南安一中 2016～2017 学年度上学期第二次阶段考 高二数学（理科）试卷 10页

南安一中 2016～2017 学年度上学期第二次阶段考 高二数学（理科）试卷 本试卷考试内容为：常用逻辑用语，圆锥曲线，导数．分第 I 卷（选择题）和第 II 卷，共 4 页，满 分１５０分，考试时间１２０分钟． 注意事项： 1．答题前，考生务必先将自己的姓名、准考证号填写在答题纸上． 2．考生作答时，请将答案答在答题纸上，在本试卷上答题无效．按照题号在各题的答题区域内 作答，超出答题区域书写的答案无效． 3．答案使用 0．5 毫米的黑色中性（签字）笔或碳素笔书写，字体工整、笔迹清楚（选择题答 案使用 2B 铅笔填涂，如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其它答案标号）． 4．保持答题纸纸面清洁，不破损．考试结束后，将本试卷自行保存，答题纸交回． 第 I 卷（选择题 共 60 分） 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分．在每小题给出的四个选项中，只有一项 是符合题目要求的．） （1）“函数   0y f x 在x 处有极值”是“  0 0f x  ”的 (A)充分不必要条件 (B)必要不充分条件 (C)充要条件 (D)既 不充分也不必要条件 （2）已知 ( 1,0,2 ), (6,0,2), ,    a b a b 则  的值为 (A) 1 5 (B)5 (C) 1 5  (D) 5 （3）函数   2 lnf x x x  的单调递减区间为 (A) 1, 2     (B) 1 ,2     (C) 10, 2      (D) 0, （4）设 e 是椭圆 2 2 14 x y k   的离心率，且 1 ,12e     ，则实数 k 的取值范围是 (A) 0,3 (B) 163, 3      (C)  0,2 (D)   160,3 ,3      （5）设 , ,a b c 是非零向量，已知命题 : , ,p   若 则a b b c a c ； 命题 : 0, 0, 0q      若 则a b b c a c ，则下列命题中真命题是 (A) p q (B) p q (C)    p q   (D)  p q  （6）已知函数 的图像如图所示， 的导函数，则下列数值排序正确的 （A）        0 ' 2 ' 3 3 2f f f f    （B）        0 ' 3 ' 2 3 2f f f f    （C）        0 ' 3 3 2 ' 2f f f f    （D）        0 3 2 ' 3 ' 2f f f f    （7）方程  2 2 3 4 22 5 x yx y     表示的曲线为 (A) 抛物线 (B) 椭圆 (C) 双曲线 (D)直线 （8）如图，在直三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， 190 , 2, 1ACB AA AC BC     则异面直线 1A B 与 AC 所成角的余弦值是 (A) 6 6 (B) 6 5 (C) 6 4 (D) 6 3 （9）在平行六面体 ABCD A B C D    中，若 2 3AC xAB yBC zCC       ， 则 x y z  等于 (A) 2 3 (B) 5 6 (C) 7 6 (D) 11 6 (10) 已知双曲线 C 的离心率为 2，焦点为 1F 、 2F ，点 A 在 C 上，若 1 22F A F A ，则 2 1cos AF F  （A） 1 4 （B） 1 3 （C） 2 4 （D） 2 3 (11) 若函数   1lnf x a x x   在区间 1 ,2     上单调递增，则实数 a 的取值范围是 (A) , 2  (B)  , 1  (C) 1, (D)  2, (12) 直线 l 过抛物线 2 2 ( 0)y px p  的焦点，且交抛物线于 ,A B 两点，交其准线于 C 点, 已知| | 4AF  ， 3CB BF  ，则 p  （A） 4 3 （B） 8 3 （C） 2 （D） 4 第Ⅱ卷 非选择题（共 90 分） 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．） (13) 已知 ( 3, 1,0), ( ,0,1), , 60 ,k k   的夹角为 则a b a b ． (14)曲线 2xy e  在  0,3P 处的切线方程是 ． (15) 已知椭圆 2 2 2 1(0 2)4 x y bb     ，左右焦点分别为 1F ， 2F ，过 1F 的直线 l 交椭圆于 A，B 两点， 若 2 2| | | |BF AF 的最大值为 6 ，则 b 的值是 ． (16) 设动点 P 在棱长为1的正方体 1 1 1 1ABCD A B C D 的对角线 1BD 上，记 1 1 D P D B ＝  .当 APC 为钝角时，  的取值范围是________． 