2021高考数学新高考版一轮习题：专题8 第73练 直线与圆锥曲线小题综合练 Word版含解析 6页

1．已知对任意 k∈R，直线 y－kx－1＝0 与椭圆x2 5 ＋y2 m ＝1 恒有公共点，则实数 m 的取值范围 是( ) A．(0,1) B．(0,5) C．[1,5)∪(5，＋∞) D．[1,5) 2．(2020·青岛模拟)直线 l：x－2y－5＝0 过双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的一个焦点且与其中 一条渐近线平行，则该双曲线的方程为( ) A.x2 20 －y2 5 ＝1 B.x2 5 －y2 20 ＝1 C.x2 4 －y2＝1 D．x2－y2 4 ＝1 3．已知椭圆 x2＋2y2＝4，则以(1,1)为中点的弦的长度为( ) A．3 2 B．2 3 C. 30 3 D.3 2 6 4．(2019·兰州期末)设坐标原点为 O，抛物线 y2＝2x 与过焦点的直线交于 A，B 两点，则OA→ ·OB→ 等于( ) A.3 4 B. －3 4 C．3 D．－3 5．(2019·石家庄质检)双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)的左、右焦点分别为 F1，F2，过 F1 作倾斜 角为 60°的直线与 y 轴和双曲线的右支分别交于 A，B 两点，若点 A 平分线段 F1B，则该双曲 线的离心率是( ) A. 3 B．2＋ 3 C．2 D. 2＋1 6．(2020·宜昌调研)已知椭圆 C：x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)上存在 A，B 两点恰好关于直线 l：x－y－1 ＝0 对称，且直线 AB 与直线 l 的交点的横坐标为 2，则椭圆 C 的离心率为( ) A.1 3 B. 3 3 C. 2 2 D.1 2 7．(多选)我们把离心率为 e＝ 5＋1 2 的双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)称为黄金双曲线．给出以下 几个说法中正确的是( ) A．双曲线 x2－ 2y2 5＋1 ＝1 是黄金双曲线 B．若 b2＝ac，则该双曲线是黄金双曲线 C．若 F1，F2 为左右焦点，A1，A2 为左右顶点，B1(0，b)，B2(0，－b)且∠F1B1A2＝90°，则该 双曲线是黄金双曲线 D．若 MN 经过右焦点 F2 且 MN⊥F1F2，∠MON＝90°，则该双曲线是黄金双曲线 8．(多选)已知 B1，B2 是椭圆x2 a2 ＋y2 b2 ＝1(a>b>0)短轴上的两个顶点，点 P 是椭圆上不同于短轴 端点的任意一点，点 Q 与点 P 关于 y 轴对称，则下列四个命题中正确的是( ) A．直线 PB1 与 PB2 的斜率之积为定值－a2 b2 B.PB1 → ·PB2 → >0 C．△PB1B2 的外接圆半径的最大值为a2＋b2 2a D．直线 PB1 与 QB2 的交点 M 的轨迹为双曲线 9．椭圆 mx2＋ny2＝1 与直线 y＝1－x 交于 M，N 两点，若原点 O 与线段 MN 的中点 P 连线的 斜率为 2 2 ，则m n 的值是____________． 10．已知抛物线 C：y2＝2px(p>0)的焦点为 F，过点(－1,0)的直线与 C 交于 A，B 两点(A 在 B 左侧)，若 4|FA|＋|FB|的最小值为 19，则抛物线 C 的标准方程为____________． 11．若双曲线x2 a2 －y2 b2 ＝1(a>0，b>0)与直线 y＝ 3x 无交点，则离心率 e 的取值范围是( ) A．(1,2) B．(1,2] C．(1， 5) D．(1， 5] 12．椭圆 C：x2 4 ＋y2 3 ＝1 的左、右顶点分别为 A1，A2，点 P 在 C 上，且直线 PA2 斜率的取值范 围是[－2，－1]，那么直线 PA1 斜率的取值范围是( ) A. 3 8 ，3 4 B. 1 2 ，3 4 C. 1 2 ，1 D. 3 4 ，1 13．