高中数学人教a版选修4-1课时跟踪检测（四）相似三角形的性质word版含解析 5页

课时跟踪检测(四) 相似三角形的性质 一、选择题 1．如图，△ABC中，DE∥BC，若 AE∶EC＝1∶2，且 AD＝4 cm，则 DB等于( ) A．2 cm B．6 cm C．4 cm D．8 cm 解析：选 D 由 DE∥BC，得△ADE∽△ABC， ∴ AD AB ＝ AE AC ，∴ AD DB ＝ AE EC ＝ 1 2 . ∴DB＝4×2＝8(cm)． 2.如图，在▱ABCD中，E是 BC的中点，AE交对角线 BD于点 G， 且△BEG的面积是 1 cm2，则▱ABCD的面积为( ) A．8 cm2 B．10 cm2 C．12 cm2 D．14 cm2 解析：选 C 因为 AD∥BC，所以△BEG ∽△DAG， 因为 BE＝EC，所以 BE BC ＝ BE DA ＝ 1 2 . 所以 S△BEG S△DAG ＝ BE DA 2＝ 1 4 ， 即 S△DAG＝4S△BEG＝4(cm2)． 又因为 AD∥BC，所以 AG EG ＝ DA BE ＝2， 所以 S△BAG S△BEG ＝ AG EG ＝2， 所以 S△BAG＝2S△BEG＝2(cm2)， 所以 S△ABD＝S△BAG＋S△DAG＝2＋4＝6(cm2)， 所以 S▱ABCD＝2S△ABD＝2×6＝12(cm2)． 3．如图所示，在▱ABCD中，AB＝10，AD＝6，E是 AD的中点，在 AB上取一点 F， 使△CBF∽△CDE，则 BF的长是( ) A．5 B．8.2 C．6.4 D．1.8 解析：选 D ∵△CBF∽△CDE， ∴ BF DE ＝ CB CD . ∴BF＝DE·CB CD ＝ 3×6 10 ＝1.8. 4．如图，AB∥EF∥CD，已知 AB＝20，DC＝80，那么 EF的值是( ) A．10 B．12 C．16 D．18 解析：选 C ∵AB∥EF∥CD， ∴ AE EC ＝ AB DC ＝ 20 80 ＝ 1 4 . ∴ EF AB ＝ EC AC ＝ 4 5 . ∴EF＝4 5 AB＝4 5 ×20＝16. 二、填空题 5．(广东高考)如图，在平行四边形 ABCD中，点 E 在 AB 上且 EB＝2AE，AC 与 DE 交于点 F, 则△CDF的周长 △AEF的周长 ＝________. 解析：由 CD∥AE，得△CDF∽△AEF， 于是 △CDF的周长 △AEF的周长 ＝ CD AE ＝ AB AE ＝3. 答案：3 6．如图，在△ABC中有一个矩形 EFGH，其顶点 E，F分别在 AC，AB上，G，H 在 BC上，若 EF＝2FG，BC＝20，△ABC的高 AD＝10，则 FG＝________. 解析：设 FG＝x，因为 EF＝2FG，所以 EF＝2x. 因为 EF∥BC，所以△AFE∽△ABC， 所以 AM AD ＝ EF BC ，即 10－x 10 ＝ 2x 20 ， 解得 x＝5，即 FG＝5. 答案：5 7．如图所示，在矩形 ABCD中，AE⊥BD于 E，S 矩形 ABCD＝40 cm2.S△ABE∶S△DBA＝1∶ 5，则 AE的长为________． 解析：因为∠BAD＝90°，AE⊥BD， 所以△ABE∽△DBA. 所以 S△ABE∶S△DBA＝AB2∶DB2. 因为 S△ABE∶S△DBA＝1∶5， 所以 AB∶DB＝1∶ 5. 设 AB＝k cm，DB＝ 5k cm， 则 AD＝2k cm. 因为 S 矩形ABCD＝40 cm2， 所以 k·2k＝40，所以 k＝2 5(cm)． 所以 BD＝ 5k＝10 (cm)，AD＝4 5(cm)． 又因为 S△ABD＝ 1 2 BD·AE＝20， 所以 1 2 ·10·AE＝20. 所以 AE＝4(cm)． 答案：4 cm 三、解答题 8．如图，已知△ABC中，∠A＝90°，AB＝AC，D为 AB的中点， E是 AC上的点，BE，CD交于点M.若 AC＝3AE，求∠EMC的度数． 解：如图，作 EF⊥BC于点 F， 设 AB＝AC＝3， 则 AD＝3 2 ，BC＝3 2， CE＝2，EF＝FC＝ 2. ∴BF＝BC－FC＝2 2. ∴EF∶BF＝ 2∶2 2＝1∶2＝AD∶AC. ∴△FEB∽△ADC，∴∠2＝∠1. ∵∠EMC＝∠2＋∠MCB， ∴∠EMC＝∠1＋∠MCB＝∠ACB＝45°. 9.如图，▱ABCD 中，E是 CD 的延长线上一点，BE 与 AD 交于点 F，DE＝1 2 CD. (1)求证：△ABF∽△CEB； (2)若△DEF的面积为 2，求▱ABCD的面积． 解：(1)证明：∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴∠A＝∠C，AB∥CD. ∴∠ABF＝∠E. ∴△ABF∽△CEB. (2)∵四边形 ABCD是平行四边形， ∴AD∥BC，AB∥CD. ∴△DEF∽△CEB，△DEF∽△ABF. ∵DE＝1 2 CD， ∴ S△DEF S△CEB ＝ DE EC 2＝ 1 9 ， S△DEF S△ABF ＝ DE AB 2＝ 1 4 . ∵S△DEF＝2， ∴S△CEB＝18，S△ABF＝8， ∴S 四边形BCDF＝S△CEB－S△DEF＝16. ∴S▱ABCD＝S 四边形BCDF＋S△ABF＝16＋8＝24. 10．如图所示，甲、乙、丙三位同学欲测量旗杆 AB的高度，甲在 操场上 C处直立 3 m 高的竹竿 CD，乙从 C处退到 E处恰好看到竹竿 顶端 D 与旗杆顶端 B 重合，量得 CE＝3 m，乙的眼睛到地面的距离 FE＝1.5 m；丙在 C1处也直立 3 m 高的竹竿 C1D1，乙从 E处退后 6 m 到 E1处，恰好看到 竹竿顶端 D1与旗杆顶端 B 也重合，量得 C1E1＝4 m，求旗 杆 AB 的 高． 解：设 F1F与 AB，CD，C1D1分别交于点 G，M，N， GB＝x m，GM＝y m. 因为MD∥GB， 所以∠BGF＝∠DMF，∠GBF＝∠MDF， 所以△BGF∽△DMF， 所以 MD GB ＝ MF GF . 又因为MD＝CD－CM＝CD－EF＝1.5 (m)， 所以 1.5 x ＝ 3 3＋y .① 又因为 ND1∥GB，同理可证得△BGF1∽△D1NF1， 所以 ND1 GB ＝ NF1 GF1 ， 即 1.5 x ＝ 4 y＋3＋6 .② 解方程①②组成的方程组，得 x＝9， y＝15. 又 AB＝GB＋GA＝9＋1.5＝10.5(m)， 即旗杆 AB的高为 10.5 m.