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- 2021-06-30 发布
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§9.3
椭圆
高考数学
考点一 椭圆的定义及标准方程
1.定义
平面内与两个定点
F
1
、
F
2
的距离的和①
等于
常数(大于|
F
1
F
2
|)的点的轨
迹叫做椭圆.这两个定点叫做椭圆的焦点,两焦点间的距离叫做椭圆的焦距.集合语言:
P
={
M
||
MF
1
|+|
MF
2
|=2
a
,2
a
>|
F
1
F
2
|},|
F
1
F
2
|=2
c
,其中
a
>
c
>0,且
a
,
c
为常数.
注意 若
2
a
=|
F
1
F
2
|,
则动点的轨迹是线段
F
1
F
2
;
若
2
a
<|
F
1
F
2
|,
则动点的轨迹不
存在
.
考点
清单
2.标准方程
(1)中心在坐标原点,焦点在
x
轴上的椭圆的标准方程为
+
=1(
a
>
b
>0);
(2)中心在坐标原点,焦点在
y
轴上的椭圆的标准方程为
+
=1(
a
>
b
>0).
注意:(1)焦点位置的判断
焦点在
x
轴上
⇔
标准方程中含
x
2
项的分母较大;焦点在
y
轴上
⇔
标准方程中
含
y
2
项的分母较大.
(2)
a
2
=
b
2
+
c
2
,即
a
最大.
3.焦点三角形
(1)
P
是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点,
F
1
,
F
2
为椭圆的两焦点,则
=
b
2
tan
,其中∠
F
1
PF
2
=
θ
;
(2)
P
是椭圆上不同于长轴两端点的任意一点,
F
1
,
F
2
为椭圆的两焦点,则△
PF
1
F
2
的周长为2(
a
+
c
).
(3)过焦点
F
1
的弦
AB
与椭圆另一个焦点
F
2
构成的△
ABF
2
的周长为4
a
.
考点二 椭圆的几何性质
1.椭圆的方程与简单几何性质
焦点在
x
轴上
焦点在
y
轴上
标准方程
②
+
=1(
a
>
b
>0)
+
=1(
a
>
b
>0)
一般方程
Ax
2
+
By
2
=1(
A
>0,
B
>0,
A
≠
B
)
图形
焦点坐标
F
1
(-
c
,0),
F
2
(
c
,0)
F
1
(0,-
c
),
F
2
(0,
c
)
顶点坐标
A
1
(-
a
,0),
A
2
(
a
,0)
B
1
(0,-
b
),
B
2
(0,
b
)
A
1
(0,-
a
),
A
2
(0,
a
)
B
1
(-
b
,0),
B
2
(
b
,0)
范围
|
x
|
≤
a
,|
y
|
≤
b
|
x
|
≤
b
,|
y
|
≤
a
长轴长
|
A
1
A
2
|=2
a
短轴长
|
B
1
B
2
|=2
b
焦距
|
F
1
F
2
|=2
c
离心率
e
=③
=
(0<
e
<1),
2.常用结论
(1)设
P
,
A
,
B
是中心在原点的椭圆上不同的三点,其中
A
,
B
两点关于原点对称,
且直线
PA
、
PB
的斜率都存在,则
k
PA
·
k
PB
=-
.
注意:适用于焦点在
x
轴上,当焦点在
y
轴上时,直线
PA
与
PB
的斜率之积为定
值-
.
(2)
P
是椭圆上一点,
F
为椭圆的焦点,则|
PF
|∈[
a
-
c
,
a
+
c
],即
椭圆上的点到焦点
距离的最大值为
a
+
c
,最小值为
a
-
c
;
(3)
椭圆的通径(过焦点且垂直于长轴的弦)长为
,通径是最短的焦点弦.
考点三 直线与椭圆的位置关系
1.直线与椭圆的位置关系的判断
把椭圆方程
+
=1(
a
>
b
>0)与直线方程
y
=
kx
+
h
联立消去
y
,整理成
Ax
2
+
Bx
+
C
=0(
A
≠
0)的形式,则:
Δ
=
B
2
-4
AC
直线与椭圆的位置关系
Δ
>0
直线与椭圆相交,有两个公共点
Δ
=0
直线与椭圆相切,有一个公共点
Δ
<0
直线与椭圆相离,无公共点
知识拓展 点与椭圆的位置关系
已知点
P
(
x
0
,
y
0
),椭圆
+
=1(
a
>
b
>0),则
(1)点
P
(
x
0
,
y
0
)在椭圆内
⇔
+
<1;
(2)点
P
(
x
0
,
y
0
)在椭圆上
⇔
+
=1;
(3)点
P
(
x
0
,
y
0
)在椭圆外
⇔
+
>1.
2.弦长公式
设直线
l
:
y
=
kx
+
m
与椭圆交于
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
).
则|
AB
|=
;
|
AB
|=
|
x
1
-
x
2
|=
;
|
AB
|=
(
k
≠
0).
