山东省青岛市2019-2020高二数学下学期期中试题（Word版附解析） 20页

高二数学试题 一．单择题（本大题共8个小题，每小题5分，满分40分．在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的．）‎ ‎1.已知复数满足(为虚数单位)，则（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ 分析】‎ 根据复数除法运算法则，求出，即可得出结论.‎ ‎【详解】.‎ 故选：B.‎ 点睛】本题考查复数代数运算和共轭复数，属于基础题.‎ ‎2.在正方体中，点是的中点，且，则实数的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 化简得到，得到，，得到答案.‎ ‎【详解】，‎ 故，，.‎ 故选：.‎ ‎【点睛】本题考查了空间向量的运算，意在考查学生的计算能力和空间想象能力.‎ ‎3.函数的最大值是( )‎ A. 1 B. C. 0 D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导函数,求出函数的单调区间，得到函数在处取得最大值.‎ ‎【详解】，令解得 ‎ 在上单增，在单减 故选：A ‎【点睛】解决函数极值、最值问题的策略 ‎(1)求极值、最值时，要求步骤规范，含参数时，要讨论参数的大小．‎ ‎(2)函数在给定闭区间上存在极值，一般要将极值与端点值进行比较才能确定最值．‎ ‎4.抛掷甲、乙两颗骰子，若事件A：“甲骰子的点数大于‎4”‎；事件B：“甲、乙两骰子的点数之和等于‎7”‎，则的值等于（ ）‎ A B. C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ 本小题属于条件概率所以事件B包含两类：甲5乙2;甲6乙1;所以所求事件的概率为 ‎5.已知函数的部分图象如图，则的解析式可能是（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】C ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 首先通过函数的定义域排除选项A，再通过函数的奇偶性排除选项D,再通过函数的单调性排除选出B，确定答案.‎ ‎【详解】由图象可知，函数的定义域为R，而函数的定义域不是R,所以选项A不符合题意；‎ 由图象可知函数是一个奇函数，选项D中，存在实数，‎ 使得，所以函数不奇函数，所以选项D不符合题意；‎ 由图象可知函数是增函数，选项B，，所以函数是一个非单调函数，所以选项C不符合题意；‎ 由图象可知函数是增函数，选项C，，所以函数是增函数，所以选项C符合题意.‎ 故选：C ‎【点睛】本题主要考查函数的图象和性质，考查利用导数研究函数的单调性，意在考查学生对这些知识的理解掌握水平.‎ ‎6.已知下表所示数据的回归直线方程为y，则实数a的值为 x ‎2‎ ‎3‎ ‎4‎ ‎5‎ ‎6‎ y ‎3‎ ‎7‎ ‎11‎ a ‎21‎ A. 16 B. 18‎ C. 20 D. 22‎ ‎【答案】B ‎【解析】‎ ‎【详解】，代入回归直线方程得，所以，则，故选择B.‎ ‎7.已知函数的图象在点处的切线的斜率为3，数列的前项和为，则的值为（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】A ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由，求导得到，再根据函数的图象在点处的切线的斜率为3，由求解，从而得到，则，再利用裂项相消法求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 因为函数的图象在点处的切线的斜率为3，‎ 所以，‎ 解得，‎ 所以，‎ 数列，‎ 所以，‎ ‎.‎ 故选：A ‎【点睛】本题主要考查导数的几何意义以及数列的裂项法求和，还考查了运算求解的能力，属于中档题.‎ ‎8.