高中数学必修1知识点 9页

高一数学必修 1 各章知识点总结 第一章 集合与函数概念 一、集合有关概念 1. 集合的含义 2. 集合的中元素的三个特性： (1) 元素的确定性如：世界上最高的山 (2) 元素的互异性如：由 HAPPY 的字母组成的集合{H,A,P,Y} (3) 元素的无序性: 如：{a,b,c}和{a,c,b}是表示同一个集合 3.集合的表示：{ … } 如：{我校的篮球队员}，{太平洋,大西洋,印度洋, 北冰洋} (1) 用拉丁字母表示集合：A={我校的篮球队员},B={1,2,3,4,5} (2) 集合的表示方法：列举法与描述法。  注意：常用数集及其记法： 非负整数集（即自然数集） 记作：N 正整数集 N*或 N+ 整数集 Z 有理数集 Q 实数集 R 1） 列举法：{a,b,c……} 2） 描述法：将集合中的元素的公共属性描述出来，写在大括号内表示集合 的方法。{xR| x-3>2} ,{x| x-3>2} 3） 语言描述法：例：{不是直角三角形的三角形} 4） Venn 图: 4、集合的分类： (1) 有限集 含有有限个元素的集合 (2) 无限集 含有无限个元素的集合 (3) 空集 不含任何元素的集合 例：{x|x2=－5｝ 二、集合间的基本关系 1.“包含”关系—子集 注意： BA  有两种可能（1）A 是 B 的一部分，；（2）A 与 B 是同一集合。 反之: 集合 A 不包含于集合 B,或集合 B 不包含集合 A,记作 A B 或 B  A 2．“相等”关系：A=B (5≥5，且 5≤5，则 5=5) 实例：设 A={x|x2-1=0} B={-1,1} “元素相同则两集合相等” 即：① 任何一个集合是它本身的子集。AA ②真子集:如果 AB,且 A B 那就说集合 A 是集合 B 的真子集，记作 A B(或 B A) ③如果 AB, BC ,那么 AC ④ 如果 AB 同时 BA 那么 A=B 3. 不含任何元素的集合叫做空集，记为Φ 规定: 空集是任何集合的子集， 空集是任何非空集合的真子集。  有 n 个元素的集合，含有 2n 个子集，2n-1 个真子集 三、集合的运算 运算 类型 交 集 并 集 补 集 定 义 由所有属于 A 且属 于 B 的元素所组成 的集合,叫做 A,B 的 由所有属于集合 A 或 属于集合 B 的元素所 组成的集合，叫做 A,B 设 S 是一个集合，A 是 S 的一个子集，由 S 中 所有不属于 A的元素组 成的集合，叫做 S 中子 交集．记作 A B（读 作‘A 交 B’），即 A  B=｛x|xA，且 xB｝． 的并集．记作：A  B （读作‘A 并 B’）， 即 A  B ={x|xA， 或 xB})． 集 A 的补集（或余集） 记作 ACS ，即 CSA= },|{ AxSxx  且 韦 恩 图 示 A B 图 1 A B 图 2 性 质 A  A=A A  Φ =Φ A  B=B A A  B  A A  B B A  A=A A  Φ =A A  B=B A A  B Ａ A  B B (CuA)  (CuB) = Cu (A  B) (CuA)  (CuB) = Cu(A B) A  (CuA)=U A  (CuA)= Φ ． 例题： 1.下列四组对象，能构成集合的是 （ ） A 某班所有高个子的学生 B 著名的艺术家 C 一切很大的书 D 倒数等于它自身的实数 2.集合{a，b，c }的真子集共有 个 3.若集合 M={y|y=x2-2x+1,xR},N={x|x≥0}，则 M 与 N 的关系是 . 4.设集合 A=  12xx ，B= x x a ，若 A B，则 a 的取值范围是 5.50 名学生做的物理、化学两种实验，已知物理实验做得正确得有 40 人，化学实验做得正确得有 31 人， 两种实验都做错得有 4 人，则这两种实验都做对的有 人。 6. 用描述法表示图中阴影部分的点（含边界上的点）组成的集合 M= . 7.已知集合 A={x| x2+2x-8=0}, B={x| x2-5x+6=0}, C={x| x2-mx+m2-19=0}, 若 B∩C≠Φ ，A∩C=Φ ，求 m 的值 二、函数的有关概念 1．函数的概念：设 A、B 是非空的数集，如果按照某个确定的对应关系 f， 使对于集合 A 中的任意一个数 x，在集合 B 中都有唯一确定的数 f(x)和它 对应，那么就称 f：A→B 为从集合 A 到集合 B 的一个函数．记作： y=f(x)， x∈A．其中，x 叫做自变量，x 的取值范围 A 叫做函数的定义域；与 x 的值 相对应的 y 值叫做函数值，函数值的集合{f(x)| x∈A }叫做函数的值域． 注意： 1．定义域：能使函数式有意义的实数 x 的集合称为函数的定义域。 求函数的定义域时列不等式组的主要依据是： (1)分式的分母不等于零； (2)偶次方根的被开方数不小于零； (3)对数式的真数必须大于零； S A S A (4)指数、对数式的底必须大于零且不等于 1. (5)如果函数是由一些基本函数通过四则运算结合而成的.那么，它的定义域 是使各部分都有意义的 x 的值组成的集合. (6)指数为零底不可以等于零， (7)实际问题中的函数的定义域还要保证实际问题有意义.  