三、解答题（本部分共计 6 小题，满分 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请 在指定区域内作答，否则该题计为零分．） （17）（本小题满分 10 分） 设函数    2ln 0f x a x bx x   ，若函数  y f x 在 1x  处与直线 1y   相切． (Ⅰ) 求实数 ,a b 的值； (Ⅱ) 求函数  y f x 在 1 ,ee      上的最大值． （18）（本小题满分 12 分） 在平面直角坐标系 xoy 中，已知点  0,1 , : 1,F l y  直线 P 为平面上的动点，且过点 P 作 l直线 的垂线，垂足为Q ，满足： .QP QF FP FQ      (Ⅰ)求动点 P 的轨迹C 的方程； (Ⅱ)在轨迹C 上求一点 M ，使得 M 到直线 3y x  的距离最短，并求出最短距离. （19）（本小题满分 12 分） 如 图 ， 在 三 棱 锥 P ABC－ 中 ， PA PB AB 2 BC 3 ABC 90 ＝ ＝ ＝ ， ＝ ， ＝ ， PAB ABC D E AB AC平面 平面 ， 、 分别为 、 中点 ． （Ⅰ）求证： AB PE ；（Ⅱ）求二面角 A PB E－ － 的大小． （20）（本小题满分 12 分） 已知椭圆 2 2: 14 xE y  的左右顶点分别为 ,A B ，点 P 为椭圆上异于 ,A B 的任意一点． （Ⅰ）求直线 PA与PB 的斜率之积； （Ⅱ）过点  1,0Q  作与 x 轴不重合的直线交椭圆 E 于 ,M N 两点．问：是否存在以 MN 为直径的 圆经过点 A ，若存在，请求出直线 MN ．若不存在，请说明理由. （21）（本小题满分 12 分） 如图，在三棱柱 1 1 1ABC A B C 中， AB BC ， 1AB  平面 ABC ，且 1 2  AB BC AB . （Ⅰ）证明：平面 1 1C CBB  平面 1 1A ABB （Ⅱ）若点 P 为 1 1AC 的中点，求直线 BP 与平面 1 1A ACC 所成角的正弦值. （22）（本小题满分 12 分） 已知椭圆   2 2 1 2: 1 06 x yC bb    的左、右焦点分别为 1 2F F、 ，点 2F 也为抛物线 2 2 : 8C y x 的 焦点，过点 2F 的直线l 交抛物线 2C 于 ,A B 两点． P A B C ED （Ⅰ）若点  8,0P 满足 PA PB ，求直线l 的方程； （Ⅱ）T 为直线 3x   上任意一点，过点 1F 作 1TF 的垂线交椭圆 1C 于 ,M N 两点，求 1TF MN 的最小 值． 南安一中 2016～2017 学年度上学期第二次阶段考 高二数学（理科）试卷参考答案 一、选择题（本大题共 12 小题，每小题 5 分，满分 60 分． 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 A A C D B C A A D A D B 二、填空题（本大题共 4 小题，每小题 5 分，满分 20 分．） (13) 2 2 ； (14) 3 0x y   ； (15) 2 ； (16) 1 ,13      . 16. 【解析】以 DA  、 DC  、 1DD  为单位正交基底，建立如图所示 的空间直角坐标系 D－xyz，则有 1(1,0,0), (1,1,0), (0,1,0), (0,0,1)A B C D ， 则 1 (1,1, 1)D B   ，得 1D P  ＝  1D B   , ,    ， 所以 PA  ＝ 1PD  ＋ 1D A       , , 1,0, 1 1 , , 1              ， PC  ＝ 1PD  ＋ 1DC       , , 0,1, 1 ,1 , 1              ， 显然 APC 不是平角，所以 APC 为钝角等价于 PA  · PC  0 ， 即      2 11 1 1 0, : 13              解得 ，因此  的取值范围是 1 ,13      ． 三、解答题（本部分共计 6 小题，满分 70 分．解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤，请 在指定区域内作答，否则该题计为零分．） （17）解：(Ⅰ)  ' 2af x bxx   ………1分, 函数  y f x 在 1x  处与直线 1y   相切．     ' 1 2 0, 1 1, f a b f b        ………3 分, 解得： 2, 1a b  ……… 4 分, (Ⅱ)由(Ⅰ)得，      2 2 2 122ln , ' 2 x f x x x f x xx x       。 令   0, 0, 1f x x x    ………5 分, 当      1 ,1 , ' 0, 1, , ' 0x f x x e f xe        ， 1x  为函数  y f x 的极大值点， ……8 分, 又   2 1 11 1, 2 1f f e e           ，   22 1,f e e       max 1 1f x f      ……10 分 （18）解：(Ⅰ)设          , , , 1 , 0,1 , 0, 1 , ,2P x y Q x F QP y QF x      则 ，    , 1 , , 2FP x y FQ x     ，…………4 分， .QP QF FP FQ      ，    2 22 1 2 1 , 4y x y x y     化简得： ， 所求轨迹为： 2 4x y ………6 分 (Ⅱ)法一：设 2 0 0 , 4 xM x      ，则 3M y x 到直线 的距离为   2 0 20 0 3 2 84 2 4 2 xx xd      0 min2 d 2x  时， ，此时  2,1M 为所求. ……12 分 法二：当与直线 3y x  平行，且与曲线相切时的切点与与直线 3y x  的距离最短. 设该直线方程为 y x m  ，…… 7 分 2 2 , 4 4 0, 16 16 0 4 , y x m x x m m x y            ，解得： 1,m    2, 2,1x M  到直线 3y x  的距离最短，最短距离为 2 .……12 分 法三：当与直线 3y x  平行，且与曲线相切时的切点与与直线 3y x  的距离最短. 