(2020·衡水中学调研)已知抛物线 y2＝4x，过点 P(4,0)的直线与抛物线相交于 A(x1，y1)， B(x2，y2)两点，则 y21＋y 22的最小值为( ) A．12 B．24 C．16 D．32 14．(2019·山西省实验中学质检)若直线 l 与双曲线x2 4 －y2＝1 相切于点 P，l 与双曲线的两条渐 近线分别交于 M，N 两点，则OM→ ·ON→ 的值为( ) A．3 B．4 C．5 D．与点 P 的位置有关 15．已知双曲线 x2－y2 3 ＝1 上的两点 M，N 关于直线 y＝x＋m 对称，且 MN 的中点在抛物线 y2＝18x 上，则实数 m 的值为________． 16．(2019·江西名校联盟调研)已知直线 l 经过抛物线 C：y＝x2 4 的焦点 F，与抛物线交于 A，B 两点，且 xA＋xB＝8，则 l 的方程为________．若点 D 是曲线 AOB(O 为原点)上一动点，以 D 为圆心的圆与直线 l 相切，当圆 D 的面积最大时，圆 D 的标准方程为____________________． 答案精析 1．C 2.A 3.C 4.B 5.B 6.C 7．ABCD 8.BC 9. 2 2 10.y2＝12x 11．B 12.A 13．D [当直线的斜率不存在时， 方程为 x＝4， 由 x＝4， y2＝4x， 得 y1＝－4，y2＝4，∴y21＋y22＝32. 当直线的斜率存在时， 设其方程为 y＝k(x－4)， 由 y2＝4x， y＝kx－4， 得 ky2－4y－16k＝0， ∴y1＋y2＝4 k ， y1y2＝－16， ∴y21＋y22＝(y1＋y2)2－2y1y2 ＝16 k2 ＋32>32. 综上可知，y21＋y22≥32. ∴y21＋y 22的最小值为 32，故选 D.] 14．A [设点 P(x0，y0)，M(x1，y1)，N(x2，y2)， 其中 x20－4y20＝4，则直线 l 的方程是x0x 4 －y0y＝1， 双曲线的渐近线方程为 y＝±1 2x. ①当 y0＝0 时，直线 l 的方程是 x＝2 或 x＝－2. 由 x＝2， x2 4 －y2＝0， 得 x＝2， y＝1 或 x＝2， y＝－1， OM→ ·ON→ ＝(2，－1)·(2,1)＝3， 同理当 x＝－2 时，OM→ ·ON→ ＝3. ②当 y0≠0 时， 直线 l 的方程为 y＝ 1 4y0 (x0x－4)． 由 y＝ 1 4y0 x0x－4， y＝x 2 ， 可得 x1＝ 4 x0－2y0 ， y1＝ 2 x0－2y0 . 同理可得 x2＝ 4 x0＋2y0 ， y2＝ －2 x0＋2y0 . 又 x20－4y20＝4， OM→ ·ON→ ＝x1x2＋y1y2＝ 12 x20－4y20 ＝3， 综上，OM→ ·ON→ ＝3.] 15．0 或－8 解析 设 M(x1，y1)，N(x2，y2)， MN 的中点为 P(x0，y0)，则 x21－y21 3 ＝1， x22－y22 3 ＝1， x1＋x2＝2x0， y1＋y2＝2y0， 得(x2－x1)(x2＋x1)＝1 3(y2－y1)(y2＋y1)， 显然 x1≠x2，∴y2－y1 x2－x1 ·(y2＋y1) ＝3(x2＋x1)， 即 kMN·y0＝3x0. ∵M，N 关于直线 y＝x＋m 对称， ∴kMN＝－1，∴y0＝－3x0. 又∵y0＝x0＋m， ∴P －m 4 ，3m 4 ，代入抛物线方程得 9 16m2＝18· －m 4 ， 解得 m＝0 或 m＝－8.] 16．2x－y＋1＝0 (x－4)2＋(y－4)2＝5 [kAB＝yA－yB xA－xB ＝xA＋xB 4 ＝2，F(0,1)，l：y＝2x＋1，即 2x－y＋1＝0. 点 D 到直线 l 距离最大时，圆 D 的面积最大， 令 y′＝x 2 ＝2，解得 x＝4，即 D(4,4)到直线 l 距离最大，此时 d＝ 5， 所以所求圆的标准方程为(x－4)2＋(y－4)2＝5.]