如图是一块高尔顿板示意图：在一块木板上钉着若干排互相平行但相互错开的圆柱形小木块，小木块之间留有适当的空隙作为通道，小球从上方的通道口落下后，将与层层小木块碰 撞，最后掉入下方的某一个球槽内.若小球下落过程中向左、向右落下的机会均等，则小球最终落入③号球槽的概率为（ ）‎ ‎ ‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】D ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 小球落下要经过5次碰撞，每次向左、向右落下的概率均为，并且相互对立，最终落入③号球槽两次向右，三次向左，根据独立重复事件发生的概率公式，即可求解.‎ ‎【详解】设这个球落入③号球槽为事件，‎ 落入③号球槽两次向右，三次向左，，‎ 所以.‎ 故选：D.‎ ‎【点睛】本题考查独立重复试验概率求法，将实际应用问题转化为概率模型是解题的关键，属于基础题.‎ 二、多选题：本题共4小题，每小题5分，共20分，在每小题给出的四个选项中，有多项符合题目要求，全部选对得5分，部分选对得3分，有选错的得0分 ‎9.下列说法正确的是（ ）‎ A. 将一组数据中的每个数据都乘以同一个非零常数后，方差也变为原来的倍 B. 设有一个回归方程，变量增加个单位时，平均减少个单位 C. 线性相关系数越大，两个变量的线性相关性越强；反之，线性相关性越弱 D. 在某项测量中，测量结果服从正态分布，则 ‎【答案】BD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 对A，将一组数据中的毎个数据都乘以同一个非零常数后，标准差变为原来的倍；对B，根据回归直线的意义；对C，线性相关系数越大，两变量的线性相关性越强；对D，服从正态分布；对D，根据正态分布曲线关于对称.‎ ‎【详解】对A，将一组数据中的毎个数据都乘以同一个非零常数后，利用公式标准差变为原来的倍，故A错误；‎ 对B，设有一个回归方程，变量增加1个单位时，平均减少5个单位，故B正确；‎ 对C，线性相关系数的绝对值越大，两个变量的线性相关性越强；线性相关系数越接近于0，两个变量的线性相关性越弱，故C错误；‎ 对D，服从正态分布，，则位于区域内的概率为0.5，故D正确；‎ 故选：BD.‎ ‎【点睛】本题考查标准差，线性回归方程，相关系数，正态分布等，考查对概念的理解与应用.‎ ‎10.在正方形中，，分别为棱和棱的中点，则下列说法正确的是( )‎ A. ∥平面 B. 平面截正方体所得截面为等腰梯形 C. 平面 D. 异面直线与所成的角为60°‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 由∥及线面平行的判定定理知选项A正确；因∥，知平面截正方体所得截面为，故B正确；利用反证法可判断C不正确；因∥‎ ‎，可得异面直线与所成的角为即可判断选项D正确.‎ ‎【详解】‎ 如图，因为，分别为棱和棱的中点，所以∥，又平面，‎ 平面，由线面平行的判定定理，知∥平面，故A正确；由∥‎ ‎，知平面截正方体所得截面为，是等腰梯形，故B正确；若平面 ‎，则，又，，所以平面，而 平面，这与垂直于同一平面的两条直线平行矛盾，故C不正确；异面直线与 所成的角为，而为等边三角形，故D正确.‎ 故选：ABD ‎【点睛】本题考查线面平行的判断、异面直线所成的角、平面的截面问题、线面垂直的判断，考查学生空间想象和逻辑推理能力，是一道中档题.‎ ‎11.若则（ ）‎ A. B. ‎ C. D. ‎ ‎【答案】ABD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ A.利用通项公式求第三项的系数即可.B.根据，令求解.C.先令，得，再令求解.D.令求解.‎ ‎【详解】因为，‎ 所以，‎ 所以，故A正确.‎ 因为，‎ 令，得，故B正确.‎ 令，得，令得：，‎ 所以，故C错误.‎ 令，得，‎ 所以，故D正确.‎ 故选：ABD ‎【点睛】本题主要考查二项式的通项，二项式系数的和，还考查了赋值法的应用，属于中档题.‎ ‎12.