注意 对于一元二次方程
ax
2
+
bx
+
c
=0(
a
≠
0),
Δ
≥
0,|
x
1
-
x
2
|=
.
3.弦中点问题
设
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
)为弦端点坐标,
P
(
x
0
,
y
0
)为
AB
中点,其中
k
=
(
x
1
≠
x
2
).
若椭圆方程为
+
=1(
a
>
b
>0),则
k
=-
.
若椭圆方程为
+
=1(
a
>
b
>0),则
k
=-
.
考法一
与椭圆定义相关的问题
知能拓展
例1
(1)(2018广东七校二联,15)已知点
P
是圆
F
1
:(
x
+1)
2
+
y
2
=16上任意一点,
点
F
2
与点
F
1
关于原点对称,线段
PF
2
的垂直平分线
m
分别与
PF
1
,
PF
2
交于
M
,
N
两点,则点
M
的轨迹方程为
.
(2)过点
M
(0,1)的直线
l
交椭圆
+
=1于
A
、
B
两点,
F
为椭圆的右焦点,则△
ABF
周长的最大值为
.
解题导引
(1)应先确定点
M
的轨迹形状,由于
M
是随
P
在圆上运动而变化
的,故|
PF
1
|为定值;同时,
M
还在
PF
2
的垂直平分线上,则|
MF
2
|=|
MP
|,结合图形
可知,|
MF
1
|+|
MF
2
|=|
MF
1
|+|
MP
|=|
PF
1
|为定值,且大于|
F
1
F
2
|,则
M
运动形成椭圆.
(2)要求△
ABF
周长最值,一种方法是找到取最值的几何位置,另一种方法是
建立周长关于变量的函数,从而求最值;结合本题,三边均变化,同时
A
,
B
在椭
圆上,考虑位置,由于|
AB
|
≤
|
AF
1
|+|
BF
1
|,当
AB
过
F
1
时取“=”,因此△
ABF
的周
长|
AB
|+|
BF
|+|
AF
|
≤
|
AF
1
|+|
BF
1
|+|
AF
|+|
BF
|=4
a
(
a
为椭圆长半轴的长).
解析
(1)如图所示,连
MF
2
,由题意知
F
2
(1,0).
∵直线
m
是线段
PF
2
的垂直平分线,
∴|
MP
|=|
MF
2
|,又知|
MP
|+|
MF
1
|=4,
∴|
MF
1
|+|
MF
2
|=4>|
F
1
F
2
|=2.
∴点
M
的轨迹是以
F
1
,
F
2
为焦点的椭圆,且2
a
=4,2
c
=2.∴
b
2
=3.
∴点
M
的轨迹方程为
+
=1.
(2)设椭圆的左焦点为
F
1
.如图所示,连接
AF
1
,
BF
1
,
由题意,可知椭圆的左、右焦点坐标分别为
F
1
(-2,0),
F
(2,0),
a
=2
,又由椭圆的定义可得|
AF
|=4
-|
AF
1
|,
|
BF
|=4
-|
BF
1
|,所以△
ABF
的周长为|
AF
|+|
BF
|+|
AB
|=8
+|
AB
|-(|
AF
1
|+|
BF
1
|),
显然|
AF
1
|+|
BF
1
|
≥
|
AB
|,当且仅当
A
,
B
,
F
1
共线时周长最大,最大值为8
.
答案
(1)
+
=1 (2)8
考法二
椭圆离心率问题的求法
例2
(1)(2019江西南康中学第二次大联考,10)椭圆
G
:
+
=1(
a
>
b
>0)的
两个焦点为
F
1
(-
c
,0),
F
2
(
c
,0),
M
是椭圆上的一点,且满足
·
=0.则椭圆离
心率
e
的取值范围为( )
A.
B.
C.
D.
(2)(2019辽宁重点中学第三次联考,15)已知点
P
是椭圆
+
=1(
a
>
b
>0)上
的一点,
F
1
,
F
2
分别为椭圆的左、右焦点,已知∠
F
1
PF
2
=120
°
,且|
PF
1
|=2|
PF
2
|,
则椭圆的离心率为
.
解题导引
(2)求离心率的实质是找
a
与
c
的等量关系,结合题设条件中△
F
1
PF
2
的边长及角度关系,运用余弦定理可得到
a
与
c
的数量关系,从而求出离心率.
解析
(1)解法一:设点
M
的坐标为(
x
0
,
y
0
),∵
·
=0,
F
1
(-
c
,0),
F
2
(
c
,0),∴(
x
0
+
c
)·(
x
0
-
c
)+
=0,即
+
=
c
2
①,又知点
M
在椭圆
G
上,∴
+
=1②,
由①②联立结合
a
2
-
b
2
=
c
2
解得
=
,由椭圆的性质可得0
≤
≤
a
2
,即
即
所以
c
2
≥
b
2
,又知
b
2
=
a
2
-
c
2
,∴
c
2
≥
a
2
-
c
2
,即2
c
2
≥
a
2
,解
得
e
2
≥
,又知0<
e
<1,∴
≤
e
<1,故选D.
