2020-2021学年高中数学新教材人教B版必修第四册教师用书：11 10页

www.ks5u.com 第十一章 　立体几何初步 ‎11．1　空间几何体 ‎11．1.1　空间几何体与斜二测画法 ‎[课程目标] 1.了解空间几何体的表示形式，进一步提高对空间几何体结构特征的认识；2.理解并掌握用斜二测画法画直观图；3.掌握斜二测画法的规则．‎ 知识点一　　空间几何体 ‎[填一填]‎ 如果我们只考虑一个物体占有的空间的形状和大小，而不考虑其他因素，则这个空间部分通常可抽象为一个几何体．‎ ‎[答一答]‎ ‎1．空间几何体的本质是什么？‎ 提示：(1)几何体不仅包括它的外表面，还包括外表面围起的内部部分．‎ ‎(2)数学上的几何体是一个抽象的概念，研究它的结构特征和构成元素间的逻辑关系等．‎ 知识点二　　　平面图形直观图的斜二测画法 ‎[填一填]‎ ‎(1)立体几何中，用来表示空间图形的平面图形，称为空间图形的直观图．‎ ‎(2)用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图的步骤：‎ ‎①画轴：在已知图形中取互相垂直的x轴和y轴，两轴相交于点O.画直观图时，把它们画成对应的x′轴与y′轴，两轴相交于点O′，且使∠x′O′y′＝45°(或135°)，它们确定的平面表示水平面．‎ ‎②画线：已知图形中平行于x轴或y轴的线段，在直观图中分别画成平行于x′轴或y′轴的线段．‎ ‎③取长度：已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，平行于y轴的线段，长度为原来长度的一半．‎ ‎④成图：连接有关线段，擦去作图过程中的辅助线．‎ ‎[答一答]‎ ‎2．斜二测画法中“斜”和“二测”分别指什么？‎ 提示：“斜”是指在已知图形的xOy平面内与x轴垂直的线段，在直观图中均与x′轴成45°或135°；“二测”是指两种度量形式，即在直观图中，平行于x′轴的线段长度不变；平行于y′轴的线段长度变为原来的一半．‎ ‎3．相等的角或线段在直观图中仍然相等吗？‎ 提示：不一定相等，如正方形的边长和内角分别相等，但是它的直观图是平行四边形，相邻两边边长不相等，相邻两内角也不相等．‎ 知识点三　　空间几何体直观图的画法 ‎[填一填]‎ ‎(1)在立体图形中取水平平面，在其中取互相垂直的x轴与y轴，作出水平平面上图形的直观图(保留x′轴与y′轴)．‎ ‎(2)在立体图形中，过x轴与y轴的交点取z轴，并使z轴垂直于x轴与y轴．过x′轴与y′轴的交点作z轴对应的z′轴，且z′轴垂直于x′轴．‎ 图形中与z轴平行(或重合)的线段画成与z′轴平行(或重合 ‎)的线段，且长度不变．‎ 连接有关线段．‎ ‎(3)擦去有关辅助线，并把被面遮挡住的线段改成虚线(或擦除)．‎ ‎[答一答]‎ ‎4．画直观图时，如何区别实线和虚线？‎ 提示：直观图是一个平面图形，我们用它表示空间图形，为了增强空间感，画图要分实线和虚线，其中被面挡住的部分要画成虚线．看得见的部分要画成实线．‎ ‎5．空间几何体的直观图唯一吗？‎ 提示：不一定唯一．作直观图时，由于选轴不同，所画直观图就不一定相同．‎ ‎1．画水平放置的平面多边形的直观图的关键是确定多边形的顶点位置．顶点位置可以分为两类：一类是在轴上或在与轴平行的线段上，这类顶点比较容易确定；另一类是不在轴上且不在与轴平行的线段上，确定这类顶点一般过此点作与轴平行的直线，将此点转到与轴平行的线段上来．‎ ‎2．