相同函数的判断方法：①表达式相同（与表示自变量和函数值的字母 无关）；②定义域一致 (两点必须同时具备) (见课本 21 页相关例 2) 2．值域 : 先考虑其定义域 (1)观察法 (2)配方法 (3)代换法 3. 函数图象知识归纳 (1)定义：在平面直角坐标系中，以函数 y=f(x) , (x∈A)中的 x 为横坐标， 函数值 y 为纵坐标的点 P(x，y)的集合 C，叫做函数 y=f(x),(x ∈A)的图 象．C 上每一点的坐标(x，y)均满足函数关系 y=f(x)，反过来，以满足 y=f(x) 的每一组有序实数对 x、y 为坐标的点(x，y)，均在 C 上 . (2) 画法 A、 描点法： B、 图象变换法 常用变换方法有三种 1) 平移变换 2) 伸缩变换 3) 对称变换 4．区间的概念 （1）区间的分类：开区间、闭区间、半开半闭区间 （2）无穷区间 （3）区间的数轴表示． 5．映射 一般地，设 A、B 是两个非空的集合，如果按某一个确定的对应法则 f， 使对于集合 A 中的任意一个元素 x，在集合 B 中都有唯一确定的元素 y 与之 对应，那么就称对应 f：AB 为从集合 A 到集合 B 的一个映射。记作“f （对应关系）：A（原象） B（象）” 对于映射 f：A→B 来说，则应满足： (1)集合 A 中的每一个元素，在集合 B 中都有象，并且象是唯一的； (2)集合 A 中不同的元素，在集合 B 中对应的象可以是同一个； (3)不要求集合 B 中的每一个元素在集合 A 中都有原象。 6.分段函数 (1)在定义域的不同部分上有不同的解析表达式的函数。 (2)各部分的自变量的取值情况． (3)分段函数的定义域是各段定义域的交集，值域是各段值域的并集． 补充：复合函数 如果 y=f(u)(u∈M),u=g(x)(x∈A),则 y=f[g(x)]=F(x)(x∈A) 称为 f、g 的复合函数。 二．函数的性质 1.函数的单调性(局部性质) （1）增函数 设函数 y=f(x)的定义域为 I，如果对于定义域 I 内的某个区间 D 内的任 意两个自变量 x1，x2，当 x11， 且 n ∈ N *．  负数没有偶次方根；0 的任何次方根都是 0，记作 00 n 。 当 n 是奇数时， aan n  ，当 是偶数时，       )0( )0(|| a a a aaan n 2．分数指数幂 正数的分数指数幂的意义，规定： )1,,,0( *  nNnmaaa n mn m ， )1,,,0(11 *  nNnma aa a n m n m n m  0 的正分数指数幂等于 0，0 的负分数指数幂没有意义 3．实数指数幂的运算性质 （1） ra · srr aa  ),,0( Rsra  ； （2） rssr aa )( ),,0( Rsra  ； （3） srr aaab )( ． （二）指数函数及其性质 1、指数函数的概念：一般地，函数 )1,0(  aaay x 且 叫做指数函数， 其中 x 是自变量，函数的定义域为 R． 注意：指数函数的底数的取值范围，底数不能是负数、零和 1． 2、指数函数的图象和性质 a>1 01 00，a 0，函数 y=ax 与 y=loga(-x)的图象只能是 ( ) 2.计算： ① 64log 2log 27 3 ;② 3log4 22  = ； 2log227log 553 1 25  = ; ③ 2 1 3 4 3 1 01.016])2[()8 7(064.0 75.030   = 3.函数 y=log 2 1 (2x2-3x+1)的递减区间为 4.若函数 )10(log)(  axxf a 在区间 ]2,[ aa 上的最大值是最小值的 3 倍，则 a= 5.已知 1( ) log ( 0 1)1a xf x a ax    且 ，（1）求 ()fx的定义域（2）求使 ( ) 0fx 的 x 的取值范围 第三章 函数的应用 一、方程的根与函数的零点 1、函数零点的概念：对于函数 ))(( Dxxfy  ，把使 0)( xf 成立的实 数 x 叫做函数 ))(( Dxxfy  的零点。 2、函数零点的意义：函数 )(xfy  的零点就是方程 实数根，亦 即函数 )(xfy  的图象与 轴交点的横坐标。 即：方程 有实数根  函数 的图象与 轴有交点  函 数 有零点． 3、函数零点的求法： ○1 （代数法）求方程 的实数根； ○2 （几何法）对于不能用求根公式的方程，可以将它与函数 的 图象联系起来，并利用函数的性质找出零点． 4、二次函数的零点： 二次函数 )0(2  acbxaxy ． （1）△＞０，方程 02  cbxax 有两不等实根，二次函数的图象与 x 轴 有两个交点，二次函数有两个零点． （2）△＝０，方程 有两相等实根，二次函数的图象与 轴 有一个交点，二次函数有一个二重零点或二阶零点． （3）△＜０，方程 无实根，二次函数的图象与 轴无交 点，二次函数无零点． 5.函数的模型 检验 收集数据 画散点图 选择函数模型 求函数模型 用函数模型解释实际问题 符合实际 不 符 合 实 际