已知为自然对数的底数，则下列不等式一定成立的是（ ）‎ A. B. C. D. ‎ ‎【答案】ACD ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 采用逐一验证的方法，通过构造函数，，，，根据这些函数在的单调性可得结果.‎ ‎【详解】设，，则在上恒成立，故函数单调递增，‎ 故，即，A正确；‎ 设，，则，函数在上单调递增，在上单调递减，故当时，，即，故，B错误；‎ 设，，则在上恒成立，故函数单调递增，，即，C正确；‎ 设，，则在上恒成立，故函数单调递增，‎ 故，即，故，D正确.‎ 故选：ACD.‎ ‎【点睛】本题考查了根据函数单调性判断函数值大小关系，构造函数是解题的关键.‎ 三．填空题（本大题共4个小题，每小题5分，满分20分）‎ ‎13.在某市举行的数学竞赛中，A，B，C三所学校分别有1名、2名、3名同学获一等奖，将这6名同学排成一排合影，若要求同校的同学相邻，有____种不同的排法．（用数字作答）‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 利用捆绑法将每个学校的同学看成一个整体，计算得到答案.‎ ‎【详解】利用捆绑法将每个学校的同学看成一个整体，则共有种排法.‎ 故答案为：.‎ ‎【点睛】本题考查了排列的应用，意在考查学生的理解能力和应用能力.‎ ‎14.设的展开式中的系数为，二项式系数为，则的值为_______.‎ ‎【答案】4‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 列出展开式的通项公式，可知当时，为的项，从而可确定二项式系数和系数，作比得到结果.‎ ‎【详解】展开式通项公式为：‎ 当，即时，‎ ‎， ‎ ‎【点睛】本题考查二项式定理中求解指定项的系数、二项式系数的问题，属于基础题.‎ ‎15.《易经》是中国传统文化中的精髓，如图是易经八卦（含乾、坤、巽、震、坎、离、艮、兑八卦），每一卦由三根线组成（""表示一根阳线，""表示一根阴线），从八卦中任取两卦，这两卦的六根线中恰有两根阳线，四根阴线的概率为_______.‎ ‎【答案】‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 观察八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线或全为阴线各一个，还有6个是1阴2阳和1阳2阴各3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。‎ ‎【详解】八卦中阴线和阳线的情况为3线全为阳线的一个，全为阴线的一个，1阴2阳的3个，1阳2阴的3个。抽取的两卦中共2阳4阴的所有可能情况是一卦全阴、另一卦2阳1阴，或两卦全是1阳2阴。‎ ‎∴从8个卦中任取2卦，共有种可能，两卦中共2阳4阴的情况有，所求概率为。‎ 故答案为：。‎ ‎【点睛】本题考查古典概型，解题关键是确定基本事件的个数。本题不能受八卦影响，我们关心的是八卦中阴线和阳线的条数，这样才能正确地确定基本事件的个数。‎ ‎16.对于三次函数，定义：设是函数的导数的导数，若方程有实数解，则称点为函数的“拐点”．有同学发现“任何一个三次函数都有拐点，任何一个三次函数都有对称中心；且拐点就是对称中心．”请你将这一发现为条件，解答问题：若已知函数，则的对称中心为_________；计算=_____________．‎ ‎【答案】 (1). (2). ‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ 求导得到，故得到对称中心，故，计算得到答案.‎ ‎【详解】，则，，则.‎ ‎，故的对称中心为.‎ 故，则 ‎.‎ 故答案为：；.‎ ‎【点睛】本题考查了求函数的导数，新定义问题，利用函数的对称性求值，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ 四．解答题（本大题共6个小题，满分70分．解答应写出必要的文字说明、证明过程及演算步骤．）‎ ‎17.