　 本题要求证的结论是线段 BM 与 EN 的大小关系及位置关系 , 我们可以假定相交 , 那么需要找到它们所确定的平面 , 进而通过已知条件进行逻辑推理论证 . 【 解析 】 选 B. 连接 BD, 则点 N 在 BD 上且为 BD 中点 . 因为直线 BM,EN 都是平面 BED 内的直线 , 且不平行 , 即直线 BM,EN 是相交直线 . 设 正方形 ABCD 的边长为 2a, 则由题意可得 :DE=2a,DM=a,DN= 　 a,DB=2 　 a, 根据 余弦定理可得 :BM 2 =DB 2 +DM 2 -2DB · DMcos∠BDE=9a 2 -4 　 a 2 cos∠BDE,EN 2 = DE 2 +DN 2 - 2DE · DNcos∠BDE=6a 2 -4 　 a 2 cos∠BDE, 所以 BM≠EN.