要画好对应平面图形的直观图，首先应在原图形中建立平面直角坐标系，尽量利用原有线段或图形的对称轴画坐标轴，图形的对称中心作为坐标原点，让尽可能多的顶点在坐标轴上．‎ 类型一　　水平放置的平面图形直观图的画法 ‎[例1]　画出水平放置的正五边形的直观图．‎ ‎[分析]　‎ 用斜二测画法画水平放置的平面图形的直观图，首先要在平面图形上建立平面直角坐标系，坐标系建立的是否恰当，会直接影响到图形的直观性．一般地，要充分利用图形的特征(如对称性)来建立坐标系．‎ ‎[解]　画法：(1)如图(a)所示，在已知正五边形ABCDE中，取中心O为原点，对称轴FA为y轴，过点O与y轴垂直的直线为x轴，分别过B、E作GB∥y轴，HE∥y轴，与x轴分别交于点G、H.‎ ‎(2)如图(b)所示，以点O′为中点，画对应的轴O′x′，O′y′，使∠x′O′y′＝45°.在x′轴上取G′H′＝GH，分别过点G′、H′在x′轴的上方作G′B′∥y′轴，使G′B′＝GB；作H′E′∥y′轴，使H′E′＝HE；在y′轴的点O′上方取O′A′＝OA，在点O′下方取O′F′＝OF，并且以点F′为中心，作C′D′∥x′轴，且使C′D′＝CD.‎ ‎(3)连接A′B′、B′C′、C′D′、D′E′、E′A′，并加以整理，所得五边形A′B′C′D′E′就是正五边形ABCDE的直观图，如图(c)所示．‎ 用斜二测画法画直观图时，抓住“一斜二测”.一斜指轴成45°或135°，二测指已知图形中平行于x轴的线段，在直观图中保持原长度不变，即横不变；已知图形中平行于y轴的线段，在直观图中长度为原来的一半，即纵减半，在作图时要注意在原图上建立恰当的直角坐标系，以使整个作图变得简便.‎ ‎[变式训练1]　画出如图水平放置的直角梯形的直观图．‎ 解：(1)在已知的直角梯形OBCD中，以底边OB所在直线为x轴，垂直于OB的腰OD所在直线为y轴建立平面直角坐标系．画出相应的x′轴和y′轴，使∠x′O′y′＝45°，如图(1)(2)所示．‎ ‎(2)在x′轴上截取O′B′＝OB，在y′轴上截取O′D′＝OD，过点D′作x轴的平行线l，在l上沿x′轴正方向取点C′使得D′C′＝DC.连接B′C′.如图(2)所示．‎ ‎(3)所得四边形O′B′C′D′就是直角梯形OBCD的直观图，如图(3)所示．‎ 类型二　　空间几何体直观图的画法 ‎[例2]　用斜二测画法画棱长为‎2 cm的正方体ABCDA′B′C′D′的直观图．‎ ‎[解]　画法：(1)画轴．如图(1)，画x轴、y轴、z轴，三轴相交于点O，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°.‎ ‎(2)画底面．以点O为中心，在x轴上取线段MN，使MN＝‎2 cm；在y轴上取线段PQ，使PQ＝‎1 cm.分别过点M和N作y轴的平行线，过点P和Q作x轴的平行线，设它们的交点分别为A，B，C，D，四边形ABCD就是正方体的底面ABCD.‎ ‎(3)画侧棱．过A，B，C，D各点分别作z 轴的平行线，并在这些平行线上分别截取‎2 cm长的线段AA′，BB′，CC′，DD′.‎ ‎(4)成图．顺次连接A′，B′，C′，D′，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，就得到正方体的直观图(如图(2))．‎ 利用斜二测画法画空间图形的直观图应遵循的基本原则：①画空间图形的直观图在要求不太严格的情况下，长度和角度可适当选取．为了增强立体感，被挡住的部分通常用虚线表示．