在等差数列中，，‎ ‎（1）求数列的通项公式；‎ ‎（2）现从的前10项中随机取数， ，求取出的三个数中恰好有两个正数和一个负数的概率．‎ 从下面两个条件中任选一个将题目补充完整，并解答．‎ 条件①：若每次取出一个数，取后放回，连续取数3次，假设每次取数互不影响 条件②：若从10个数中一次取出三个数 ‎【答案】（1）；（2）若选择条件①，，若选择条件②，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接利用等差数列公式计算得到答案.‎ ‎（2）若选择条件①，；若选择条件②，，计算得到答案.‎ ‎【详解】（1），，故，，故.‎ ‎（2）若选择条件①：的前10项为.‎ 则.‎ 若选择条件②：的前10项为.‎ 则.‎ ‎【点睛】本题考查了等差数列通项公式，概率计算，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎18.在如图所示的几何体中，，平面，，，，.‎ ‎（1）证明：平面；‎ ‎（2）求平面与平面所成二面角的正弦值.‎ ‎【答案】(1)证明见解析；(2).‎ ‎【解析】‎ 分析：(1)在中，由勾股定理可得.又平面，据此可得.利用线面垂直的判断定理可得平面.‎ ‎(2)(方法一)延长，相交于，连接，由题意可知二面角就是平面与平面所成二面角.取的中点为，则就是二面角的平面角.结合几何关系计算可得.‎ ‎(方法二)建立空间直角坐标系，计算可得平面的法向量.取平面的法向量为.利用空间向量计算可得.‎ 详解：(1)在中，.‎ 所以，所以为直角三角形，.‎ 又因为平面，所以.‎ 而，所以平面.‎ ‎(2)(方法一)如图延长，相交于，连接，‎ 则平面平面.‎ 二面角就是平面与平面所成二面角.‎ 因为，所以是的中位线.‎ ‎，这样是等边三角形.‎ 取的中点为，连接，因为平面.‎ 所以就是二面角的平面角.‎ 在，所以.‎ ‎(方法二)建立如图所示的空间直角坐标系，可得.‎ ‎.‎ 设是平面的法向量，则 令得.‎ 取平面的法向量为.‎ 设平面与平面所成二面角的平面角为，‎ 则，从而.‎ 点睛：本题主要考查空间向量的应用，二面角的定义，线面垂直的判断定理等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.‎ ‎19.已知（为实数）．‎ ‎（1）当，时，求在上的最小值；‎ ‎（2）当时，若在R上单调递增，求的取值范围．‎ ‎【答案】（1）；（2）‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）求导得到，得到函数单调区间，得到，计算得到答案.‎ ‎（2）求导得到恒成立，设，，则，解得答案.‎ ‎【详解】（1），‎ 则，‎ 当时，即时，函数单调递减，‎ 当，即时，函数单调递增，故.‎ ‎（2），故恒成立，‎ 即，设，，‎ 故在上恒成立，故，‎ 解得.‎ ‎【点睛】本题考查了函数的最值，根据函数的单调性求参数，意在考查学生的计算能力和综合应用能力.‎ ‎20.在某次投篮测试中，有两种投篮方案：方案甲：先在A点投篮一次，以后都在B点投篮；方案乙：始终在B点投篮.每次投篮之间相互独立.某选手在A点命中的概率为 ‎，命中一次记3分，没有命中得0分；在B点命中的概率为，命中一次记2分，没有命中得0分，用随机变量表示该选手一次投篮测试的累计得分，如果的值不低于3分，则认为其通过测试并停止投篮，否则继续投篮，但一次测试最多投篮3次.‎ ‎（1）若该选手选择方案甲，求测试结束后所得分的分布列和数学期望.‎ ‎（2）试问该选手选择哪种方案通过测试的可能性较大？请说明理由.‎ ‎【答案】（1）数学期望为3.05，分布列见解析（2）选择方案甲 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）在A点投篮命中记作,不中记作；在B点投篮命中记作,不中记作，其中，的所有可能取值为，即可求出 ‎， ， ， ． ，进而求出的数学期望． ‎ ‎（2）分别求出选手选择方案甲通过测试的概率为，和选手选择方案乙通过测试的概率为 ，比较大小，即可求出结果．