设切点为 2 0 0 , 4 xM x      ，轨迹方程可化为： 2 , '4 2 x xy y  ，切线斜率为 0 01, 22 x x   ， 以下方法同法二. （19）（Ⅰ）连结 PD ， PA PB AB ， D是 的中点， PD AB  ………1分, ∵ D E AB AC、 分别为 、 中点，∴ DE BC ．又 ABC 90 ＝ ，即 BC AB ∴ DE AB ，又 PD DE D ，∴ AB PDE 平面 ， PE PDE 平面 ， ∴ AB PE ． ……… 5 分 （Ⅱ） PAB ABC平面 平面 ， PAB ABC AB平面 平面 ， PD AB ∴ PD ABC 平面 ，……… 6 分 如图，以 D 为原点建立空间直角坐标系，  B 1,0,0 P(0,0, )3， ， ∴ 3 2E(0, ,0) ,  1,0, 3PB   ， 30, , 32PE       ． 设平面 PBE 的法向量 1 ( )x y z ， ，n ， 3 0, 3 3 0,2 x z y z      ，令 3z  得 1 (3 2 3) ，，n ．………9分 DE⊥平面 PAB，平面 PAB 的法向量为 2 (010) ，，n ．………10分 设二面角的 A－PB－E 大小为 ，由图知， 1 2 1 2 1 2 1cos cos 2    ， n n= n n = =n n ， 60 = ， 二面角的 A－PB－E 的大小为 60．……12 分 （20）解：（Ⅰ）由椭圆方程可知       2 2 0 0 0 02,0 , 2,0 , , , 1 4 xA B P x y y  设 则 ， …2 分 2 02 0 0 0 2 2 0 0 0 0 1 14 2 2 4 4 4PA PB x y y yk k x x x x           ……4 分 （Ⅱ）设直线 MN 方程为： 1x ty  ， ……5 分 联立  2 22 2 1, 4 2 3 0, 1,4 x ty t y tyx y          …………7 分 设交点    1 1 2 2M x ,y ,N x ,y ，则 1 2 1 22 2 2 3,4 4 ty y y yt t     …………9 分 若存在以 MN 为直径的圆经过点 A ，则    1 1 2 22, 2,AM AN x y x y                 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 2 1 22 2 1 1 1 1x x y y ty ty y y t y y t y y              P A B C ED x y z  2 2 2 2 2 3 1 2 11 04 4 4 t t t t t          ， 该方程无解，不存在以 MN 为直径的圆经过点 A ………12 分 （21）（Ⅰ）证明： 1 ABCB A  平面 ， 1 BCB A  ………1分, 又  AB BC ， AB BC=B ， 1 1BC A ABB  平面 ，………3 分, 又 BC  平面 1 1C CBB ，平面 1 1C CBB  平面 1 1A ABB …………4 分 （Ⅱ）过 B 点作 BM ABC 平面 ，则 BM BA BM BC ， ，分别以 BC BA BM   ， ， 为 , ,x y z 轴的 非负向量建立空间直角坐标系 B xyz ， …………5 分， 则 (0,0,0)B ， (2,0,0), (0,2,0)C A ，  1 0,2,2B ， 1 1 1 (0,2,2)      AA BB CC ， 1 1(0,4,2), (2,2,2), A C (1,3,2)P (2, 2,0), (1,3,2)AC BP     ， …………8 分， 设 ( , , )n x y z 为平面 1 1A ACC 的一个法向量， 则 1 0 0 nAC nAA      即 2 2 0 2 2 0 x y y z      ，取 1x  可得 (1,1, 1)n   …………10分， 故直线 BP 与平面 1 1A ACC 所成角的正弦值为 1 3 2 42cos , 2114 3         n BP . ……12 分 （22）解：（Ⅰ）由抛物线得方程  2 2,0F ， ………1分, 当直线l 斜率不存在，即 : 2l x  时，满足题意． ………2 分, 当直线l 斜率存在，设       1 1 2 2: 2 0 , , , ,l y k x k A x y B x y   ， 联立     2 2 2 2 2 2 1 2 1 22 8 , 4 8 84 8 4 0, , 2 , y x kk x k x k x x y yk ky k x                ……4 分, 设 AB 的 中 点 为 G ， 则 2 2 2 4 4,kG k k      ， PA PB ， , 1PGPG l k k    ， 2 2 4 0 1, 22 4 8 k k kk k         ，直线l ：  2 2y x   或 : 2l x  ………6 分, （Ⅱ）∵  2 2,0F   2 2 2 1 12,0 , 2, : 16 2 x yF b C     ，设 T 点的坐标为 3,m ，………7 分, 则 1TFk m  ，∴可设直线 : 2MN x my  ．    3 3 4 4, , ,M x y N x y ，则 2 2 16 2 2 x y x my       ， 得 2 2 1 2 1 22 2 4 23 4 2 0, ,3 3 mm y my y y y ym m         ，………10 分 2 1 1TF m  ，  2 1 2 2 2 24 1 1 4 3, 1 43 24 1 3 m TFMN mm MN m            ， 当且仅当 2 2 41 1m m    ，即 1m   时， 1TF MN 取得最小值 3 3 .