解法二:∵
·
=0,∴
MF
1
⊥
MF
2
,即△
MF
1
F
2
是以
M
为直角顶点的直角三
角形,∵|
MF
1
|+|
MF
2
|=2
a
,|
F
1
F
2
|=2
c
,
∴椭圆的离心率
e
=
=
,
又知(|
MF
1
|+|
MF
2
|)
2
≤
2(|
MF
1
|
2
+|
MF
2
|
2
)=2|
F
1
F
2
|
2
=8
c
2
,
∴|
MF
1
|+|
MF
2
|
≤
2
c
,
∴
e
=
≥
=
,
当且仅当|
MF
1
|=|
MF
2
|=
c
时,等号成立,
又知0<
e
<1,∴
e
∈
.故选D.
解法三:如图所示,当
M
在椭圆的上顶点
M
0
处时,
由已知条件,知∠
F
1
M
0
F
2
≥
90
°
,因此∠
F
2
M
0
O
≥
45
°
,
又∵
M
0
F
2
=
a
,
OF
2
=
c
.
∴
e
=
=sin∠
F
2
M
0
O
,∵∠
F
2
M
0
O
∈
,
∴
≤
e
<1,故选D.
(2)由椭圆定义可知|
PF
1
|+|
PF
2
|=2
a
,
又知|
PF
1
|=2|
PF
2
|,∴|
PF
2
|=
,|
PF
1
|=
.
在△
PF
1
F
2
中,|
F
1
F
2
|
2
=|
PF
1
|
2
+|
PF
2
|
2
-2|
PF
1
||
PF
2
|·cos∠
F
1
PF
2
,即4
c
2
=
a
2
+
-
×
,即4
c
2
=
a
2
,∴
=
.∴椭圆的离心率
e
=
=
.
答案
(1)D (2)
考法三
直线与椭圆位置关系问题的解法
例3
(2016四川,20,13分)已知椭圆
E
:
+
=1(
a
>
b
>0)的两个焦点与短轴
的一个端点是直角三角形的三个顶点,直线
l
:
y
=-
x
+3与椭圆
E
有且只有一个
公共点
T
.
(1)求椭圆
E
的方程及点
T
的坐标;
(2)设
O
是坐标原点,直线
l
'平行于
OT
,与椭圆
E
交于不同的两点
A
,
B
,且与直线
l
交于点
P
.证明:存在常数
λ
,使得|
PT
|
2
=
λ
|
PA
|·|
PB
|,并求
λ
的值.
解题导引
解析
(1)由已知,得
a
=
b
,
则椭圆
E
的方程为
+
=1.
由方程组
得3
x
2
-12
x
+(18-2
b
2
)=0.①
方程①的判别式为
Δ
=24(
b
2
-3),由
Δ
=0,得
b
2
=3,
此时方程①的解为
x
1
=
x
2
=2,
所以椭圆
E
的方程为
+
=1.
点
T
的坐标为(2,1).
(2)证明:由已知可设直线
l
'的方程为
y
=
x
+
m
(
m
≠
0),
由方程组
可得
所以
P
点坐标为
,则|
PT
|
2
=
m
2
.
设点
A
,
B
的坐标分别为
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
).
由方程组
可得3
x
2
+4
mx
+(4
m
2
-12)=0.②
方程②的判别式为
Δ
=16(9-2
m
2
),
由
Δ
>0,解得-
<
m
<
.
由②得
x
1
+
x
2
=-
,
x
1
x
2
=
.所以|
PA
|=
=
,
同理,|
PB
|=
.
所以|
PA
|·|
PB
|=
=
=
=
m
2
.
故存在常数
λ
=
,使得|
PT
|
2
=
λ
|
PA
|·|
PB
|.
方法总结
1.判断直线与椭圆的位置关系,可通过讨论直线方程与椭圆方
程组成的方程组的实数解组数来确定.一般通过消元得关于
x
(或
y
)的一元
二次方程,若
Δ
>0,则直线与椭圆相交;若
Δ
=0,则直线与椭圆相切;若
Δ
<0,则
直线与椭圆相离.
2.弦长公式:设
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
)为直线与椭圆的两个交点,直线
AB
的斜率存
在,设为
k
(
k
≠
0),
则|
AB
|=
|
x
1
-
x
2
|或|
AB
|=
|
y
1
-
y
2
|.
3.设
A
(
x
1
,
y
1
),
B
(
x
2
,
y
2
)为椭圆
+
=1(
a
>
b
>0)上两点,弦
AB
的中点为
P
(
x
0
,
y
0
),
则
x
0
=
,
y
0
=
,可通过根与系数的关系来解决弦中点问题,这其中
的解题方法就是常说的“设而不求,整体代入”;也可以由
用
①-②将问题转化为斜率与中点坐标的关系来解决(称为点差法).
4.在直线与椭圆的位置关系问题中,常涉及变量的求值和最值(范围)问题,
通常要用方程和函数的思想方法,而恰当地选择函数的自变量至关重要.
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