②画法规则可简记为：两轴夹角为45°，竖轴垂直仍不变，平行不变，长度变，横竖不变，纵折半．③画空间几何体的直观图，要注意选取适当的原点，建系画轴．‎ ‎[变式训练2]　画水平放置的圆锥的直观图．‎ 解：画法：(1)画轴：如图，画x轴、y轴、z轴，使∠xOy＝45°，∠xOz＝90°；‎ ‎(2)画圆锥的底面：在x轴上以O为中点取直径AB，过AB画适当椭圆作底面；‎ ‎(3)画圆锥的顶点：在Oz上截取点P，使得PO等于圆锥的高；‎ ‎(4)成图：连接PA、PB，并加以整理(去掉辅助线，将被遮挡的部分改为虚线)，得圆锥的直观图．‎ 类型三　　直观图的还原与计算 ‎[例3]　如图所示，梯形A1B‎1C1D1是一平面图形ABCD的直观图．若A1D1∥O′y′，A1B1∥C1D1，A1B1＝C1D1＝2，A1D1＝O′D1＝1.试画出原四边形的形状，并求出原图形的面积．‎ ‎[解]　如图，建立直角坐标系xOy，在x轴上截取OD＝O′D1＝1，OC＝O′C1＝2.‎ 在过点D的y轴的平行线上截取DA＝2D‎1A1＝2.‎ 在过点A的x轴的平行线上截取AB＝A1B1＝2.‎ 连接BC，即得到了原图形．‎ 由作法可知，原四边形ABCD是直角梯形，上、下底长度分别为AB＝2，CD＝3，直角腰的长度AD＝2，‎ 所以面积S＝×2＝5.‎ ‎1.由直观图还原为平面图的关键是找与x′轴，y′轴平行的直线或线段，且平行于x′轴的线段还原时长度不变，平行于y′轴的线段还原时放大为直观图中相应线段长的2倍，由此确定图形的各个顶点，顺次连接即可.‎ ‎[变式训练3]　(1)如图所示，一个水平放置的三角形的斜二测直观图是等腰直角三角形A′B′O′，若O′B′＝1，那么原三角形ABO的面积是(　C　)‎ A. B. C. D．2 解析：因为题图中等腰直角三角形直角边长为1，因此面积为，又直观图与原平面图形面积比为4，所以原图形的面积为，故选C.‎ ‎(2)如图所示，矩形O′A′B′C′是水平放置的一个平面图形的直观图，其中O′A′＝‎6 cm，C′D′＝‎2 cm，则原图形是菱形．(填四边形的形状)．‎ 解析：如图所示，在原图形OABC中，应有OA＝O′A′＝‎6 cm，OD＝2O′D′＝2×2＝‎4 cm，CD＝C′D′＝‎2 cm，∴OC＝ ‎＝＝6(cm)，∴OA＝OC，又CB綉OA，故四边形OABC是菱形．‎ ‎1．根据斜二测画法的规则画直观图时，把Ox，Oy，Oz轴画成对应的O′x′，O′y′，O′z′，则∠x′O′y′与∠x′O′z′的度数分别为(　D　)‎ A．90°，90° B．45°，90°‎ C．135°，90° D．45°或135°，90°‎ 解析：根据斜二测画法的规则，∠x′O′y′的度数应为45°或135°，∠x′O′z′指的是画立体图形时的横轴与纵轴的夹角，所以度数为90°.‎ ‎2．利用斜二测画法画出边长为‎3 cm的正方形的直观图，正确的是图中的(　C　)‎ 解析：正方形的直观图应是平行四边形，且相邻两边的边长之比为21.‎ ‎3．如图所示为一平面图形的直观图，则此平面图形可能是下图中的(　C　)‎ 解析：在x轴上或与x 轴平行的线段在新坐标系中的长度不变，在y轴上或平行于y轴的线段在新坐标系中的长度变为原来的，并注意到∠xOy＝∠90°，∠x′O′y′＝45°，因此由直观图还原成原图形为选项C.‎ ‎4．有一个长为‎5 cm，宽为‎4 cm的矩形，则其用斜二测画法得到的直观图的面积为‎5cm2.‎ 解析：该矩形直观图的面积为×5×4＝5.‎