‎ ‎【详解】（1）在A点投篮命中记作,不中记作；在B点投篮命中记作,不中记作，‎ 其中， ‎ 的所有可能取值为，则 ‎， ‎ ‎ ， ‎ ‎， ‎ ‎． ‎ 的分布列为： ，，，．‎ 所以， ‎ 所以，的数学期望为． ‎ ‎（2）选手选择方案甲通过测试的概率为，‎ 选手选择方案乙通过测试的概率为 ‎ ， ‎ 因为，所以该选手应选择方案甲通过测试的概率更大．‎ ‎【点睛】本题考查离散型随机变量的分布列和数学期望的求法和应用，解题时要认真审题，注意挖掘题设中的隐含条件，合理地进行等价转化．‎ ‎21.推进垃圾分类处理，是落实绿色发展理念的必然选择，也是打赢污染防治攻坚战的重要环节．为了解居民对垃圾分类的了解程度某社区居委会随机抽取1000名社区居民参与问卷测试，并将问卷得分绘制频率分布表如表：‎ 得分 ‎[30，40）‎ ‎[40，50）‎ ‎[50，60）‎ ‎[60，70）‎ ‎[70，80）‎ ‎[80，90）‎ ‎[90，100]‎ 男性人数 ‎40‎ ‎90‎ ‎120‎ ‎130‎ ‎110‎ ‎60‎ ‎30‎ 女性人数 ‎20‎ ‎50‎ ‎80‎ ‎110‎ ‎100‎ ‎40‎ ‎20‎ ‎（1）从该社区随机抽取一名居民参与问卷测试试估计其得分不低于60分的概率：‎ ‎（2）将居民对垃圾分类的了解程度分为“比较了解”（得分不低于60分）和“不太了解”（得分低于60）两类，完成2×2列联表，并判断是否有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关？‎ 不太了解 比较了解 合计 男性 女性 合计 ‎（3）从参与问卷测试且得分不低于80分的居民中，按照性别进行分层抽样，共抽取10人，‎ 现从这10人中随机抽取3人作为环保宣传队长，设3人中男性队长的人数为，求的分布列和期望．‎ 附：．‎ 临界值表：‎ ‎0.15‎ ‎0.10‎ ‎0.05‎ ‎0.025‎ ‎0.010‎ ‎0.005‎ ‎2.072‎ ‎2.706‎ ‎3.841‎ ‎5.024‎ ‎6.635‎ ‎7.879‎ ‎【答案】（1）；（2）列联表见解析，有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关；（3）分布列见解析，‎ ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）直接根据频率分布表得到答案.‎ ‎（2）根据频率分布表得到列联表，计算得到答案.‎ ‎（3）的可能取值为，计算概率得到分布列，计算数学期望得到答案.‎ ‎【详解】（1）根据频率分布表：.‎ ‎（2）根据频率分布表得到列联表：‎ 故，‎ 故有95%的把握认为“居民对垃圾分类的了解程度”与“性别”有关.‎ 不太了解 比较了解 合计 男性 ‎250‎ ‎330‎ ‎580‎ 女性 ‎150‎ ‎270‎ ‎420‎ 合计 ‎400‎ ‎600‎ ‎1000‎ ‎（3）不低于80分的居民的样本中，男性有90人，女性有60人，‎ 故抽取男性人，抽取女性人，‎ 故的可能取值为，‎ ‎；；；‎ ‎.‎ 故分布列为：‎ 故.‎ ‎【点睛】本题考查了概率的计算，独立性检验，分布列和数学期望，意在考查学生的计算能力和应用能力.‎ ‎22.已知函数 ‎（1）若在上恒成立，求的取值范围；‎ ‎（2）设，当时，若，求零点的个数．‎ ‎【答案】（1）；（2）函数有两个零点 ‎【解析】‎ ‎【分析】‎ ‎（1）变换得到，设，求导得到函数单调区间，计算最值得到答案.‎ ‎（2）求导得到，得到函数单调区间，得到，且当时，，当时，，得到答案.‎ ‎【详解】（1）在上恒成立，故，设，‎ 则，当时，函数单调递增，当时，函数单调递减，‎ 故，故.‎ ‎（2），则，则，‎ 当时，，，故，函数单调递增；‎ 当时，，，故，函数单调递减.‎ ‎，且当时，；当时，.‎ 根据零点存在定理知：函数在和上各有一个零点，故函数有两个零点.‎ ‎【点睛】本题考查了不等式恒成立问题，函数的零点个数，意在考查学生的计算能力和应用能力，将恒成立问题转化为最值问题是解题的关键.‎